1、 1题目: 不等式的证明高考要求 1通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法 (即通性通法 )证明不等式的有关问题；2掌握用“比较法”证明不等式；理解比较法证明不等式的步骤及应用范围 3搞清比较法证题的理论依据，掌握比较法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤4 通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题知识点归纳 不等式的证明方法（1）比较法：作差比较： BA0作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数
2、（或式）作差变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小题型讲解 例 1 若水杯中的 b 克糖水里含有 a 克糖，假如再添上 m 克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知 )0,(maba解：由题意得 ,b证法一：（比较法） )()(mbaba， ，0,mab0,mab即)(证法二：（放缩法），0ab且 bammFEDCB A2mbamba)(证法三：（数形结合法）如图，在 Rt
3、ABC 及 Rt ADF 中，AB=a，AC=b， BD=m，作 CEBD ， ADFBCbaEba例 2 已知 a，bR，且 a+b=1 求证： 252证法一：（比较法） abab1,222594()2b91(1)40a即 （当且仅当 时，取等号）22ba证法二：（分析法）258)(4522 baB0)21(84)1(22ab因为显然成立，所以原不等式成立点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）证法四：（反证法）假设 ，25)()2(ba则 5842ba3由 a+b=1，得 ，于是有ab1251)(22a所以 ，
4、这与 矛盾 0)2(a012所以 52b证法五：（放缩法） 1a左边 222b右边2154ab点评：根据欲证不等式左边是平方和及 a+b=1 这个特点，选用基本不等式 22证法六：（均值换元法） ，1ab所以可设 ， ，ta21t左边 222()()t右边255ttt当且仅当 t=0 时，等号成立点评：形如 a+b=1 结构式的条件，一般可以采用均值换元证法七：（利用一元二次方程根的判别式法） 设 y=(a+2)2+(b+2)2，由 a+b=1，有 ，132)3()2( aaay所以 ，012因为 ，所以 ，即R0)1(4y25故 252ba例 3 设实数 x，y 满足 y+x2=0，00 (
5、比差)1(lx)1(lx alg1(l25 2,0,24abcabcabc设 证 明 f 2)()2证 明 ： 2(,()()0cfcabcba246 2,1,1,bc已 知 为 正 数 且 满 足1:03c证 明证明： 22 2, ,.abbcaccbx,)(2则 该 方 程 有 两 个 正 根构 造 方 程031)(4)1(022 ccc7若 ，求证 ab 与 不能都大于 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j()1ab49证明：假设 ab, (1a) (1 b) 都大于 1411(10(),0()64bab则 又 2, 161(1)6,(4yxabb通 过 的 值 域 有这 与
6、 矛 盾因 此 ， 不 可 能 都 大 于8已知：a 3+b3=2,求证：a+b 2证明：假设 a+b2 则 b2-a a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2 与已知相矛盾，所以, a+b 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1!n求 证 ： ！ ！ 2 11()1223! nn 证 明 ： ！ ！10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 22n求 证 22113341)n证 明 ： （1n11 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 12(1)3求 证 ： 132nn证 明
7、 ： （ ） 112( )342)(1n13 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 都正数，求证： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jba, bacba10证明： ,Rcba,Rcab.222b，a( )(bacb 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jc14 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设 且 ，求证： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j002a证法 1 若 ， ，0cba 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这与 矛盾，,b 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j同理可证 头htp:/w.xjk
8、ygcom126t:/.j 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j.00a证法 2 由 知0baa15 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮 10000 千克，乙每次购粮 10000 元 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？解：设第一、二、三次的粮食价格分别为 元/千克、 元/千克、 元/1a23a千克， ，则甲三次购粮的平均价格为Ra321,，乙三次购粮的平均价格为30)(21，因为3213210aaa头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3332121 所以乙购的粮食价格低 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j说明“各次的粮食价格不同” ，必须用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j我们应该从式的特征联想到用基本不等式进行变换 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j10课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco
