1、课 题： 第 10 课时 不等式的证明方法之三：反证法目的要求： 重点难点： 教学过程：一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若 p 则 q”，而是先肯定命题的条件 p，并否定命题的结论 q，然后
2、通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：例 1、已知 ，求证： （ 且 ）0banbaN1n例 1、设 ，求证23.2证明：假设 ，则有 ，从而baba.)1(6816,82233因为 ，所以 ，这与题设条件 矛盾，所)(b3ba23ba以，原不等式 成立。2a例 2、设二次函数 ，求证： 中至少有一个不
3、小qpxf2)( )3(,2)1(ff于 .1证明：假设 都小于 ，则)3(,2)(ff 2（1）.1另一方面，由绝对值不等式的性质，有（2）)39()24()1(2132qpqpqpfffff（1） 、 （2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例 3、设 0 0，且 x + y 2，则 和 中至少有一个小于 2。xy1提示：反设 2， 2 x, y 0，可得 x + y 2 与 x + y 2 矛盾。1五、作业：
