1、1考点 50 与离散型随机变量的分布列、均值相结合的综合问题【考纲要求】理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题 .【命题规律】离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力，以解答题为主，中等难度【典型高考试题变式】与离散型随机变量的分布列、均值相结合的综合问题例 1.【2017 课标 3】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶
2、降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15） 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售
3、这种酸奶的利润为 Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？【分析】 （1） X所有的可能取值为 200,300,500，利用题意求得概率即可得到随机变量的分布列；（2）由题中所给条件分类讨论可得 n=300 时， Y 的数学期望达到最大值，为 520 元.【解析】 （1）由题意知， 所有可能取值为 200,300,500，由表格数据知2600.9PX，360.49PX，257400.9PX.因此 的分布列为 235P0.2 0.4 0.42所以 n=300 时， Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元.【名师点睛】离散型随机变量
4、的分布列指出了随机变量 X 的取值以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布两点分布与超几何分布，并善于灵活运用两性质：一是 pi0( i1,2，)；二是p1 p2 pn1 检验分布列的正误.【变式 1】 【2018 河南省漯河市模拟】汽车 4S店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等。某品牌汽车 4S店为了了解 A， B， C三种类型汽车质量问题,对售出的三种类型汽车各取 100 辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要维修的车辆如下表所示 1.表 1（1）某公司一次性从 4S店购买该品牌 A， B， C型汽车各一辆,记 表示这三辆车的一年内需要
5、维修的车辆数，求 的分布列及数学期望.(各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率).（2）该品牌汽车 店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按使事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如表 2.预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从 0.2,ybxaybx的关系,且该产品的成本是 500元/件,为使 4S 店获得最大利润(利润=销售收入-成本)，该产品的单价应定位多少元？表 1车型 A B C 3频数 20 20 40表 2单价 x (元) 800 820 840 850 880 900销量 y (件) 90 84 83 80 75 68【解析】 （1）根据表格, A型车维修的概
6、率为 15, B型车维修的概率为 15, C型车维修的概率为 25.由题意, 的可能值为 0,1,2,3,所以 43805125p ； 43261+1p1492+25； 55p所以 的分布列为0 1 2 3p48256951所以 2401235E .【变式 2】 【2018 四川省德阳市三校联合测试】为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯4月用电范围（度） （0,210 （210,400 40,某市随机抽取 10 户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8
7、9 10用电量（度） 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410若规定第一阶梯电价每度 0.5 元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 0.6 元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度 0.8 元，试计算 A 居民用电户用电 410 度时应交电费多少元？现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；以表中抽到的 10 户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取 10 户，若抽到 k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k的值.【解析】 （1） 2054210.640.827元,设取到第二阶梯电量的用户数为 ，可知第二阶梯电量的用户有
8、3 户，则 可取 0,1,2,3,371024Cp217304Cp,73103102,故 的分布列是 0 1 2 3p7247401所以 721190340E ,可知从全市中抽取 10 户的用电量为第一阶梯，满足 310,5XB，可知51010325kkpXkC ,23,10 ,19100111()() 323255kk kk,解得 85k， *N,所以当 6k时，概率最大，所以 6k.【数学思想】 数形结合思想 函数方程思想 转化与化归思想.【温馨提示】均值能够反映随机变量取值的“平均水平” ，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值
9、相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策【典例试题演练】1.【2017 河南百校联考】小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了 12 元，然后发给朋友 A，如果A猜中， 将获得红包里的所有金额；如果 A未猜中， 将当前的红包转发给朋友 B，如果 猜中，B、平分红包里的金额；如果 B未猜中， 将当前的红包转发给朋友 C，如果 猜中， 、 和 C平分红包里的金额；如果 C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设 A、 、 猜中的概率分别为 1,32，且 A、 、 是否猜中互不影响（1）求 恰好获得 4 元的概率；（2）设 获得的金额为 X元，求 的分
10、布列；（3）设 B获得的金额为 Y元， C获得的金额为 Z元，判断 A所获得的金额的期望能否超过 Y的期望与Z的期望之和6（3） Y的可能取值为 0，4，6； Z的可能取值为 0，4因为1252121, ,639393PPYPY，80,43ZZ，所以512146,0999EYE，所以2Z，又11580462939EX，由于 YZ，所以 A所获得的金额的期望能超过 Y的期望与 Z的期望之和2.【2016 洛阳市统一考试】今年春节期间，在为期 5 天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如下表：2 月 13 日 2 月 14 日 2 月 15 日 2 月 16 日 2 月 17 日日期天气
