1、第二篇 数学物理方程1Mathematical Equations for Physics想要探索自然界的奥秘就得解微分方程 牛顿重点1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法；2、系统的边界条件和初始条件的写法；3、一维波动方程的行波解。第七章 数学物理方程的定解问题数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程 (涉及到多个变量 )，有时也包括与此有关的积分方程。2一、数学物理方程 -泛定方程 :物理规律的数学表示物理规律 物理量 u 在空间和时间中的变化规律，即物理量 u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。物理规律的直接表现： u在邻近地点和邻近时刻所取
2、的值之间的关系式 偏微分方程数学语言翻译泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。3二、边界问题 -边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件三、历史问题 -初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量 u， 即求 u(x,y,z,t)。4定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。具体的问题的求解的一般过
3、程：1、根据系统的内在规律列出泛定方程 客观规律2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和初始条件 求解所必须用的7.1 数学物理方程的导出53、求解方法 行波法、分离变量法、等导出步骤：1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻近部分与它的相互作用。2、根据物理规律，以算式表达这个作用。3、化简、整理。波动方程的导出（一）均匀弦的微小横振动x( , )u x tu弦的横振动设：均匀柔软的细弦沿 x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动u(x,t): 坐标为 x 的点在 t时刻沿垂线方向的位移求：细弦上各点的振动规律6选取不包括端点的一小段 (x, x+dx)(1)弦是柔
4、软的 (不抵抗弯曲 ),张力沿弦的切线方向(2)振幅极小 张力与水平方向的夹角 1和 2 很小，仅考虑 1和 2的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。研究对象：简化假设：u(x)u+uu012T2T1x x+x弦的原长 sx 现长22 ( ) ( )s x u x 7沿 x-方向，不出现平移2 2 1 1c o s c o s 0TT弦长 dx ，质量密度 ，B段的质量为 m= dx沿垂直于 x-轴方向2 2 1 1sin sin ( ) ttT T dx u 22 ttduf m m udt1 2 1 20 , c o s 1 .， ，11s in t a n x
5、x xu ux 22sin t an x x xu 受力分析和运动方程u(x)u+uu012T2T1x x+xB8在微小振动近似下：弦中各点的张力相等()x x dx x x ttT u u dx u （ ） x x d x x xx x ttuuT T u udx 2 /aT 2 0t t x xu a u波动方程 波速 a在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力为零。在受到横向作用力时，弦运动为 受迫振动 。设单位长度上弦受力 ，力密度为( , )F x t ( , ) ( , ) /f x t F x t ( , ) ( )x x d x x x ttT u u F x t dx d
6、x u （ ）受迫振动方程 2 ( , )t t x xu a u f x t 9单位质量所受外力，力密度（二）均匀杆的纵振动设：均匀细棒 (杆 )，沿杆长方向作微小振动u(x,t): 平衡时坐标为 x 的点在 t 时刻沿 x 方向的位移。求：细杆上各点的运动规律研究对象： 取一不包含端点的小段（ x, x+dx） ,并设杆的横截面积为 S，密度为 ，杨氏模量为 Y，该小段在 t时刻的伸长量 u(x+dx,t)-u(x,t)( , ) ( , )u x d x t u x t ud x x x x dx( , )u x t ( , )u x d x t相对伸长量：10胡克定律：LSdLfLdL
7、YSf Y：杨氏模量，运动方程：x x dx杆的 dx一段相对伸长u u duxuf Y S Y S ux杆 dx两端的相对伸长不同，应力也不同x dx x x dx x xxf f f YSu YSu YSu dx 又，牛顿定律：() ttf Sd x u2 0t t x xu a u 2 /aY a为波速ux11（四）均匀薄膜的微小横振动设：均匀柔软的薄膜绷紧，膜平面为 xy平面，研究膜在垂直于 xy平面的微小横振动u(x,y,t): 坐标点为 (x,y)的横向位移为张力在 xy平面上的投影方向薄膜 Tuxy平面的n张力 T的横向分量s in t a n uT T T n n12在 x和
