1、五 与圆有关的比例线段课标解读1.会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理2.能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明.1相交弦定理(1)文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(2)图形语言如图 251，弦 AB 与 CD 相交于 P 点，则 PAPBPC PD.图 2512割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(2)图形语言图 252如图 252，O 的割线 PAB 与 PCD，则有：PA PBPC PD.3切割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项(
2、2)图形语言如图 253，O 的切线 PA，切点为 A，割线 PBC，则有 PA2PB PC.图 2534切线长定理(1)文字叙述从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角(2)图形表示如图 254，O 的切线 PA、PB，则 PAPB，OPAOPB.图 2541能否用三角形相似证明相交弦定理？【提示】 能如图，O 的弦 AB、CD 相交于 P 点， 连接 AD、BC，则APDCPB.故有 ，即 PAPBPCPD.PAPC PDPB2垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间有何关系？【提示】 如图，PA，PB 为O 的两条切线， A，B
3、为切点，PCD 为过圆心 O 的割线，连接 AB，交 PD 于点 E，则有下列结论：(1)PA2PB 2PCPD PEPO；(2)AE2BE 2DE CEOEPE；(3)若 AC 平分BAP， 则 C 为PAB 的内心；(4)OA2 OC2 OEOPOD 2；(5) ， ，PDAB；AC BCAD DB(6)AOPBOP ，APDBPD.3应用切割线定理应注意什么？【提示】 应用切割线定理应记清关系式，防止做 题时出 错(1)如图所示，把 PC2PA PB 错写成 PC2PO PB；(2)如图所示，把关系式 PT2PB PA 错写成 PT2PBBA，把关系式 PBPAPDPC 错写成 PBBA
4、PDDC.相交弦定理图 255如图 255，AC 为O 的直径，弦 BDAC 于点 P，PC2，PA8，则tanACD 的值为_【思路探究】 由垂径定理知，点 P 是 BD 的中点，先用相交弦定理求 PD，再用射影定理或勾股定理求 AD、CD，最后求 tanACD.【自主解答】 BDAC， BPPD ，PD2PA PC 2816，PD4.连接 AD，则ADC90 ，tanACD .ADCD又 AD 4 ，PA2 PD2 82 42 5CD 2 ，PC2 PD2 22 42 5tanACD 2.4525【答案】 21解答本题的关键是先用相交弦定理求 PD，再用勾股定理或射影定理求 AD、CD.2
5、相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也 经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明(2013湖南高考)如图 25 6，在半径为 的O 中，弦 AB，CD 相交于点7P，PA PB2，PD1，则圆心 O 到弦 CD 的距离为_图 256【解析】 由相交弦定理得 PAPBPCPD.又 PAPB2，PD1，则 PC4，CDPCPD5.过 O 作 CD 的垂线 OE 交 CD 于 E，则 E 为 CD 中点，OE .r2 CD22 7 254 32【答案】 32切割线定理图 257已知如图 257 所示，AD 为O 的直径，AB 为O 的切线，割线 BMN交 AD 的延长线于 C，且 BMM
6、NNC，若 AB2.求：(1)BC 的长；(2)O 的半径 r.【思路探究】 由 AB2BMBN求得 BC由 CDACCN CM求得 CD结果【自主解答】 (1)不妨设 BMMNNCx.根据切割线定理，得 AB2BMBN，即 22x(xx) 解得 x ，BC3x 3 .2 2(2)在 RtABC 中，AC ，BC2 AB2 14由割线定理，得CDACCNCM，由(1)可知，CN ，BC 3 ，2 2CMBCBM 3 2 ，2 2 2AC ，14CD ，CNCMAC 2147r (ACCD)12 ( ) .12 14 2147 514141解答本题的关键是先根据切割线定理求 BC.2切割线定理常
