1、1第一讲 相似三角形的判定及有关性质一 平行线等分线段定理课标解读1.掌握平行线等分线段定理及其两个推论2.能运用平行线等分线段定理及其两个推论进行简单的证明或计算.1平行线等分线段定理(1)文字语言：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(2)图形语言2图 111如图 111， l1 l2 l3， l 分别交 l1， l2， l3于 A， B， C， l分别交 l1， l2， l3于A1， B1， C1，若 AB BC，则 A1B1 B1C1.2平行线等分线段定理的推论(1)推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边(2)推论 2：经过梯
2、形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰1平行线等分线段定理有哪些应用？【提示】 定理既可证明同一直线上的线段相等，亦可等分已知线段2平行线等分线段定理的逆命题是怎样的？它是正确的吗？【提示】 平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行，这个命题是错误的(如图所示)3如何证明平行线等分线段定理的推论 1?【提示】 如图，在 ABC 中， B为 AB 的中点，过 B作B C BC 交 AC 于点 C，求证： C是 AC 的中点证明：如图，过 A 作直线 a BC， BC B C， a BC B C.又 AB BB， AC CC，即 C是 AC 的中点3
3、平行线等分线段定理图 112如图 112，已知 AC AB， DB AB， O 是 CD 的中点，求证：OA OB.【思路探究】 由于线段 OA 和 OB 有共同端点，则转化为证明 OAB 是等腰三角形即可【自主解答】 过 O 作 AB 的垂线，垂足为 E，如图所示又 AC AB， DB AB， OE AC DB.又 O 为 CD 的中点， E 为 AB 的中点，又 OE AB， OAB 是等腰三角形， OA OB.1本题中由 AC AB， DB AB 知 AC DB，联想到作 OE AB，再根据平行线等分线段定理证明点 E 是 AB 的中点42平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有
4、线段的中点时构造线段的中点来应用已知：如图 113， ABCD 的对角线 AC、 BD 交于点 O，过点 A， B， C， D， O 分别作直线 a 的垂线，垂足分别为 A， B， C， D， O；求证： A D B C.图 113【证明】 ABCD 的对角线 AC、 BD 交于点 O， OA OC， OB OD. AA a， OO a， CC a， AA OO CC. O A O C，同理： O D O B， A D B C.平行线等分线段定理推论 1 的应用如图 114，在 ABC 中， AD， BF 为中线， AD， BF 交于 G， CE FB交 AD 的延长线于 E.求证： AG2
5、DE.5图 114【思路探究】AF FC，GF EC AG GE BDG CDE AG2 DE【自主解答】 在 AEC 中， AF FC， GF EC， AG GE. CE FB， GBD ECD， BGD E.又 BD DC， BDG CDE.故 DG DE，即 GE2 DE，因此 AG2 DE.1如果已知条件中出现中点，往往运用三角形的中位线定理来解决问题2本例在证明 DG DE 时也可以过 D 作 EC 的的平行线 DH.因为 BG DH CE 且 BD CD 得 DG DE，使用平行线等分线段定理来证明如图 115，已知 AD 是三角形 ABC 的中线， E 为 AD 的中点， BE
6、的延长线交 AC 于 F.6图 115求证： AF AC.13【证明】 过 D 作 DH BF，交 AC 于 H. BD CD， DH BF， FH CH.同理： AF FH. AF FH CH， AF AC.13平行线等分线段定理推论 2 的运用如图 116 所示，梯形 ABCD 中， AD BC， DC BC， B60，BC AB， E 为 AB 的中点7图 116求证： ECD 为等边三角形【思路探究】 过 E 作 EF BC，先证明 EC ED，再连接 AC，证明 BCE30，从而 ECD60.【自主解答】 过 E 作 EF BC 交 DC 于 F，连接 AC，如图所示 AD BC，