8、x+dx两边所受的横向作用力xyx+dxy+dyxyn(即 y)n(即 x)()x x x xx d x xT u T u d y T u d x d y 在 y和 y+dy两边所受的横向作用力： Tuyydxdy 为单位面积的薄膜质量t t x x y yu d x d y T u d x d y T u d x d y ( ) 0t t x x y yu T u u 22 0ttu a u 2 /aT 薄膜的受迫振动方程2 2 ( , , )ttu a u f x y t 单位面积上的横向外力 ( , , )F x y t单位质量上的横向外力( , , )F x y t f 1314连续性
9、方程 :（扩散问题） 研究连续分布的某种 物理量xyz),( zyx( , , )x d x y d y z d z dxdydz密度 ：单位容积中物理量的多少( , , , )u x y z t流强度 ：单位时间通过单位面积的该物理量（ v 为流速）q uv单位时间沿 x-方向净流入量xqdxxq ()x d x x qq q d y d z d x d y d zx 单位时间净流入量等于由密度增加的量 ud x d y d zt q q q ud x d y d z d x d y d z d x d y d z d x d y d zx y z t 0( ) ( ) ( )x y zu
10、u v u v u vt x y z 物质的总量守恒0 ()vt （七） 扩散方程扩散现象： 系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。扩散定律：dxx)(xu )( dxxu 浓度梯度 ： u扩散流强度： 单位时间通过单位面积的物质的量qq D u 0()xu uvtx q uv一维扩散方程0( ) ( )xx qu u u uu v Dt x t x t x x 均匀222 0uuat x 0( ) ( ) ( )u u u uD D Dt x x y y z z 2aD利用连续性方程带入扩散定律三维扩散方程 15（八）热传导方程热传导 : 热量从温度高
11、的地方到温度低的地方转移。1ux2uq由能量守恒，（满足连续性方程）( , , , )u x y z t系统的温度q热流强度： 单位时间通过单位面积的热量热传导 定律： q k u k 热传导系数0ucqt 为密度， c为比热三维热传导方程 ( ) ( ) ( ) 0 t x y zc u k u k u k ux y z 16172、用匀质材料制做细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。xs1x+dx s2xu(x,t)xxuYS |1 dxxxuYS |2解： 如图选坐标系，选 dx段为研究对象 ,dx段两边受拉力分别为2 1 1( | | )x x d x x x t tY S u S u S
12、d x u 由牛顿第二定律：ttxxdxxx uSdxuSuSY112 | 0)( 222 xtt uxxxau Ya 作业： P121， 2, 7, 8187：长为 l的柔软均质绳索，一端固定在以匀速转动的竖直轴上，由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于水平线的横振动方程。XYx x+dx解： 如图选坐标系，由于惯性离心力的作用，绳内各处受力不同， x处的拉力为即2 2 2 21( ) ( )2lxT x x d x l x 21|x x d x x x t tT u T u d x u x ttT u ux 2 2 21 ( ) 2 x t tl x u ux 2
13、 2 21 ( ) 02t t xu l x ux 7.2 定解条件常微分方程定解问题回顾常微分方程求解就是积分。 积分过程会出现积分常数。 常微分方程定解问题就是确定积分常数 。利用在自变量取一个特定值时的值，如初值 u(t=0)确定积分常数。 积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数。数学物理方程的定解问题),( tzyxu要求给定：边界条件和初始条件19（一） 初始条件对于输运过程（扩散、热传导），初始状态是指所研究的物理量 u的初始分布0( , , , ) ( , , )tu x y z t x y z 初始“位移”初始“速度”0( , , , ) ( , , )
14、ttu x y z t x y z t的一次微分方程，只需要初始位移t的二次微分方程还需要初始速度。初始分布0( , , , ) ( , , )tu x y z t x y z 对于振动过程2 0t x xu a u2 0t t x xu a u20和 是空间坐标的函数( , , )x y z ( , , )x y z例：020222 , ( , )( ) , thlxxlu x thll x x ll 21注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是一点处的情况。一根长为 l的弦，两端固定于 0和 l。在中点位置将弦沿着横向拉开距离 h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件
