1、课 题： 第 12 课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式目的要求： 重点难点： 教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理 1：（柯西不等式的代数形式）设 均为实数，则dcba,，222)()(cba其中等号当且仅当 时成立。d证明：几何意义：设 ， 为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（ ） ，B （ ） ，那么它们的数量积为 ，ba,dc, bdac而 ， ，2|2|dc所以柯西不等式的几何意义就是：
2、 ，|其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理 2：（柯西不等式的向量形式）设 ， 为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成|立。3、定理 3：（三角形不等式）设 为任意实数，则：321,yxyx 2312312322121 )()()()()()( yxyx 分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理 4：（柯西不等式的推广形式）：设 为大于 1 的自然数，n（ 1， 2， ）为任意实数，则： ，其中等号当且仅iba,n 2112)(niiii baa当 时成立（当 时，约定 ， 1，2， ） 。nab
3、21 0ia0ib证明：构造二次函数： 2221 )()()() nbxaxxf 即构造了一个二次函数： iniiniaf 1211)()()由于对任意实数 ， 恒成立，则其 ，x0)(f 0即： ，)(4)(412121nininii baba即： ，)()(1221niinii等号当且仅当 ，02nbxabxa即等号当且仅当 时成立（当 时，约定 ，nb21 i 0ib1，2， ） 。in如果 （ ）全为 0，结论显然成立。ia柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设 ，等号成立当且仅当),2,1(0,nibRai iiiba212)(aii变式 2 设 ai，b i 同号且不为 0（i=
4、1，2，n） ，则： ，等号成立ini ba21)(当且仅当 。nbb21二、典型例题：例 1、已知 ， ，求证： 。12ba12yx1|byax例 2、设 ，求证： 。Rdcba, 2222 )()(dbcadcba例 3、设 为平面上的向量，则 。, | 例 4、已知 均为正数，且 ，求证： 。cba, 1cba91cba方法 1：方法 2：（应用柯西不等式）例 5：已知 ， ， 为实数，求证： 。1a2na2112)(nini a分析：推论：在 个实数 ， ， 的和为定值为 S 时，它们的平方和不小于 ，n1a2na 21Sn当且仅当 时，平方和取最小值 。n21 21三、小结：四、练习
5、：1、设 x1， x2， ， xn 0, 则 11nxxniinii2、设 （i=1，2， ，n）且 求证: Ri 1iixnjijni xx123、设 a 为实常数,试求函数 (x R)的最大值)cos(s)(axf4、求函数 在 上的最大值,其中 a， b 为正常数bxfsin)(20五、作业：1、已知： ， ,证明： 。12ba22nm2bnam提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。2、若 ，且 = ， = ，求证： Rzyx,zyxa22zyx1)0(zyx,都是不大于 的非负实数。a3证明：由 代入 =yxz22zyx可得 01)()(2a 0 即 Rx 021)(842a
6、yy化简可得 ： 023ay0a3同理可得： ， x0z32由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。3、设 ab 为不相等的正數，试证： (ab)(a 3b 3)(a 2b 2)2。4、设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=10，求 的最小值。z9y1x45、设 x，y，z R，求 的最大值。22zyx7、设三个正实数 a,b,c 满足 ，求证： a，b，c 一定)(2)( 442cbacba是某三角形的三边长。8、求证 个正实数 a1， a2， ， an 满足)3(n )() 442121 nn aa 9、已知 ,且 求证: 。Rzyx,x 12zyx10、设 , 求证: 。, 222 xzyz11、设 ,且 x+2y+3z=36,求 的最小值Rzyx, x31
