1、 第 1 页 共 7 页 23 直线的参数方程预习梳理1过定点 M0(x0， y0)、倾斜角为 的直线 l 的参数方程为_，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点 M 到定点 M0的距离等于参数 t 的绝对值当 t0 时， 的方向向上；当 t0 时， 的方向向下；当点 M 与点 M0重合时，M0M M0M t0.2若直线的参数方程为一般形式为：( 参数)，x x0 at，y y0 bt)t为可把它化为标准形式：_其中 是直线的_，tan _，此时参数 t才有如前所说的几何意义预习思考经过点 M0(1，5)，倾斜角是 的直线 l 的参数方程为： 3_预习梳理1. (t 为参数 )x x
2、0 tcos ，y y0 tsin )2. (t 为参数)x x0 t cos ，y y0 t sin )倾斜角 ba预习思考(t 为参数)x 1 12t，y 5 32t)一 层 练 习第 2 页 共 7 页 1以 t 为参数的直线方程 M0(1，2)， M(x， y)是曲线上的定点和动点，x 1 t2，y 2 32t， )则 t 的几何意义是( )A M0M B MM0C| M0M| D2 21A 2直线 (t 为参数 )上对应 t0， t1 两点间的距离是 ( )x 2 3t，y 1 t)A1 B. 10C10 D2 22.B 3下列可以作为直线 2x y10 的参数方程的是( )A. (
3、t 为参数)x 1 t，y 3 t)B. (t 为参数)x 1 t，y 5 2t)C. (t 为参数)x 1 t，y 3 2t)D. (t 为参数)x 2 255t，y 5 55t )3.C4直线的参数方程为 (t 为参数)，则它的斜截式方程为x 2 12t，y 3 32t)_4 y x323 3二 层 练 习5直线 (t 为参数)的倾斜角 等于 ( )x 2 tcos 30，y 3 tsin 60)A30 B60C45 D1355D 第 3 页 共 7 页 6直线 (t 为参数)和圆 x2 y216 交于 A、 B 两点，则 AB 的中点坐x 1 12t，y 33 32t)标为( )A(3，
4、3) B( ，3)3C( ，3) D(3， )3 36.D 7设直线的参数方程为 (t 为参数)，则点 (3，6)到该直线的距离是x 1 t，y 2 4t )_7.2017178(2015惠州市高三第二次调研考试)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为(t 为参数 )以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的x t，y 4 t)极坐标方程为 4 sin ，则直线 l 和曲线 C 的公共点有_个2 ( 4)81三 层 练 习9若直线 (t 为参数 )与直线 4x ky1 垂直，则常数 k_x 1 2t，y 2 3t)9610若直线 l1： (t 为参数)与直
5、线 l2： (s 为参数)垂直，则x 1 2t，y 2 kt) x s，y 1 2s)k_10.111在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l1： (s 为参数)和直线 l2：x 2s 1，y s )(t 为参数 )平行，则常数 a 的值为x at，y 2t 1)_114 112直线 (t 为参数 )与曲线 ( 为参数)的交点个数为x 2 t，y 1 t) x 3cos ，y 3sin )_第 4 页 共 7 页 2.2 个13在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 (参数 tR)，若x 1 t，y 4 2t)以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为
6、4sin ，则直线 l 被曲线C 所截得的弦长为_13.45514如图，在极坐标系中，过点 M(2，0)的直线 l 与极轴的夹角 ，若将 l 的极 6坐标方程写成 f( )的形式，则 f( )_14解析：设直线上的任一点为 P( ， )，因为 ，所以 OPM ，根据 6 6正弦定理得 ，即 .sin( 6)2sin( 6 )2 sin 56sin( 6 )1sin( 6 )答案：1sin( 6 )15已知曲线 C 的极坐标方程是 4sin ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 (t 为参数)，x 22t，y 4 22t)点 P 是曲
