1、1一 圆周角定理课标解读 1.了解圆心角定理2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题.1圆周角定理及其推论(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(3)推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径2圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数1圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】 不一定相等一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补2在推论 1中，把“同弧或等弧”改
2、为“同弦或等弦”的话，结论还成立吗？【提示】 不成立因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的3 “相等的圆周角所对的弧相等” ，正确吗？【提示】 不正确 “相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图2若 AB DG，则 BAC EDF，但 .BC EF利用圆周角定理和圆心角定理进行计算在半径为 5 cm的圆内有长为 5 cm的弦，求此弦所对的圆周角3【思路探究】 过圆心作弦的垂线构造直角三角形先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数【自主解答】 如图所示，过点 O作 OD AB于点 D. OD AB， OD经过圆心 O， AD BD
3、 cm.532在 Rt AOD中，OD cm，OA2 AD252 OAD30， AOD60. AOB2 AOD120. ACB AOB60.12 AOB120，劣弧 的度数为 120，优弧 的度数为 240.AEB ACB AEB 240120，12此弦所对的圆周角为 60或 120.31解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角2和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比例线段，相似比来计算图 211已知如图 211， ABC内接于 O， ，点 D是 上任意一点， AD6 AB AC BCcm， BD5 cm， C
4、D3 cm，求 DE的长【解】 ，AB AC ADB CDE.又 ，BD BD BAD ECD. ABD CED. .即 .ADCD BDED 63 5ED ED2.5 cm.与圆周角定理相关的证明如图 212， ABC的角平分线 AD的延长线交它的外接圆于点 E.图 21 2(1)证明： ABE ADC；(2)若 ABC的面积 S ADAE，求 BAC的大小12【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似(2)利用(1)的结论及面积相等求 sin BAC的大小，从而求 BAC的大小4【自主解答】 (1)由已知条件，可得 BAE CAD.因为 AEB与 ACB是同弧上的圆周角，所以 AE
5、B ACD.故 ABE ADC.(2)因为 ABE ADC，所以 ，即 ABAC ADAE.ABAE ADAC又 S ABACsin BAC且 S ADAE，12 12故 ABACsin BAC ADAE，则 sin BAC1，又 BAC为三角形内角，所以 BAC90.1解答本题(2)时关键是利用 ABAC ADAE以及面积 S ABACsin BAC确定12sin BAC的值2利用圆中角的关系证明时应注意的问题(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题如图
6、213， ABC内接于 O，高 AD、 BE相交于 H， AD的延长线交 O于 F，求证：BF BH.图 21 3【证明】 BE AC， AD BC， AHE C. AHE BHF， F C， BHF F. BF BH.直径所对的圆周角问题5图 214如图 214 所示， AB是半圆的直径， AC为弦，且 AC BC43， AB10 cm， OD AC于 D.求四边形 OBCD的面积【思路探究】 由 AB是半圆的直径知 C90，再由条件求出 OD、 CD、 BC的长可得四边形 OBCD的面积【自主解答】 AB是半圆的直径， C90. AC BC43， AB10 cm， AC8 cm， BC6
7、cm.又 OD AC， OD BC. OD是 ABC的中位线， CD AC4 cm， OD BC3 cm.12 12 S 四边形 OBCD (OD BC)DC12 (36)418 cm 2.12在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等图 215如图 215，已知等腰三角形 ABC中，以腰 AC为直径作半圆交 AB于点 E，交 BC于点 F，若 BAC50，则 的度数为( )EF6A25 B50C100 D120【解析】 如图，连接 AF. AC为 O的直径， AFC90， AF
8、 BC， AB AC， BAF BAC25，12 的度数为 50.EF【答案】 B(教材第 26页习题 2.1第 3题)图 216如图 216， BC为 O的直径， AD BC，垂足为 D， ， BF和 AD相交于 E，求AB AF证： AE BE.(2013陕西高考)如图 217，弦 AB与 CD相交于 O内一点 E，过 E作 BC的平行线与 AD的延长线交于点 P，已知 PD2 DA2，则 PE_.图 217【命题意图】 本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识，证明三角形相似考查7了逻辑推理能力，求线段的长度考查了知识的应用能力及转化意识【解析】 BC PE， C PED. C A， A
