1、.不定积分、 基本要求1. 理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。2. 掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。3. 了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。、 主要内容. 原函数与不定积分概念1.原函数设在区间上 可导，且 （或 ）就称 为)(xF)( xfdxfdF)()(F在的一个原函数。)(xf2.不定积分在区间上函数 的所有原函数的集合，成为 在区间上的不定积分，)(xf )(xf记作 .dCxFf)()(其中 为 在上的一个原函数， 为任意常数.x.不定积分的性质1. (或 )dffd)()( ()xfdf2. (或 )CxC不定积分概念 不定积分性质基本积分法基本积分公式
2、无理函数的积分可化为有理函数的积分原函数概念第二类换元法第一类换元法 分部积分法.3. 其中 为非零常数.dxfkxf)()(k4. .dxgfg)(.基本积分公式1. ( 为常数)Ckxd2. u13. xln14. Cdarct25. xxsin126. dicos7. Cxsin8.tasec29. xdo10. Csectansec11. xx12. ed13. Caxxln114. chs15. xd16. Ccoslnta17. xxico18. dtaseclse19. Cxxonc.20. Caxxadrctn1221. l222. axxadrcsin223. 22l()C2
3、4. 22ln()dxxaa.换元积分法1. 第一类换元法.(凑微分法)( )dxf)()()fuFCx xu(其中 可导， 为 的一个原函数).2. 第二类换元法( )dxf)( 1()()ftdtx t(其中 单调可导，且 ， 为 的一个原函数)0tFtf.分部积分法)()()(xduvxudvx(其中 具有连续导数).有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四种部分分式的积分.(1) (2) dxa1dxan)(1(3) (4) qpcb2 qp
4、cbn)(2而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法.三角函数有理式的积分，总可用万能代换 将原不定积分化为 为积分变量的taxuu有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本公式或积分方法求解，可能更简便些.、 重点与难点原函数与基本积分公式换元法、分部积分法等基本积分方法抽象函数的积分、 例题解析、选择题例 1 若 的导数是 ，则 有一个原函数为 ( )(xfxcosf(A) (B) (C) (D) 1xsin1xsin1解 应选(B).因为 ，而in)(co)(例 2 设 有原函数 ，则 （ ）)xfxldl(A) (B) )41(2C)ln214(C
5、x(C) (D) lnx解 2)()(dfxf dxfxf)(2)(而 ， ，故1lnlf fdxf)( dx2)(l2 Cx4)1(ln22Cxln2所以应选(B).、填空题例 3 设 为定义区间上单调连续可微函数， 为相应的反函数，若)(xf )(1xf，则 为 CFd)(dxf)(1解 11xfxf )()(11xffCFxf)(1、讨论题例 4 解下列各题，并比较其解法：.(1) (2) (3) (4) dx2dx2dx23dx24解 (1) .C)ln(1)(1222(2) dxdxdx)( 222 .arctn(3) 22223 )(11dxdxdx Cln()( 222(4) d
6、xxdxdx )4(42 2224 Carctn3比较上述四题，发现各小题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。注意观察被积函数的特点，第一题中分子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致；第二题中分子与分母同次，需要拆项，使分子次数低于分母，即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分；第三题中分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解；第四题中分子次数高于分母二次，凑微分则无效，只能根据分母情况拆项仿第二题的方法求解。由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。例 5 讨论利用第一类换元法求积的几种类型 (设 )CuFdf()(1) )(1)( baxfa
7、dxbf( ) uCF)(bax1(2) )()()( baxdfndbaxf nnn( ) ua.CuFan)(1bx如求 dx243)(cos解 原式 42)(1Cx)tan(4(3) dfdxf llnduf)(CF)(xf)(ln( )u如求 x3l2解 原式 )ln(l3xdCx34)ln2(4) dfxf sicos)(inxF)(infdcxf cossi)(Cx)(dfcoxf tant1)(tan2xF)(如求 dx2cs3解 原式 xsini142xdxsin)i1sin(Ci2l41其它一些类型，例如 ， ， dxf21)(arctndxxf21)(arcsindxef)