7、E 为 AB 中点， F 是 DC 中点 又 DC BC， EF BC， EF DC. 由知， EF 是 DC 的垂直平分线， ECD 为等腰三角形 BC AB， B60， ABC 是等边三角形又 E 是 AB 中点， CE 是 ACB 的平分线， BCE30， ECD60. 由知， ECD 为等边三角形1解答本题的关键是通过证明 ABC 是等边三角形来证明 BCE30.2有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论 2的基本图形，进而进行几何证明或计算如图 117，在梯形 ABCD 中， AD BC， BC2 AD， E， F 分别是 AB， CD 的中点， EF8
8、交 BD 于 G，交 AC 于 H.求证： EG GH HF.图 117【证明】 E， F 分别是 AB， CD 的中点， AD BC. EF AD， EF BC. G， H 分别是 BD， AC 的中点 EG 綊 AD， FH 綊 AD. EG FH.12 12 BC2 AD， EH BC，12 EH AD，又 EG AD.12 GH EH EG AD AD AD.12 12 EG GH.即 EG GH HF.(教材 P5练习 T2)已知：如图 118， M， N 分别是 ABCD 的 AB， CD 边的中点， CM 交 BD 于点 E， AN 交BD 于点 F.图 118请你探讨 BE，
9、EF， FD 三条线段之间的关系，并给出证明9(2013高丘模拟)如图 119，在梯形 ABCD 中，AD BC， E 为 BC 中点，且 AE DC， AE 交 BD 于点 F，过点 F 的直线交 AD 的延长线于点 M，交 CB 的延长线于点 N，则 FM 与 FN 的关系为( )A FMFN B FMGF10B AG GFC AGGFD AG 与 GF 的大小不确定【解析】 DE 是 ABC 的中位线， DE BC， AD DB， AG GF.【答案】 B图 11112已知：如图 1111， l1 l2 l3，那么下列结论中错误的是( )A由 AB BC 可得 FG GHB由 AB BC
10、 可得 OB OGC由 CE2 CD 可得 CA2 BCD由 GH FH 可得 CD DE12【解析】 由平行线等分线段定理知，A、C、D 均正确【答案】 B3. 如图 1112，在梯形 ABCD 中， AD BC， AD BC10 cm， E 为 AB 的中点，点 F在 DC 上，且 EF AD，则 EF 的长为( )A5 cm B10 cmC20 cm D不确定11图 1112【解析】 由推论 2 知， EF 是梯形 ABCD 的中位线，故 EF (AD BC) 105 cm.12 12【答案】 A图 11134如图 1113 所示， AF FD BD， FG DE BC，若 EP1，则
11、BC_.【解析】 由平行线等分线段定理知 AG GE EC，则 EP 是 CFG 的中位线，故FG2，又 FG 是 ADE 的中位线， DE4， DP3，又 DP 是 FBC 的中位线， BC6.【答案】 6一、选择题图 11141如图 1114，已知 l1 l2 l3， AB， CD 相交于 l2上一点 O，且 AO OB，则下列结论中错误的是( )A AC BDB AE EDC OC ODD OD OB【解析】 由 l1 l2 l3知 AE ED， OC OD，12由 AOC BOD 知 AC BD，但 OD 与 OB 不能确定其大小关系故选 D.【答案】 D图 11152(2013信阳模
12、拟)已知如图 1115， AE EC， CE 平分 ACB ， DE BC，则 DE 等于( )A BC ACB AC BFC. (AB AC)12D. (BC AC)12【解析】 由已知得 CE 是线段 AF 的垂直平分线 AC FC， AE EF， DE BC， DE 是 ABF 的中位线 DE BF (BC AC)12 12【答案】 D图 11163如图 1116， AD 是 ABC 的高， E 是 AB 的中点， EF BC 于 F，若 DC BD，则13FC 是 BF 的( )倍A. B.53 43C. D.32 23【解析】 EF BC， AD BC，13 EF AD，又 E 为
