1、 数学试题一、选择题：本大题共 8 小题 ,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 满足条件： ，则 对应的点位于 （ ）z12izA.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限答案：D解析： ，12i i12i5z复数 对应点坐标为 位于第四象限,2. 已知集合 ，则 ( ）12,1,023MxRNMNA. B. C. D. 0,2 ,0,123答案：A解析： 1,13,1,023xx MN0,23. 某工厂的一、二、三车间在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一
2、、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且 a、b、c 构成等差数列，则二车间生产的产品数为( )A800 B1 000 C1 200 D1 500答案：选 C 解析：因为 a、 b、 c 成等差数列，所以 2b a c，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为 3 600 1 200.134. 某几何体的三视图如右，其中俯视图是一个半圆，内接一个直角边长是 的等腰直角三角形，侧视图下方是一个正方形，则该几2何体的体积是（ ）A. 3B. 2C. 43 正视图 侧视图俯视图2D. 243答案：B解析：该几何体是一个四分之
3、一的球与一个直三棱柱的组合体.并且球半径为 1, 直三棱柱的底面是一个等腰直角三角形，直三棱柱的高为 2 314123V5.已知两个单位向量 ， 的夹角为 ， ，若 ，则 _（ ab60(1)ctatb0ct）A.1 B.-1 C.2 D.-2答案：2【解析】因为 ，故 ，故 .(1)0bctatbAA(1)02t2t6. 甲、乙、丙等 6 人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有_ 种( 用数字作答)A.720 B.480 C.144 D.360答案：B 解析：先在 6 个位置找 3 个位置，有 C 种情况，甲、乙均在丙的同侧，有 4 种排法，而36剩下三人有 A 种情况，故共有
4、4C A 480 种3 3637. 如图，面积为 8 的平行四边形 对角线 ， 与 交于点 ，某指数,OBCOABE函数 ，经过点 ，则 （ ）0,1xya且 ,EaA. B. C. D.23答案：A解析：设点 ，则点 坐标为 ，又,tEaB2,ta2tta ，2ta平行四边形 的面积 ，又平行四边形 的面积为 8OC4tACtOABC ,t,2a8. 已知函数 ，方程 恰有三个不同的实数根，则实数 的126,()4xetfx()6fxt取值范围是（ ）A. B.1, 1,2C. D.,2 ,答案：DEC BAOyx解析： 求导 ，令 ，1()6xfe1()xfe1(),xfe则 (1)5f
5、在点 处的切线方程为x,56y方程 有且只有一个实数根1()6xfe若 224,623xx或故当 时， 有一个实数根； 时方程 有两个不同实数根t()fxt()6fx ，选择 D 答案12二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分.9. 展开式中 的系数为 80，则实数 a 的值为_来源:学#科#网5ax2x答案：2解析：展开式的通项公式为： ，令 ，所以 的系数为 ， 51rrTCx2r2x23580Ca.10. 已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为 .0)(xf 1|)(xf答案： |1x或解析： ，则 ，0)2(f22xx或 1x或的解集为x|1或11. 将函数 的图象向左平
6、移 4个单位，得到函数 xy2sin1的图象，则()cosyfx)(xf= 答案： 2cs解析： 图像向右移 个单位后所得函数图像解析式是21incosyx4cosiin4x所以 ，()2infx()2cosf12.过双曲线 1(a0，b0)的右焦点 F 作与 x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲x2a2 y2b2线的渐近线交于点 M、N (均在第一象限内)，若 4 ，则双曲线的离心率为 MNxyO AC y2x(1,1)B答案：53解析：取双曲线 1 的一条渐近线其方程为 ，设 ，x2a2 y2b2 byxa(,),bcMcmNa4 则 FMN21645ccmm点 在双曲线上， 2ab由及