7、常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有 时切割线定理利用方程进行 计算、求 值等图 258(2013 天津高考)如图 258，在圆内接梯形 ABCD 中， ABDC.过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E.若 ABAD 5，BE 4，则弦 BD 的长为_【解析】 因为 ABDC，所以四边形 ABCD 是等腰梯形，所以 BCAD AB5.又 AE是切线，所以 AEBD，AE2BE EC4(45)36，所以 AE6.因为CDBBAE ，BCDABE，所以 ABEDCB，所以 ，于是 BD .AEDB BEBC 564 152【答案】 15
8、2切线长定理如图 259，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点 C 的切线与过A、B 两点的切线分别交于点 E、F，AF 与 BE 交于点 P.图 259求证：EPCEBF.【思路探究】 由切线EAEC，FCFB CPFB结论ECFC EPPB【自主解答】 EA，EF，FB 是 O 的切线，EAEC，FCFB，EA，FB 切O 于 A，B，AB 是直径，EAAB，FBAB，EAFB， ，EABF EPBP ，ECFC EPPBCPFB，EPCEBF.1解答本题的关键是利用对应线段成比例得到 CPFB.2运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即(1)切线长相等，(2)圆外点与圆心的连线
9、平分两条切线的夹角，然后 结合三角形等图形的有关性 质进行计算与证明图 2510如图 2510 所示，已知O 的外切等腰梯形 ABCD，AD BC ，ABDC，梯形中位线为 EF.(1)求证：EFAB；(2)若 EF5，ADBC14，求此梯形 ABCD 的面积【解】 (1)证明：O 为等腰梯形 ABCD 的内切圆，ADBCABCD.EF 为梯形的中位线，ADBC 2EF .又 ABDC， 2EF2AB，EFAB.(2)EF5，AB5，AD BC10.ADBC14，AD2，BC 8.作 AHBC 于 H，则 BH (BC AD) (82)3.12 12在 RtABH 中，AH 4.AB2 BH2
10、 52 32S 梯 ABCDEFAH 5420.(教材第 40 页习题 2.5 第 3 题)如图 2511，点 P 为O 的弦 AB 上的任意点，连接 PO，PCOP，PC 交圆于 C，求证：PA PB PC2.图 2511(2012湖南高考)图 2512如图 2512 所示，过点 P 的直线与O 相交于 A，B 两点若PA 1，AB2，PO3，则O 的半径等于_【命题意图】 本小题考查圆的割线定理的应用及计算能力【解析】 设O 的半径为 r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长 PO 交 O 于点 C，则 PCPO r3r.设 PO 交 O 于点 D，则 PD3r.由圆的割线定理知，
11、PA PBPDPC ，13 (3r )(3r)，9r 23，r .6【答案】 61如图 2513，O 的两条弦 AB 与 CD 相交于点 E，EC1，DE4，AE2，则BE ( )图 2513A1 B2C3 D4【解析】 由相交弦定理得 AEEBDE EC，即 2EB41， BE2.【答案】 B2如图 2514，P 是O 外一点，PA 与O 相切于点 A，过点 P 的直线 l 交O于 B，C，且 PB4，PC9，则 PA 等于( )图 2514A4 B6C9 D36【解析】 由切割线定理知， PA2PB PC4936，PA6.【答案】 B3如图 2515，PA、PB 分别为O 的切线，切点分别
12、为 A，B ，P80，则C _.图 2515【解析】 PA、PB 分别为O 的切线，PAPB.又P 80 ，PABPBA50.ACBPAB50.【答案】 504(2013重庆高考)如图 2 516，在ABC 中，ACB90，A60 ，AB20，过 C 作 ABC 的外接圆的切线 CD，BD CD，BD 与外接圆交于点 E，则 DE 的长为_图 2516【解析】 在 RtACB 中，ACB 90， A60，ABC30.AB20，AC10，BC 10 .3CD 为切线， BCD A 60.BDC90， BD15， CD5 .3由切割线定理得DC2DEDB ，即(5 )215DE ，DE5.3【答案
