1、第二章 函数与导数第 6 课时 二 次 函 数(对应学生用书(文) 、(理)1819 页)考情分析 考点新知 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导函数是二次函数，因此对二次函数的考查一直是高考的热点问题. 以二次函数为背景的应用题也是高考的常考题型，同时借助二次函数模型考查代数推理问题是一个难点 掌握二次函数的概念、图象特征. 掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值. 掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这“三个二次”之间的关系，提高解综合问题的能力., 1. (必修 1P54 测试 7)函数 f(x)x 22x3，x0，2的值域为
2、_答案：3，5解析：由 f(x) (x1) 24，知 f(x)在0，2 上单调递增，所以 f(x)的值域是 3，52. 二次函数 yx 22mxm 23 的图象的对称轴为 x20，则 m_，顶点坐标为_，递增区间为_，递减区间为_答案：2 (2，3) ( ，2 2，)3. (必修 1P45 习题 8 改编)函数 f(x)(x1)(xa)是偶函数，则 f(2)_答案：3解析：由 f(x)f(x) ，得 a1， f(2)3.4. (必修 1P44 习题 3)函数 f(x) 的单调增区间是_x2 2x 1， x 0， ）， x2 2x 1， x （ ， 0）)答案：R解析：画出函数 f(x)的图象可
3、知5. 设 abc0，二次函数 f(x)ax 2bxc 的图象可能是_(填序号)答案：解析：若 a0，则 b、c 同号，两图中 c0，正确；若 a0， 0，不符合，中 c0，则 b0，函数图象开口向上，函数在区间( ， 上是单调减函数，在 ，)上是单调b2a b2a增函数，当 x 时，y 有最小值，y min b2a 4ac b24a(2) 当 a0 时，图象与 x 轴有两个交点 M1(x1，0)，M2(x2，0) ，则 M1M2 |a|题型 1 求二次函数解析式例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1, f( 1)1，且 f(x)的最大值为 8，求二次函数 f(x)的解析式解：(解法
4、1：利用一般式)设 f(x)ax 2bxc(a0)， 解得4a 2b c 1，a b c 1，4ac b24a 8， ) a 4，b 4，c 7，) 所求二次函数为 f(x) 4x24x7.(解法 2：利用顶点式)设 f(x) a(xm) 2n， f(2)f(1)， 抛物线对称轴为 x ，2 （ 1）2 12即 m ；又根据题意，函数最大值 ymax8，12 n8， f(x)a 28. f(2)1， a 81，解得 a4.(x 12) (2 12)2 f(x) 4 284x 24x7.(x 12)(解法 3：利用两根式)由题意知 f(x)10 的两根为 x12，x 21，故可设 f(x)1a(
5、x2)(x 1)，即 f(x) ax2ax 2a1.又函数有最大值 ymax8，即 8，解得 a4 或 a0(舍)， 4a（ 2a 1） a24a所求函数的解析式为 f(x) 4x2(4)x2( 4)14x 24x7.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知二次函数 f(x)ax 2bxc 图象的顶点为( 1，10)，且方程 ax2bxc0 的两根的平方和为12，求二次函数 f(x)的表达式解：由题意可设 f(x)a(x 1) 210，即 f(x)ax 22ax a10； b2a ，ca10，设方程 ax2bxc 0 的两根为 x1、x 2，则 x x 12，21 2即(x 1x 2)22x
6、1x212， 2 12.( ba)2 ca又 b2a，ca 10， 2 12，解得 a2，( 2aa)2 a 10af(x) 2x2 4x8.题型 2 含参变量二次函数的最值例 2 函数 f(x)2x 22ax 3 在区间 1，1上最小值记为 g(a)(1) 求 g(a)的函数表达式；(2) 求 g(a)的最大值解：(1) 当 a2 时，函数 f(x)的对称轴 x 1，则a2 (a2) a22 a2g(a)f(1) 52a.综上所述，g(a)2a 5（a2）. )(2) 当 a2 时，g(a)0，g（2） 1 b 1，g（3） 3a b 1 4，) a 1，b 0，) 得 (舍) a1) a1
7、，b0，g(x)x 22x1，f(x)x 2.1x(2) 不等式 f(2x)k2 x0，即 2x 2k2 x，12x k 2 1.(12x)2 (12x)设 t ，则 kt 22t1， x1，1，12x故 t .12，2记 h(t)t 22t1， t ， h(t) max1，12，2故所求 k 的取值范围是( ，1 变 式 训 练已知函数 f(x) x2mxn 的图象过点(1 ，3)，且 f(1 x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与 yf(x)的图象关于原点对称(1) 求 f(x)与 g(x)的解析式；(2) 若 F(x)g(x)f(x)在(1，1上是增函数，求实数 的取值范围解：