7、得22c295,c3e13. 在正方形 框格内有一块花纹（如图所示） ，花纹刚好过点OABC，经研究发现花纹边界是函数 与 图象的一部分，现,B2yx任取一个点 ，则点 取自阴影部分的概率为 . .M答案： 13解析：阴影部分的面积等于 131220 0xdx点 取自阴影部分的概率为 .M314. 已知函数 的两个极值点分别为 ，且 ，32()1()xmnxf 12,x1(0,)，点 表示的平面区域为 ，若函数 的图象21,x,)PDlog(4)ay上存在区域 内的点，则实数 的取值范围为 .Da答案： (,3)15. 如下图(1)、(2) 、(3) 、(4)四个图案，每个图案都是由小正方形拼
8、成，现按同样的规律 (小正方形的摆放规律相同)进行拼图，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形(1)f(6) ；(2) f(n)= .O AOBOCO解：(1)f(6)61.(2)因为 f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上式规律，所以得出 f(n1)f(n) 4n.因为 f(n1) f(n)4n，所以 f(n1) f(n)4n，f(n)f(n1)4(n1)f(n2) 4( n1)4(n2)f(n3) 4( n1)4(n2)4(n3)f(1)4( n1)4(n2)4(n3)42n 22n1.三解答题：解答应写出文字说明，证明过
9、程或演算步骤.16. (本小题满分 12 分)在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且满足ABC、 、 abc、 、 3sincosAaC（1 ）求角 的大小；（2 ）求 的取值范围.cosin解析：（1）由正弦定理得 ,3sinsicoCAC因为 所以 ，从而 ，即 ,又 ，所02Ai0i 3tan02C以 ;6C(2)由(1)可知 ,所以 ,又 , ,所以 ,56BAB02AB32B55cosincos()sincosinsinsi()666A 又 ,所以63B3cosin22AB17. (本小题满分 12 分)2014 年巴西世界杯小组抽签结果中，D 组被称为“死亡之组”.乌拉圭、英格兰、意
10、大利三个前世界杯冠军与哥斯达黎加分在 D 组. 乌拉圭、英格兰、意大利三队拟进行一次热身赛。已知他们在最近的战绩如下：意大利与英格兰的最近 10 战中，意大利 6 胜 2 平 2 负占优，意大利与乌拉圭史上交战 8 场，乌拉圭 2 胜 4 平 2 负平分秋色，英格兰与乌拉圭史上交战10 场，乌拉圭 4 胜 3 平 3 负稍占优势.小组赛采取单循环赛制（不分主客场，每个对手间只打一场） ，胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分.在英格兰、乌拉圭、意大利三支球队中：（1 ）求乌拉圭取得 6 分的概率；（2 ）求乌拉圭得分的期望.解析:由题可知乌拉圭对英格兰胜、平、负的概率分别为 ，乌
11、拉圭对意大利胜、23,510平、负的概率分别为 ，1,42(1)乌拉圭积 6 分的概率为 ;150P(2)由题可知，随机变量 的取值分别为 ，,234,6, , ,31(0)40P9(1)0316(2)04P, , ,275145P所以 .7E18. (本小题满分 12 分)如图，底面为正方形的四棱锥 S-ABCD 中，P 为侧棱 SD 上的点且SD平面 PAC，每条侧棱的长都是底面边长的 倍. 2（1 ） m 求二面角 P-AC-D 的大小 (2)在侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC.若存在，求SE：EC 的值；若不存在，试说明理由.解法一：（1）连 BD，设 AC 交
12、BD 于 O，由题意 。在正方SAC形 ABCD 中， ，所以 ,得 .ACBDABD平 面设正方形边长 ，则 。a2Sa又 ，所以 ,2O06O OC DB AS P连 ，知 ,所以 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m OPACSBD平 面 ACOP且 ,所以 是二面角 的平面角。由 ,知 ,所以 ,SD平 面 03即二面角 的大小为 。PA03（2）在棱 SC 上存在一点 E，使 /BPAC平 面由（1）可得 ，故可在 上取一点 ,使 ,过 作 的平行24DaSNDNPC线与 的交点即为 。连 BN。在 中知 ，又由于 ,故平面SCA/O/E，得 ,由于 ,故 ./BENPA平 面
13、 /BEPC平 面 21P： ： 21S： ：解析二（1）连 ,设 交于 于 ，由题意知 .以 O 为坐标原点，AB平 面分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立坐标系 如图.OCS， ， xyzxyz1 分设底面边长为 ，则高 .a62Oa于是 ，6(0,),(,0)2SDw, ，(,)Ca(,)Ba3 分2(0,)O26(,0)SDa由题设知，平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向PAC26,0SaDAC量 ，60,2Sa设所求二面角为 ，则 ,3cos2OSD0, 故所求二面角的大小为 7 分66（2）在棱 上存在一点 使 .SCE/BPAC平 面zyxOCDBASPE由（1）知 是平面 的一