7、线 C 上的动点，点 Q 是直线 l 上的动点，求| PQ|的最小值15解析：曲线 C 的极坐标方程 4sin 可化为 24 sin ，其直角坐标方第 5 页 共 7 页 程为 x2 y24 y0，即 x2( y2) 24.直线 l 的方程为 x y40.所以，圆心到直线 l 的距离 d 3 .| 2 4|2 2所以，| PQ|的最小值为 3 2.216已知直线 C1： (t 为参数)和圆 C2： ( 为参数)x 1 tcos ，y tsin ) x cos ，y sin )(1)当 时，求 C1与 C2的交点坐标； 3(2)过坐标原点 O 作 C1的垂线，垂足为 A， P 为 OA 的中点，
8、当 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线16解析：(1)当 时， 3C1的普通方程为 y (x1)，3C2的普通方程为 x2 y21.联立方程组 y 3（ x 1） ，x2 y2 1， )解得 C1与 C2的交点坐标为(1，0)， .(12， 32)(2)C1的普通方程为 xsin ycos sin 0.点 A 的坐标为(sin 2 ，cos sin )，故当 变化时，点 P 轨迹的参数方程为( 为参数)x 12sin2 ，y 12sin cos )点 P 轨迹的普通方程为 y2 .(x14)2 116故点 P 的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆(14， 0) 14第 6 页 共
9、7 页 1直线的参数方程的形式有多种，其中参数 t 不都具有明确的几何意义2经过点 M0(x0， y0)，倾斜角为 的直线的参数方程一般写为(t 是参数 )x x0 tcos ，y y0 tsin )其中参数 t 具有明确的意义，在解题中注意应用3直线参数方程的应用直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判别是否是标准形式再考虑 t 的几何意义4一般涉及弦长问题，均可把直线设为参数方程的标准形式，即(t 为参数 )，一般形式 (t 为参数)只要满足 a2 b21，x x0 tcos ，y y0 ts
10、in ) x x0 at，y y0 bt)也是标准形式【习题 2.3】1解析：(1)直线 l 的参数方程为 (t 为参数 )x 1 12t，y 5 32t)(2)将直线 l 的参数方程中的 x， y 代入 x y2 0 得 t(106 )所以直线3 3l 与直线 x y2 0 的交点到点 M0的距离为| t|106 .3 3(3)将直线 l 的参数方程中的 x， y 代入 x2 y216 得 t2(15 )t100.设上述3方程的两根为 t1， t2，则 t1 t2(15 )， t1t210.可知 t1， t2均为负值，所以3|t1| t2|( t1 t2)15 .所以两个交点到点 M0的距离
11、的和为 15 ，积为 10.3 32解析：设过点 P(2，0)的直线 AB 的倾斜角为 ，由已知可得 cos ，sin 35第 7 页 共 7 页 .所以直线 AB 的参数方程为 (t 为参数 )，代入 y22 x，整理得45 x 2 35t，y 45t )8t215 t500.中点 M 的相应参数是 t ，所以点 M 的坐标是 .t1 t22 1516 (4116， 34)3解析：设过点 M(2，1)的直线 AB 的参数方程为 (t 为参数)，代x 2 tcos ，y 1 tsin )入双曲线方程，整理得(cos 2 sin 2 )t22(2cos sin )t20.设 t1， t2为上述方
12、程的两个根，则 t1 t2 .因为点 M 是线段 AB 的中点，由 t4cos 2sin cos2 sin2 的几何意义可知 t1 t20，所以 4cos 2sin 0. 于是得到 ktan 2.因此，所求直线的方程为 y12( x2)，即 2x y30.4解析：直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，代入 y22 px 得到x 2 22t，y 4 22t)t22 (4 p)t8(4 p)0.由根与系数的关系得到 t1 t22 (4 p)，2 2t1t28(4 p)因为| M1M2|2| AM1|AM2|，所以( t1 t2)2| t1|t2| t1t2，即( t1 t2)25 t1t2，所以2 (4 p)258(4 p)，即 4 p5，即 p1.2
