1、2 相似三角形的性质课标解读 1.掌握相似三角形的性质2.能利用相似三角形的性质解决有关问题.相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线 的比都等于相似比(2)相似三角形周长的比等于相似比(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比(5)相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方1怎样理解“对应线段的比等于相似比”？【提示】 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分 线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到内切圆、外接圆的半径之比也等于相似比2相似三角形与全等三角形的性质比较有何异同？【提示】
2、 全等三角形 相似三角形对应高相等 对应高的比等于相似比周长相等 周长比等于相似比面积相等 面积比等于相似比的平方外接(内切)圆的直径相等 外接(内切)圆的直径比等于相似比外接(内切)圆的周 长相等 外接(内切)圆的周长比等于相似比外接(内切)圆的面 积相等 外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方利用相似三角形性质计算如图 1321 所示，已知 D 是ABC 中 AB 边上一点，DEBC 且交 AC 于 E，EF AB 且交 BC 于 F，且 SADE 1，S EFC 4，则四边形 BFED 的面积等于多少？图 1321【思路探究】 利用 S 四边形 BFEDS ABCS ADES EFC得到
3、四边形 BFED 的面积【自主解答】 ABEF ，DEBC，ADEABC，EFCABC，ADE EFC.又 SADESEFC1 4，AEEC1 2.AEAC13.SADESABC 19.SADE1， SABC9.S 四 边形 BFEDS ABCS ADES EFC9144.1本题由题意显然ADE EFC，由面 积比能得出相似比，再由相似比转化为面积比，求出整个ABC 的面积2利用相似三角形的性质定理 进行有关的计算是近几年高考的 热点之一，在求解 过程中往往要注意对应边的比，进 行相关运算时，要善于 联想，变换比例式，构造三角形的边或面积间的关系图 1322如图 1322，在ABCD 中，AE
4、EB23.(1)求AEF 与CDF 周长的比；(2)若 SAEF 8，求 SCDF .【解】 (1)四边形 ABCD 是平行四边形ABCD 且 ABCD， ， ，AEEB 23 AEAB AECD 25又由 ABCD 知AEFCDF，AEF 的周长CDF 的周长25.(2)由(1)S AEFSCDF4 25，又 SAEF8，SCDF50.利用相似三角形性质进行证明如图 1323 所示，在ABC 中，DEBC ，在 AB 边上取一点 F，使 SBFC S ADE ，求证：AD 2ABBF.图 1323【思路探究】 本题条件是三角形面积之间的关系，可考虑使用相似三角形的面积比等于相似比的平方及把等
5、底边的三角形面积比转化为边长之比【自主解答】 DEBC，ADEABC， ( )2，SADESABC ADAB又 且 SBFCS ADE，SBFCSABC BFAB .AD2AB2 BFABAD2AB BF.1解答本题的关键是把BFC 与 ABC 的面积比转化为边长之比2要证明线段相等、角相等、比例式成立等结论，有 时需化归到相似三角形中加以证明，若不存在相似三角形，可添加辅助线，构造相似三角形，最终得到结论如图 1324，在矩形 ABCD 中，E 是 DC 的中点，BEAC 交 AC 于 F，过 F 作FGAB 交 AE 于 G.图 1324求证：AG 2AF FC.【证明】 E 为矩形 AB
6、CD 的边 DC 的中点，AEBE.又 GFAB，EGEF ，AGBF.BEAC 于 F，RtABFRtBCF， ，BF2AF FC，BFCF AFBFAG2AF FC.相似三角形判定和性质定理的综合应用图 1325如图 1325，一天早上，小张正向着教学楼 AB 走去，他发现教学楼后面有一水塔 DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷经过了解，教学楼、水塔的高分别是 20 米和 30 米，它们之间的距离为 30 米，小张身高为1.6 米，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？【思路探究】 解答本题的关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知