14、个法向量，DSPAC且 26262,0,0,0aSaBCa设 w.w.w.k.s.5m 则 ,Et 6,(1),2BEtStat而 103BDSt即当 时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m :2:CDS而 不在平面 内，故 12 分EPA/BEPAC平 面19. (本小题满分 13 分)2013 年我国汽车拥有量已超过 2 亿（目前只有中国和美国超过 2 亿） ，为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号.某市采取对新车限量上号政策，已知 2013 年年初汽车拥有量为 1x（ =100 万辆），第 n年（2013 年为第 1 年
15、，2014 年为第 2 年，依次类推）年初的拥有量记为 n，该年的增长量 ny和 x与 mn的乘积成正比，比例系数为 )10(,其中 m=200 万.（1）证明： 50n；（2）用 x表示 1；并说明该市汽车总拥有量是否能控制在 200 万辆内.解：（1）依题 )(mxynn 2分 只需证明 50)1(xn，即证 0)1(2nx.上式显然成立，所以 ny。 5分（2） nnx1，所以 )201(1nnxx按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在 200 万辆内，即 n。6 分证明如下： 当 1n时， 0x，显然成立.假设 k时， 2k成立.则当 1n时 ， )201(1kkkxx是关于 k的一个二
16、次函数，令 xf )(20)(， 其对称轴 ，所以 ） 内 递 减在 （ ,)(xf)()fxf，即 201k综上所述， 20n成立. 13 分20. (本小题满分 13 分)已知圆 的圆心为 , 且 ，设 为圆上任一点,线段218xyMt0,N21tQ的垂直平分线交直线 于点 .QNQP（1 ）试讨论动点 的轨迹类型；P（2 ）当 时，设动点 的轨迹为曲线 ,过 上任一点 作直线 ， 与曲线 有且只t CPlC有一个交点， 与圆 交于点 ，若 的面积是 ，求直线 的方程.lABN31解：（1）由题 NQ当 时，点 在圆 内，点 在线段 内021tMPQ 21PMPt动点 的轨迹是以 为焦点，
17、 为长轴的椭圆2 分,N当 时，点 在圆 外，点 在线段 的延长线上21tQ 21PPQt动点 的轨迹是以 为焦点， 为实轴长的双曲线5 分,MN（2 ）由（1 ）知 时，动点 的轨迹是以 为焦点， 为长轴长的椭1t 1,0,MN2圆 ,acb曲线 的方程是 6 分C21xy当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为l lykxm由 消 并整理成 （*）21xykm22140k 与曲线 有且只有一个交点lC（*）方程有且只有一个实数解 即有 7 分221640kk221mk圆心 到直线 的距离为 ，(,0)Ml21k弦长 9 分222881mkABk点 到直线 的距离为1,0Nl2d 的面积为 即
18、AB12SAB2222222228181163mkSkkmkkm代 得 21k123mk 222422434961790mkk 297,k当 时，代入 得23k57m当 时，代入 得 12 分37k23mk57当直线的斜率不存在时，直线 方程为 或 经检验不满足条件lx2综上所求直线方程为 或 13 分75y375yx21. (本小题满分 13 分)已知函数 ，其中 是自然对数的底数，实数 .2exafe0a（1 ）试求函数 的单调区间；()f（2 ）证明：函数 的极值点 与原点连线的斜率之乘积为定值.xxa解析：（1） 1 分2,(),xxefa或当222,() ,xxaxafee或 时令
19、221()0, 1f a得 或 ，a,a当 21,()0xafx时当 4 分,或 时当222,() ,xxaaaxfee时同可知当 ，当21,()0f时 21,()0xaf时函数 的单调递增区间为 ，()fx2a,a单调递减区间为 7 分,21,21,法二、先求 ，2()exag222() ,xxaagee令 ，22()0=0,xagxe即 21a21xa当 时， ，当 时，12或 g2x0g 在 和 上单调递减，在 上单调递增()gx1,2,x1,x将 图象在 轴下方的图象沿 轴翻折到 轴上方连同 图象原来在 轴上方的图()gxx象得到 的图象()fx又 ， ，及 时，0ga221,1aa2x()0gx函数 的单调递增区间为 ，()fx,1,a单调递减区间为 ,a21,a21,(2)由（1 ）可知当 时，函数 取极大值，1x()fx且 2 2211aafaee可知当 时，函数 取极大值，221x()fx且 10 分2 2211aafaee ，21x12f 2222211411aafafaeeeA 为定值. 13 分12124fxfxeA