13、AB 的中点， F 是 BD 的中点，即 BF DF.又 DC BD， DC BF.13 23 FC FD DC BF DC BF.53【答案】 A图 11174如图 1117，在梯形 ABCD 中， E 为 AD 的中点， EF AB， EF30 cm， AC 交 EF于 G，若 FG EG10 cm，则 AB( )A30 cm B40 cmC50 cm D60 cm【解析】 由平行线等分线段定理及推论知，点 G， F 分别是线段 AC， BC 的中点，则EG DC， FG AB.12 12Error! ， Error!，解得Error! .【答案】 B二、填空题图 11185如图 1118
14、 所示，在梯形 ABCD 中， AD BC， AD2， BC6， E， F 分别为对角线 BD、 AC 的中点，则 EF_.【解析】 如图所示，过 E 作 GE BC 交 BA 于 G. E 是 DB 的中点， G 是 AB 的中点，又 F 是 AC 的中点， GF BC， G， E， F 三点共线，14 GE AD1， GF BC3，12 12 EF GF GE312.【答案】 2图 11196如图 1119，在 ABC 中， E 是 AB 的中点， EF BD 交 AC 于 F， EG AC 交 BD 于G， CD AD，若 EG5 cm，则 AC_；若 BD20 cm，则 EF_.12【
15、解析】 E 为 AB 的中点， EF BD， F 为 AD 的中点 E 为 AB 的中点， EG AC， G 为 BD 的中点，若 EG5 cm，则 AD10 cm，又CD AD5 cm， AC15 cm.若 BD20 cm ，则 EF BD10 cm.12 12【答案】 15 cm 10 cm三、解答题图 11207如图 1120，已知以梯形 ABCD 的对角线 AC 及腰 AD 为邻边作 ACED， DC 的延长线交 BE 于 F.求证： EF BF.【证明】 连接 AE 交 DC 于 O，四边形 ACED 是平行四边形， O 是 AE 的中点(平行四边形的对角线互相平分)四边形 ABCD
16、 是梯形， DC AB.在 EAB 中， OF AB， O 是 AE 的中点， F 是 EB 的中点 EF BF.8如图 1121 所示，已知线段 AB，求作线段 AB 的五等分点，并证明图 112115【解】 作法：(1)作射线 AC；(2)在射线 AC 上以任意取定的长度顺次截取 AD1 D1D2 D2D3 D3D4 D4D5；(3)连接 D5B；(4)分别过 D1， D2， D3， D4作 D5B 的平行线 D1A1， D2A2， D3A3， D4A4，分别交 AB 于点A1， A2， A3， A4，则点 A1， A2， A3， A4将线段 AB 五等分证明：过点 A 作 MN D5B.
17、则 MN D4A4 D3A3 D2A2 D1A1 D5B， AD1 D1D2 D2D3 D3D4 D4D5， AA1 A1A2 A2A3 A3A4 A4B.点 A1， A2， A3， A4就是所求的线段 AB 的五等分点9用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图 1122(1)，先把矩形纸 ABCD对折，设折痕为 MN；再把 B 点叠在折痕线上，得到 Rt ABE，沿着 EB 线折叠，就能得到等边 EAF，如图(2)想一想，为什么？图 1122【解】 利用平行线等分线段定理的推论 2， N 是梯形 ADCE 的腰 CD 的中点， NP AD， P 为 EA 的中点在 Rt ABE 中， P
18、A PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，13.又 PB AD，32.12.又1 与和它重合的角相等，1230.在 Rt AEB 中， AEB60，1260， AEF 是等边三角形1610.如图所示， AE BF CG DH， AB BC CD， AE12， DH16， AH 交 BF 于点 M，求 BM12与 CG 的长【解】 如图，取 BC 的中点P，作 PQ DH 交 EH 于点 Q，则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线 AE BF CG DH，AB BC CD，12AE12， DH16， ， ，ABAD 14 BMDH ABAD ， BM4.BM16 14 PQ 为梯形的中位线， PQ (AE DH) (1216)14.12 12同理， CG (PQ DH) (1416)15.12 12