7、识解题【自主解答】 如图，设小张 与教学楼的距离至少应有 x 米，才能看到水塔连接 FD，由题意知，点 A 在 FD 上，过 F 作 FGCD 于 G，交 AB 于 H，则四边形FEBH，四 边形 BCGH 都是矩形ABCD，AFHDFG.AHDGFH FG.即(201.6) (301.6) x(x30)解得 x55.2.经检验 x55.2 是所列方程的根故小张与教学楼的距离至少应有 55.2 米，才能看到水塔1解答本题的关键是画出图形，添加 辅助线构造相似三角形2此类问题是利用数学模型解 实际问题，关 键在于认真分析 题意转化成数学问题，构造相似三角形求解3解决相似三角形的综合问题应 注意以
8、下两点(1)结合相似三角形的判定定理和性质定理，寻求三角形中的数量关系(2)注意“辅助线”的添加和定理公式的选择如图 1326，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC200 mm，高 AD300 mm，要把它加工成长是宽的 2 倍的矩形零件，使矩形较短的边在 BC 上，其余两个顶点分别在AB、 AC 上，求这个矩形零件的边长【解】 设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件，边 FG 在 BC 上，则点 E、H 分别在AB、AC 上， ABC 的高 AD 与 边 EH 相交于点 P，设矩形的边 EH 的长为 x mm.EHBC，AEHABC， ， ，APAD EHBC 300 2x300 x200解
9、得：x (mm)，60072x (mm)12007答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm 和 mm.6007 12007(教材第 20 页习题 1.3 第 10 题) 如图 1327，平行四边形ABCD 中， AEEB1 2，求AEF 与 CDF 的周长比如果 AEF 的面积等于 6cm2，求 CDF的面积图 1327(2013陕西高考) 如图 1328，AB 与 CD 相交于点 E，过 E 作BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P，已知AC ，PD 2DA2，则 PE_.图 1328【命题意图】 本题主要考查相似三角形的判定与性质【解析】 因为 PEBC，所以 CPED.又因为CA，所以
10、 APED.又P P，所以PDE PEA，则 ，即 PE2PD PA236，故 PE .PDPE PEPA 6【答案】 61已知ABCAB C，且 ， BC2，则 BC等于( )S ABCS A B C 14A2 B4 C8 D16【解析】 ( )2 ，SABCSA B C BCB C 14 ，BCB C 12又 BC2，BC2BC4.【答案】 B2已知ABCAB C， ，ABC 外接圆的直径为 4，则ABA B 23AB C 外接圆的直径等于 ( )A2 B3 C6 D9【解析】 设ABC和 ABC 外接圆的直径分别是 r，r， 则 ， ，r 6.rr A BAB r4 32【答案】 C3两
11、个相似三角形对应边分别长 6 cm 和 18 cm，若大三角形的面积是 36 cm2，则较小三角形的面积是( )cm 2.A6 B4C18 D不确定【解析】 相似比等于 ，则 ( )2 ，618 13 S小S大 13 19S 小 S 大 364(cm 2)19 19【答案】 B4在比例尺为 1500 的地图上，测得一块三角形土地的周长是 12 cm，则这块地的实际周长是_m.【解析】 这块地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形，其相似比 为 ，1500则实际周长为：125006000 cm60 m.【答案】 60一、选择题图 13281如图 1328，D、E、F 是ABC 的三边中点，设
12、DEF 的面积为 ，ABC 的14周长为 9，则DEF 的周长与ABC 的面积分别是( )A. ，1 B9,492C. ，8 D. ，1692 94【解析】 D 、E、F 分别为ABC 三边的中点，EF 綊 BC，DE 綊 AC，12 12DF 綊 AB.12DFEABC，且 .EFBC 12 .lDEFlABC EFBC 12又 lABC9，l DEF .92又 ，SDEF ，SDEFSABC EF2BC2 14 14SABC1，故选 A.【答案】 A图 13292如图 1329，在ABCD 中，AB10，AD6，E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F，使 CBFCDE，则 BF 的长
13、是( )A5 B8.2C6.4 D1.8【解析】 由CBFCDE，得 ，BFDE CBCD又点 E 是 AD 的中点，AB CD10， ADBC6，DE3，即 ，BF3 610BF1.8.【答案】 D3某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图 1330 所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是 30 cm，幻灯片到屏幕的距离是 1.5 m，幻灯片上小树的高度是 10 cm，则屏幕上小树的高度是( )图 1330A50 cm B500 cmC60 cm D600 cm【解析】 设屏幕上小树的高度为 x cm，则 ，解得 x60(cm) 10x 3030 150【答案】 C图 13314如