9、 PED.在 PED和 PAE中， PED A， P P， PED PAE， .PEPA PDPE PA PD DA3， PD2， PE2 PAPD326， PE .6【答案】 61如图 218，在 O中， BAC60，则 BDC( )图 218A30 B45C60 D75【解析】 O中， BAC与 BDC都是 所对的圆周角，故 BDC BAC60.BC【答案】 C2在 ABC中， AB AC， AB AC， O是 ABC的外接圆，则 所对的圆心角为( )ABA22.5 B45C90 D不确定【解析】 ACB45， 所对的圆心角为 2 ACB90.AB【答案】 C3(2013焦作模拟)如图 2
10、19， A、 B、 C是 O的圆周上三点，若 BOC3 BOA，则 CAB是 ACB的_倍8图 21 9【解析】 BOC3 BOA， 3 ，BC AB CAB3 ACB.【答案】 34如图 2110 所示，两个同心圆中， 的度数是 30，且大圆半径 R4，小圆CmD半径 r2，则 的度数是_AnB图 21 10【解析】 的度数等于 AOB，又 的度数等于 AOB，则 的度数是 30.AnB CmD AnB【答案】 30一、选择题图 21111如图 2111 所示，若圆内接四边形的对角线相交于 E，则图中相似三角形有( )A1 对 B2 对C3 对 D4 对【解析】 由推论知：9 ADB ACB
11、， ABD ACD， BAC BDC， CAD CBD， AEB DEC，AED BEC.【答案】 B2在半径为 R的圆中有一条长度为 R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A30 B30或 150C60 D60或 120【解析】 弦所对的圆心角为 60，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选 B.【答案】 B3如图 2112 所示，等腰 ABC内接于 O， AB AC， A40， D是 的中点，BCE是 的中点，分别连接 BD、 DE、 BE，则 BDE的三内角的度数分别是( )AC图 2112A50，30，100 B55，20，105C60，10，110 D40，20，120【解析】 如图所
12、示，连接 AD. AB AC， D是 的中点，BC AD过圆心 O. A40， BED BAD20 ， CBD CAD20. E是 的中点，AC CBE CBA35，12 EBD CBE CBD55. BDE1802055105，故选 B.【答案】 B104如图 2113，点 A、 B、 C是圆 O上的点，且 AB4， ACB30，则圆 O的面积等于( )图 21 13A4 B8C12 D16【解析】 连接 OA， OB. ACB30， AOB60，又 OA OB， AOB为等边三角形又 AB4， OA OB4. S O4 216.【答案】 D二、填空题图 21145(2013平顶山模拟)如图
13、 2114，已知 Rt ABC的两条直角边 AC， BC的长分别为 3 cm，4 cm，以 AC为直径的圆与 AB交于点 D，则 _.BDDA【解析】 连接 CD， AC是 O的直径， CDA90.由射影定理得 BC2 BDBA， AC2 ADAB， ，即 .BC2AC2 BDDA BDDA 16911【答案】 1696如图 2115， AB为 O的直径，弦 AC， BD交于点 P，若 AB3， CD1，则sin APD_.图 2115【解析】 由于 AB为 O的直径，则 ADP90，所以 APD是直角三角形则 sin APD ，cos APD ，ADAP PDAP由题意知， DCP ABP，
14、 CDP BAP，所以 PCD PBA.所以 ，又 AB3， CD1，则 .PDAP CDAB PDAP 13cos APD .又sin 2 APDcos 2 APD1，13sin APD .223【答案】 223三、解答题7如图 2116，已知 A、 B、 C、 D是 O上的四个点， AB BC， BD交 AC于点 E，连接 CD、 AD.(1)求证： DB平分 ADC；(2)若 BE3， ED6，求 AB的长图 2116【解】 (1)证明： AB BC， ，AB BC BDC ADB，12 DB平分 ADC.(2)由(1)可知 .AB BC BAC ADB. ABE ABD. ABE DB
15、A. .ABBE BDAB BE3， ED6， BD9. AB2 BEBD3927. AB3 .38如图 2117, ABC是圆 O的内接等边三角形， AD AB，与 BC的延长线相交于点 D，与圆 O相交于点 E，若圆 O的半径 r1，求 DE的长度图 2117【解】 连接 BE， AD AB， BE为 O的直径，且 BE2 r2.又 AEB ACB60， ABE30， EBD30.又 ABD60， D EBD30， DE BE2.9如图 2118所示，在圆内接 ABC中， AB AC， D是 BC边上的一点， E是直线AD和 ABC外接圆的交点图 2118(1)求证： AB2 ADAE；1
16、3(2)如图 2118所示，当 D为 BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由【解】 (1)证明：如右图，连接 BE. AB AC， ABC ACB. ACB AEB， ABC AEB.又 BAD EAB. ABD AEB. AB AE AD AB，即 AB2 ADAE.(2)如图，连接 BE，结论仍然成立，证法同(1)10.已知：如图， BC为半圆 O的直径， F是半圆上异于 B、 C的一点， A是 的中点，BFAD BC于点 D， BF交 AD于点 E.(1)求证： BEBF BDBC；(2)试比较线段 BD与 AE的大小，并说明道理【解】 14(1)证明：连接 FC，则 BF FC.在 BDE和 BCF中， BFC EDB90 FBC EBD， BDE BFC. .即 BEBF BDBC.BEBC BDBF(2)连接 AC、 AB，则 BAC90. ，12.又2 ABC90，3 ABD90，AF AB23，13. AE BE.在 Rt EBD中， BEBD， AEBD.