13、】 5一、选择题1PT 切O 于 T，割线 PAB 经过点 O 交O 于 A、B，若 PT4，PA2，则cosBPT ( )A. B.45 12C. D.38 34【解析】 如图所示，连接 OT，根据切割 线定理，可得PT2PA PB，即 422PB，PB8，ABPBPA 6，OTr3，POPA r 5，cosBPT .PTPO 45【答案】 A图 25172如图 2517，O 的直径 CD 与弦 AB 交于 P 点，若 AP4，BP 6，CP 3，则O 半径为( )A5.5 B5C6 D6.5【解析】 由相交弦定理知 APPBCPPD，AP4，BP 6，CP3，PD 8，APBPCP 463
14、CD3811 ，O 的半径 为 5.5.【答案】 A图 25183如图 2518，在 RtABC 中，C90 ，AC4，BC3.以 BC 上一点 O 为圆心作O 与 AC、AB 都相切，又O 与 BC 的另一个交点为 D，则线段 BD 的长为( )A1 B. C. D.12 13 14【解析】 观察图形，AC 与O 切于点 C，AB 与O 切于点 E，则 AB 5.AC2 BC2如图，连接 OE，由切线长定理得 AEAC 4，故 BEABAE541.根据切割线定理得 BDBC BE2，即 3BD1，故 BD .13【答案】 C4.图 2519(2011北京高考)如图 25 19，AD，AE，B
15、C 分别与圆 O 切于点 D，E，F，延长 AF与圆 O 交于另一点 G.给出下列三个结论：ADAEABBCCA；AFAG ADAE；AFBADG .其中正确结论的序号是( )A BC D【解析】 项，BDBF，CECF，ADAEAC CEABBDACABCFBFACABBC，故正确；项，ADAE，AD 2AFAG， AFAGAD AE，故 正确；项，延长 AD 于 M，连结 FD，AD 与圆 O 切于点 D，则GDMGFD ，ADGAFD AFB，则 AFB 与 ADG 不相似，故错误，故选 A.【答案】 A二、填空题图 25205(2012天津高考)如图 2 520，已知 AB 和 AC
16、是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交 wEw.【解析】 因为 AFBFEFCF ，解得 CF2，所以 ，即 BD .设34 2BD 83CDx，AD 4x ，所以 4x2 ，所以 x .649 43【答案】 436(2013北京高考)如图 2 521，AB 为圆 O 的直径，PA 为圆 O 的切线，PB 与圆O 相交于 D，若 PA3，PD DB 916，则 PD_，AB_.图 2521【解析】 由于 PDDB916，设 PD9a，则 DB16a.根据切割线定理有 PA2PD PB.又 PA3，PB25a，9 9a25a，a ，PD ，PB5.15 95在 RtPAB 中，
17、AB 2PB 2AP 225916，故 AB4.【答案】 495三、解答题图 25227如图 2522 所示，已知 PA 与O 相切，A 为切点，PBC 为割线，D 为O 上的点，且 ADAC，AD，BC 相交于点 E.(1)求证：APCD；(2)设 F 为 CE 上的一点，且 EDF P，求证：CEEB FE EP.【证明】 (1) ADAC， ACD ADC.又 PA 与O 相切于点 A，ACDPAD.PADADC，APCD.(2)EDFP，且FED AEP，FEDAEP.FEEPAEED.又 A、B、D、C 四点均在 O 上，CEEBAE ED，CEEBFE EP.8如图 2523，圆的
18、两弦 AB、CD 交于点 F，从 F 点引 BC 的平行线和直线 AD 交于 P，再从 P 引这个圆的切线，切点是 Q，求证：PFPQ.图 2523【证明】 A，B，C，D 四点共 圆，ADFABC.PFBC，AFPABC.AFPFDP .APFFPD ，APFFPD. .PFPA PDPFPF2PAPD.PQ 与圆相切， PQ2PAPD.PF2PQ 2，PFPQ.9如图 2524，已知 PA、PB 切O 于 A、B 两点， PO4cm，APB60，求阴影部分的周长图 2524【解】 如下图所示，连接 OA，OB.PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点，PAPB，PAO PBO ，2APO
19、APB ，12 6在 RtPAO 中，APPO cos 4 2 (cm)，6 32 3OA PO2 (cm)，12PB2 (cm)3APO ，PAOPBO ，6 2AOB ，23l AOBR 2 (cm)，AB23 43阴影部分的周长为PAPBl 2 2 AB 3 343 cm.(43 43)10.如图，已知 AD 是O 的切线，D 为切点，割线 ABC 交 O 于 B、C 两点，若DEAO 于 E.求证：AEB ACO.【证明】 连接 DO.AD 为切线，ADDO.ADEAOD. .ADAE AOAD即 AD2AE AO.又 AD 为切线， AD2ABAC .AEAOABAC，即 .AEAB ACAOEABCAO，EAB CAO.AEBACO.
