1、 第 1 页 共 6 页 基本不等式一、选择题1函数 f(x) 的最大值为( )xx 1A. B 25 12C. D122【解析】 显然 x0.当 x0 时，f(x)0；当 x0 时，x12 ，f(x) .x12当且仅当 x 1 时，等号成立，f(x) max .12【答案】 B2设 0ab，则下列不等式中正确的是( )Aab Ba baba b2 ab a b2Ca b D a baba b2 ab a b2【解析】 取特殊值法取 a2，b8，则 4， 5，所以 aaba b2 b.故选 B.aba b2【答案】 B3已知 a0，b0，ab2，则 y 的最小值是( )1a 4bA3 B4 C
2、. D92 112第 2 页 共 6 页 【解析】 a0，b0，ab2，y ( )1a 4b 1a 4ba b2( 2) 2 .12 b2a 2ab 52 b2a2ab 92当且仅当 a ，b 时，等号成立故选 C.23 43【答案】 C4下列不等式一定成立的是( )Alg( x2 )lg x(x0)14Bsin x 2(x k ，kZ)1sin xCx 212|x|(xR)D. 1(xR)1x2 1【解析】 当 x0 时，x 2 2x x ，所以 lg(x2 )lg x (x0)，故选项14 12 14A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当 xk ，kZ 时，sin x 的正
3、负不定，故选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；当x0 时，有 1，故选项 D 不正确1x2 1【答案】 C二、填空题5若实数 x， y 满足 x2y 2xy1，则 xy 的最大值是_【解析】 x 2y 2xy(xy )2xy( xy) 2 (xy) 2，(x y)x y24 342 ，|x y| .43 233xy 的最大值为 .233第 3 页 共 6 页 【答案】 2336已知 a，b，m，n 均为正数，且 ab1，mn2，则(am bn)(bman)的最小值为_【解析】 a，b，m，nR ，且 ab1，mn2，(am bn)(bman)abm 2a 2mnb 2mnabn
4、 2ab(m 2n 2)2(a 2b 2)2abmn2(a 2b 2)4ab2( a2b 2)2(a 2 b22ab)2(a b)2 2，当且仅当 mn 时，取“” 2所求最小值为 2.【答案】 2三、解答题7已知 a，b，x ，y R ，x，y 为变量，a，b 为常数，且 ab10， ax1，xy 的最小值为 18，求 a，b.by【解】 x y (xy)( )ax byab ab 2 ( )2，bxy ayx ab a b当且仅当 时取等号bxy ayx又(xy) min ( )2 18，a b即 ab2 18. ab又 ab10， 由可得Error!或Error!第 4 页 共 6 页
5、8已知 a，b，c 均是正数，求证：(1) ；a b2 a2 b22(2) (abc)a2 b2 b2 c2 c2 a2 2【证明】 (1)a 2b 22ab，2(a 2 b2) (ab) 2， .a2 b22 a b24又 a0，b0， .a b2 a2 b22(2)由(1)得 (ab)a2 b222同理： (bc) ， (ac)b2 c222 c2 a2 22三式相加得： (abc)，a2 b2 b2 c2 c2 a2 2当且仅当 abc 时，取 “”号9若对任意 x0， a 恒成立，求实数 a 的取值范围xx2 3x 1【解】 由 x0，知原不等式等价于00 时，x 2 2，1x x1x
6、x 3 5，当且仅当 x1 时，取等号1x因此 min5，(x 1x 3)从而 0 5，解得 a .1a 15故实数 a 的取值范围为 ，)15第 5 页 共 6 页 教师备选10某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)，如图所示，垂直放置的标杆 BC 的高度 h4 m，仰角ABE，ADE .该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位：m)，使 与 之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为 125 m，问d 为多少时， 最大？【解】 由题设知 d|AB| ，得 tan .Hd由|AB|AD|BD| ，得 tan ，Htan htan H hd所以 tan()tan tan 1 tan tan ，hd HH hd h2HH h当且仅当 d ，HH hd即 d 55 时，上式取等号HH h 125125 4 5当 d55 时，tan()最大5因为 0 ，则 0 ，2 2当 d55 时， 最大故所求的 d 是 55 m.5 5第 6 页 共 6 页