11、小雨 小雨 阴 阴转多云 多云转阴上午 42 47 58 60 63销售量下午 55 56 62 65 677由表可知：两个雨天的平均销售量为 100 件/天，三个非雨天的平均销售量为 125 件/天.（1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出表中 10 个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2）假如明天庙会 5 天中每天下雨的概率为 25，且每天下雨与否相互独立，其他条件不变，试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；（3）已知摊位租金为 1000 元/个，该种玩具进货价为 9 元/件，售价为 13 元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于 1200 元的概率
12、超过 0.6，则称为“值得投资” ，那么在（2）的条件下，你认为“值得投资”吗?【解析】 （1）由已知得如下茎叶图，中位数为586092.（2）设明年庙会期间下雨天数为 X，则 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5，且 X2(5,)B，所以2()5EX，所以估计明年庙会期间，可能有 2 天下雨，3 天不下雨，据此推测庙会期间该摊点能售出的玩具件数为 102537.3.一个口袋中有 2 个白球和 n 个红球( n2，且 nN *)，每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中)，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖8（1）试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率；（2）若 n3
13、，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f(p)，当 n 为何值时， f(p)取最大值？【解析】 （1）一次摸球从 n2 个球中任选两个，有 C 种选法，其中两球颜色相同有 C C 种选法，2n 2 2n 2因此一次摸球中奖的概率为 .n2 n 2n2 3n 2（2）若 n3，则一次摸球中奖的概率为 ，三次摸球是独立重复试验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是25C (1 )2 .1325 25 54125（3）设一次摸球中奖的概率是 p，则三次摸球恰有一次中奖的概率是 f(p)C p(1 p)1323 p36 p23 p，0 p1.因为 f( p)9 p212 p3
14、3( p1)(3 p1)，所以 f(p)在(0， )上是增函数，在( ，1)上是减函数，13 13所以当 p 时， f(p)取最大值，13所以 p (n2，且 nN *)，所以 n2.n2 n 2n2 3n 2 13故 n2 时， f(p)取最大值4.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额（1）若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求：顾客所获的奖励额为 60 元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及均值；
15、（2）商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由9（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元所以，先寻找均值为 60 元的可能方案对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为 60 元是面值之和的最大值，所以均值不可能为 60 元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为 60 元是面值
16、之和的最小值，所以均值也不可能为 60 元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案 1.对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案 2.以下是对两个方案的分析：对于方案 1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为 X1，则 X1的分布列为X1 20 60 100P 16 23 16X1的均值 E(X1)20 60 100 60，16 23 16X1的方差 D(X1)(2060) 2 (6060) 2 (10060) 2 .16 23 16
17、1 6003对于方案 2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为 X2，则 X2的分布列为X2 40 60 8010P 16 23 16X2的均值 E(X2)40 60 80 60，16 23 16X2的方差 D(X2)(4060) 2 (6060) 2 (8060) 2 .16 23 16 4003由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.5.(2016全国乙卷)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件
18、不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数（1）求 X 的分布列；（2）若要求 P(X n)0.5，确定 n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？【解析】 （1）由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为
19、8,9,10,11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2,0.2.从而 P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以 X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04116.【2018 四川省乐山外国语学校模拟】某公司每个工作日由位于市区的总公司向位于郊区的分公司开一个来回的
20、班车（每年按 200 个工作日计算） ，现有两种使用班车的方案，方案一是购买一辆大巴，需花费 90万元，报废期为 10 年，车辆平均每年的各种费用合计 5 万元，司机年工资 6 万元，司机每天请假的概率为 0.1（每年请假时间不超过 15 天不扣工资，超过 15 天每天 100 元） ，若司机请假则需从公交公司雇佣司机，每天支付 300 元工资.方案二是租用公交公司的车辆（含司机） ，根据调研每年 12 个月的车辆需求指数如直方图所示，其中当某月车辆需求指数在 21,23450n时，月租金为 10.2n万元.（1）若购买大巴，设司机每年请假天数为 x，求公司因司机请假而增加的花费 y（元）及使用班车年平均花费 （万元）的数学期望 E.（2）试用调研数据，给出公司使用班车的建议，使得年平均花费最少.【解析】 （1）由已知，当 15x时， 30yx，当 5x时， 204215y 12所以 3015 ,215xxy N 由已知 ,.B，所以 20.E所以 960.3.5.E（万元）