14、图 1331，ABC 中，DE BC，DE 分别交 AB，AC 于 D，E，S ADE 2S DCE，则 ( )S ADES ABCA. B.14 12C. D.23 49【解析】 DEBC，ADEABC，由 SADE2S DCE得， ，ADAB 23 .SADESABC 49【答案】 D二、填空题5如图 1332，在ABC 中，D 为 AC 边上的中点，AEBC，ED 交 AB 于 G，交BC 延长线于 F，若 BGGA 31，BC10，则 AE 的长为_图 1332【解析】 AEBC，BGFAGE， ，BFAE BGGA 31D 为 AC 中点， 1， AECF，AECF ADDCBCAE
15、2 1，BC10， AE5.【答案】 56一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔 5 m 有一棵树，在河的对岸每隔 50 m有一根电线杆，在这岸离开岸边 25 m 处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河的宽度为_m.【解析】 如图所示，A，B 是相邻两电线杆的底部， F，G 中间还有两棵 树，则AB50 m，FG3515 m ，EC25 m，CDAB，ABFG，则 ，设河的宽度为 x m，ECCD FGAB则 ，解得 x .2525 x 1550 1753【答案】 1753三、解答题图 13337如图 1333 所示，在ABC 中，BC A
16、C，点 D 在 BC 上，且 DCAC，ACB的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连接 EF.(1)求证：EFBC；(2)若四边形 BDFE 的面积为 6，求ABD 的面积【解】 (1)证明： CF 平分ACB ，DCAC，CF 是ACD 的边 AD 上的中线点 F 是 AD 的中点，又 点 E 是 AB 的中点，EFBD，即 EFBC.(2)EFBD，AEFABD. ( )2.SAEFSABD AEAB又 AE AB，SAEFS ABDS 四边形 BDFES ABD6，12 ( )2，SABD8.SABD 6SABD 12图 13348如图 1334，已知在ABC 中
17、，D 是 BC 边的中点，且 ADAC，DEBC，DE与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F.(1)求证：ABCFCD；(2)若 SFCD 5，BC 10，求 DE 的长【解】 (1)证明： DEBC，D 是 BC 的中点，EBEC，B 1，又 ADAC，2ACB .ABCFCD.(2)过点 A 作 AMBC，垂足为点 M.ABCFCD，BC2CD， ( )24.SABCSFCD BCCD又 SFCD5，S ABC20.SABC BCAM，BC10，1220 10AM，AM4.12又 DEAM， .DEAM BDBMDM DC BC ，12 14 52BMBD DM，BD BC5
18、， .12 DE4 55 52DE .839某生活小区的居民筹集资金 1 600 元，计划在一块上、下两底分别为 10 cm、20 cm的梯形空地上种植花木(1)他们在AMD 和BMC 地带上种植太阳花，单价为 8 元/m 2，当AMD 地带种满花后( 图 1335 阴影部分)共花了 160 元，请计算种满 BMC 地带所需的费用；图 1335(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为 12 元/m 2 和 10元/m 2，应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？【解】 (1)四边形 ABCD 是梯形，ADBC.AMDCMB. ( )2 .S AMDS CMB ADBC
19、 14种植AMD 地带花费 160 元， 20 (m 2)S CMB 80 (m 2)1608BMC 地带的花费为 808640(元) (2)设AMD、BMC 的高分别为 h1、h 2，梯形 ABCD 的高为 h，S AMD 10h120，h 14(m)12又 ，h 28(m)h1h2 12hh 1h 212(m)S 梯形 ABCD (ADBC)h 301212 12180 (m 2)，S AMB S DMC 180208080 (m 2)16064080121 760(元) ，16064080101 600(元 )应种植茉莉花刚好用完所筹资金10在ABC 中，如图所示，BC m，DE BC，DE 分别交 AB，AC 于 E，D 两点，且 SADE S 四边形 BCDE，则 DE_.【解析】 DEBCADE ACB又 SADES 四边形 BCDES ABC；SADES 四边形 BCDE，SADE SABC，12( )2 ，( )2DEBC 12 DEm 12DE m.22【答案】 m22