8、(.等，请同学们自己加以总结.V. 计算题例 6 求 dx21arctn分析 此题先把被积函数写成2arctxxarctn12 xarctn1rta2拆成两项再进行积分较方便.解 dx21arctnxdarct)1(221ntnxddxxarctnrtarcC22)()l(t例 7 求 dxex2)1(解 x2)(xxe2)(1xdexx1dxeexx1dxx)1( Cxxln例 8 求 dx21解 令 ，则tsintcosx2tdt22coint)1(csCt.Cxxarcsin12例 9 求 dxex21解 令 ，即 ，txtlndtx2dex21tt12t)1(2dtt)(2dtt)2C
9、t1lnxex22)l(例 10 求 dx23)1(arctn解 令 ，txt2sed23)1(arcndtt3casintoscostdtCttci Cxxartn122例 11 求 dxe2)1(解 x2dxe2)1(xx22)(.2211xdexdxex 222 Cex21注：最后一步等号成立是因为可设 的一个原函数为 ，于是21xe)(Fddxex2221)(1)( 22CxFeCFxxe21例 12 求 的递推公式dxmsin1解 记 ，则 . xcotsln1当 时，2dxxdmm2siisin xdmcotsin12x1cot)(cotdxmmsin2sin1xi1)(ico21
10、dxdx mmm 21 sin1)(sinsin2)2(co即 21sin)( mmmx例 13 求 dxx)1()2解 12)()()12 xDCxBA.去分母后，再比较两边同次幂的系数得， ， ， ，41AB1967248C93D于是 dxx)()2= d2)(14dxxd)1(4938)2(19672而 xxx838382243)21()(42ddCxxarctn)ln(2从而 dx)1()2ln96714lnx Cxx312arctn49)1ln(492例 14 求 dx527)(分析 被积函数为有理函数，但若直接将被积函数转化为部分分式，计算较繁，因此可考虑采用较灵活的基本积分方法.
11、 此题利用换元法计算较简便.解 令 ，txsintxcosd527)1( tdcosin107td27sectantat7Ct8.x428)1(例 15 求 dx3cosin1分析 对于三角函数有理式的积分，除了用“万能代换令 ”之外，往往可考虑用前面2tanxu的基本积分方法.解 = dx3cosin1dx322cosin= + 3csi1= - + xdcos1xdtan= + + .2tanlC例 16 求 xsin2解 =ddxx2sin)cos()co(i1= = =2 22)s(i1)(sin3dx 2)cos(in1)cosin3)(coi(i1 xdx= + .)sart(is
12、inl32xC例 17 求 , .dIico1 dxIin3co2解 +xd21C21 silnsi3cin3 CxxI由此得 xIio2l1.Cxsn3cn32例 18 求 dx1解 令 ， ，则 .t3 23)1(t dttdx)1(632 dx31tt6t Ct253. .3235)1()(6xxC例 19 计算下列各题(1) .dxfxf32)()(2) 设 ，求 .2tansicos)(xf(3) 设 ，求 .xf)1ln()(df)(4) 已知 且 ，求 .cssi2 0dxf)(sinco解 (1) 原式 = dxxfff32)()()(=fff2)()()(= = .)(xfd
13、f Cxf)(1(2) 设 ，则 tx2cos x2222 cos1tansi = =x22cos)(12)()(tt即 . 2)()ttf，dxxdfxf)2()(1)( 2即 .Cf 3(3) , 即有 .xefln)1()(lxef)1ln() xx dddf )l()()(xee1)ln(.Cexxx)1ln()(4) ，f 22sicos)(sin即 ，u.Cf31)(由 ， .0031)(uf.xddxf sin)(sincoxdsini Cx4si12例 20 设 ，求 .0if f)(解 由于 ，可知 在( )上连续.)(lim0fxf xf,因此 的原函数一定存在， 设 为
14、的一个原函数.)( )Ff因为 可导，则 必连续.xF)(x0cos21)(x， .0)(lim0xFx 1)(lix在 处连续，即有 .1则 的一个原函数为 .)(xf 0cos2)(xxF故 .1cs)()(2xCxCxdf注：求连续分段函数 的原函数 时，一定要保证 的连续性，而这时 的可导)(f)(F)(F)(xF性就可以得到满足.例 21 设 在 处满足 ，求满足条件 的 .)(xfy0)(2xxye0)1(f)(f.解 由微分定义可得 ，xye2即 ， ，xyx2 2)(， .Ce1)1Cex由条件 ，20)(f则 .)2ex例 22 设 为 的原函数，且当 时， .)(Ff 0x)2(cos)(xFxf已知 ， . 试求 .100)(x)(f解 由 得 ，)(f )2(cos2xxF即 .)(cos2xF.Cxdxdx 4sin1)4cs1)(2由 ，10C于是 .4sin)(2xxF又 ，从而 ，014sin)(x所以 .si4)2(co)(2cos)(xxFf