8、(1) 因为函数 f(x)满足 f(1x) f(1x)对任意实数都成立，所以图象关于 x1 对称，即 1，即 m2.m2又 f(1) 1mn3，所以 n0，所以 f(x)x 22x.又 yg(x)与 yf(x) 的图象关于原点对称，所以g(x)( x)22(x)，所以 g(x)x 22x.(2) 由(1)知，F(x)(x 22x)(x 22x) (1)x 2(22)x.当 10 时，F(x)的对称轴为 x ，2 22（ 1） 1 1因为 F(x)在(1，1上是增函数，所以 或1 0，1 11，)所以 0，32a 6，) 14值范围是 0a .142. 已知函数 f(x)x 23xm，g(x)2
9、x 24x，若 f(x) g(x)恰在 x1，2 上成立，则实数 m 的值为_答案：2解析：由题意，x 23xm 2x24x，即 x2xm 0 的解集是 1，2，所以 m2.3. (2013南通三模)已知函数 f(x) 是偶函数，直线 yt 与函数 yf(x) 的图ax2 2x 1， x 0，x2 bx c， x 0 )象自左向右依次交于四个不同点 A、B、C、D.若 ABBC ，则实数 t 的值为_答案：74解析：根据偶函数的定义得 a1，b2，c1，f(x) x2 2x 1，x 0，x2 2x 1，x 0，)xD 3xC，xC xD 2，)所以 xC ，则 t 2 1 .12 (12)2
10、12 744. (2013新课标 )若函数 f(x)(1x 2)(x2axb) 的图象关于直线 x2 对称，则 f(x)的最大值为_答案：16解析：因为点(1，0)，( 1，0) 在 f(x)的图象上，且图象关于直线 x2 对称，所以点(5，0) ，(3，0)必在 f(x)的图象上，所以 f(5)(125)(25 5a b)0，f(3) (19)(93a b)0，联立，解得 a8，b 15，所以 f(x)(1 x 2)(x28x15)，即 f(x)(x 1)(x1)(x 3)(x5)(x 24x3)(x24x 5) 令 tx 24x (x2) 244，则 f(x) (t3)(t5)(t1) 2
11、16，当 t1 时，f(x)max16.1. 已知函数 f(x)e x1，g(x)x 24x3，若有 f(a)g(b)，则 b 的取值范围为_答案：(2 ，2 )2 2解析：易知，f(a)e a1 1，由 f(a)g(b)，得 g(b)b 24b31，解得 2 b2 .2 22. 已知函数 f(x)x 2axb(a、bR) 的值域为0，) ，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m 6)，则实数 c 的值为 _答案：9 解析：根据函数 f(x)x 2axb 的值域为0 ，)，得到 a24b0.又关于 x 的不等式 f(x)c，可化为 x2axb c0 ，它的解集为(m，m6) ，设函
12、数 f(x)x 2axbc 的图象与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1、x 2，则|x 2x 1|m6m6，从而(x 2x 1)2 36，即(x 1x 2)24x 1x236.又x1x2bc，x 1x 2a ，代入得到 c9.3. 设函数 f(x)x 21，对任意 x ，f 4m 2f(x)f(x1)4f(m) 恒成立，则实数 m 的取32， ) (xm)值范围是_答案： ( ， 32 32， )解析：由题意知 14m 2(x21) (x1) 214(m 21)在 x 上恒成立，x2m2 32， )4m 2 1 在 x 上恒成立，当 x 时，函数 y 1 取得最小值 ，1m2 3x2 2x 3
13、2， ) 32 3x2 2x 53所以 4m 2 ，即(3m 21)(4m 23)0，1m2 53解得 m 或 m .32 324. 已知函数 f(x)mx3，g(x)x 22xm.(1) 求证：函数 f(x)g(x)必有零点；(2) 设函数 G(x)f(x)g(x)1，若|G(x)|在1，0 上是减函数，求实数 m 的取值范围(1) 证明：f(x)g(x)(mx3)(x 22xm)x 2(m2)x(3 m)由 1(m2) 24(3m) m 28m 16(m4) 20，知函数 f(x)g(x)必有零点(2) 解：|G(x)| |x 2(m2)x(2 m)| |x 2(m2)x(m2)|， 2(
14、m2) 2 4(m2)(m2)(m6) ， 当 20，即 2m6 时，|G(x)|x 2(m2)x(m2)，若|G(x)|在1，0上是减函数，则 0，即 m2，所以 2m6 时，符合条件m 22 当 20，即 m2 或 m6 时，若 m2，则 0，要使|G(x)|在1，0 上是减函数，则 1 且 G(0)0，所以 m0；m 22 m 22若 m6，则 2，要使|G(x)|在1，0 上是减函数，则 G(0)0，所以 m6.m 22综上，m0 或 m2.1. 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果2. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论(三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴)，此类问题是考查的重点3. 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次” ，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体请 使 用 课 时 训 练 （A）第 6课 时 （见 活 页 ）.备课札记