15、。l xl/2h解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有0 0( , )ttu x t 初始位移（二）边界条件定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。A.第一类边界条件直接给出系统边界上物理量的函数形式 。如：两端固定的弦振动0 0( , ) xu x t 0( , ) xlu x t 和位置确定22常见的线性边界条件分为三类：细杆热传导0x lx0( , ) xlu x t u 或随时间变化的温度( , ) ( )xlu x t f t 恒温B.第二类边界条件第一类边界条件的基本形式：0 0 0 0 0 0,( , , , ) ( , , , )x y zu x y z t
16、 f x y z t边 界速度确定细杆的纵振动： 当端点“自由”，即无应力。根据胡克定律，杆的 相对伸长也为零 ： 0( , )x x lu x t 细杆热传导： 端点绝热， 热流强度为零 ，由热传导定律：0( , )x x lu x t 23C.第三类边界条件 位移和速度的组合细杆热传导： 端点“自由”冷却 (热流正比于温差 )。牛顿冷却定律： ()q h u T T 为环境温度。 nqu T根据热传导定律，在 x=l 处：()n x l x lku h u T 0x lx负 x方向n n正 x方向00()x x xku h u T() x x lu H u T0() xxu H u T在
17、x=0 处nnq kunxq ku24细杆纵振动： 端点与固定点弹性连接。应力为弹性力胡克定律：xf Y Su弹性力： f ku则在端点xk u Y Su0() x x lYSuuk 一般表达式：0 0 0 0 0 0 ,( ) ( , , , )边 界 x y zuu H f x y z tn这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。（三）衔接条件xlxk系统中可能出现物理性质急剧变化的点 (跃变点 )。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点， 某些物理量仍然可以是连续的 ，这就构成 衔接条件 。 25例ux0x横向力 作
18、用于 点。()Ft)(tF0x弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。)0()0( 00 xuxu12 0( ) s in s inF t T T 这两个等式就是衔接条件。0x又，横向力应与张力平衡：即1 1 02 2 000sin t a n ( , )sin t a n ( , )xxu x tu x t 0000( , ) ( , ) ( )xxT u x t T u x t F t 1 226确定 c：11s i n t a n ( 1 )caah22s i n t a n ( 2 )caalh 1coscos 21 aa ds=dx力平衡条件：0 1 1 2 22 2 1 1sin
19、 sin 0 ( 3 )c o s c o s 0 ( 4 )F T a T aT a T a xhF01、如右图，在 h处受到拉力 F0 ,写出初始位移 .)()0(| 0lxhxlhlchxxhcu t21解27解出：lThlhFc00 )( )()()0()(|00000lxhxllThFhxxlThlFu t作业： P128， 1, 33、长为 l 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为0q ，写出这个热传导问题的边界条件。在边界上有：若端点是绝热的，则解：nuqkn0| qqxuknuknlxlx x=l处：0|0xlx xuxuxq0 q0n nkqxux 00| x=0处：00
20、)(| qqxuknuknlxx kqxulx 0| 7.4 达朗贝尔公式 定解问题行波法用行波法求解波动方程的 基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。评述：这一思想与常微分方程的解法是一样的。关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。（一）波动方程的达朗贝尔公式22222 0( ) ( , )a u x ttx290),(2 u将 和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除：tx0( ) ( ) ( , )a a u x tt x t x 当 a=1 ，相当于沿 x 和 t 求导，变成沿对角线求导。当 a 不为 1，则求导的线进行相应的角度变化。变换： 12 ()x 和 12 ()t a 显然，x at x at 1 1 12 2 2 ()tx at x a t x a t x 1 1 12 2 2 ()tx at x a t x a t x xtx atx at坐标变换2240( , )au 30
