1、2016 年 4 月浙江省普通高校招生选考科目数学考试模拟测试（四）一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分。 每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.函数 的定义域为（ ）.5logfxA B C D,5,UR2.公比为 的等比数列 满足 ， ，则 （ ）.32na3182naA3 B4 C5 D63.在空间直角坐标系 中，已知 ， ，则 （ ）.Oxyz,M2,45NMNA B C D55 54.不等式 的解集为（ ）.20A B 13,1,3,2UC D,2,5.已知某简单组合体由一个正方体挖去一个四棱锥构成，则该简单组合体的
2、三视图不可能为（ ）.A BC D6.倾斜角为 的直线 过直线 与直线 的交点，则直线 的方程为（ 0135l1:20lxy2:340lxyl）.A B 2xyC D 17.已知等差数列 的前 5 项和为 15，则 （ ）.na524logeaaA B C D26loge28lel 216loge8.已知 中，三个内角 所对的边分别为 ，若 ，,A,bc3， ，则 （ ）.si91cosA B C D23629.已知双曲线 的一条渐近线与直线 平行，另一条渐近线与直线 垂直，则双2:0,xyabl l曲线 的离心率为（ ）.A B C D6 3210.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（
3、）.cos36xysin3xfA向左平移 个单位 B向右平移 个单位22C向左平移 个单位 D向右平移 个单位11.若实数 满足约束条件 则 的最大值为（ ）.,xy21,30,46xy12zxyA B C D12412.已知 ，则“ ”的一个充分不必要条件是（ ）.13,tant2A B C D 1241122logl3113.如图，在正方体 中， 分别为 的中点，则 与 的位置关系为（ AD,OE1,BAOEC）.A相交 B平行 C异面垂直 D异面但不垂直 14.已知直线 过点 和 ，第一象限的点 落在直线 上，则 的最小值为（ ）.l2,14,5,Aabl2abA B C D438312
4、316315.设 是三条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（ ,mnl ,）.若 ， ， / ，则 /mn若 ， ， ，则ll若 ， ， ， ， ，则 /mn若 ， ， / ， ， ，则nlA0 个 B1 个 C2 个 D3 个16.设 、 、 是平面中三个向量，下列命题正确的是（ ）abcA若 ，则 B若 ，则|abc|ab|cbC若 ，则 D 若 ，则a17.已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，过 、 、 作圆 ，21(0)xyABFABFC若圆心 的横纵坐标相等，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D13223218.如图，矩形 的长是宽的
5、 倍，将 沿对角线 翻折，使得平面 平面 ,则异CDD面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A B C D5151414二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分）19.已知向量 ，m2,，则向量 ， 之间夹角的余弦值为 .n3,4mn20.已知全集 ，集合 ， ，则 .05ZUx0,13A2,4BUABI21.已知数列 满足 ，且 ，则 .na12na 6aDCAB A CB D22.已知函数 恰有四个互不相等的零点 ，则 的取值范围是23fxm1234,x1234x_三、解答题（本大题共 3 小题，共 31 分）23.（本小题满分 10 分）已知函数 的最大值为 6，最小值为
6、，函数 .sin0fxx4sin6gx（I）求 的值；,mn（II）求函数 的最小正周期；g（III）求函数 的单调减区间 .x24.（本题满分 10 分）已知椭圆 的离心率为 ，其右焦点为 ，第一象限的点 在椭圆 上，2:10yab12,0FcA且 轴.AFx（I）若椭圆 过点 ，求椭圆 的标准方程；3,2（II）已知直线 与椭圆 交于 两点，且 为直线 上的点，证明：直线:lyc,MN4,Bcyl的斜率满足 .,MBN2ABk25.（本题满分 11 分）定义在 上的函数 满足如下条件：Rfx ， ；12,x1212ffx ，当 时， .212fxf（I）证明函数 为奇函数；fx（II）讨论
7、函数 的单调性；（III）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.2sin4cos320fm3,4m2016 年 4 月浙江省普通高校招生选考科目考试数学模拟测试（四）解析一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分。 每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.函数 的定义域为（ ）.5logfxA B C D,5,UR【答案】C【解析】试题分析：依题意， ，故 ，故选 C50xx考点：考查函数的定义域.【命题意图】基本初等函数的定义域.2.公比为 的等比数列 满足 ， ，则 （ ）.32na3182naA3 B4 C5 D6【答案】【
8、解析】试题分析：因为 ，故 ，即 ，故 ，故选338112nnaq32924n3n5nC考点：考查等比数列的通项公式.【命题意图】等比数列的基本公式运算.3.在空间直角坐标系 中，已知 ， ，则 （ ）.Oxyz3,1M,5NMNA B C D355 65【答案】B【解析】试题分析：依题意， ，故选 B2223415413N考点：考查空间直角坐标系.【命题意图】利用空间中两点的距离公式求解空间两点距离.4.不等式 的解集为（ ）.2350xA B 1,3,2UC D,21,【答案】C【解析】试题分析：依题意， ，解得 ，故不223505302130xxx132x等式 的解集为 ，故选 C21,
9、考点：考查一元二次不等式的解法.【命题意图】二次项系数为复数的一元二次不等式的解法.5.已知某简单组合体由一个正方体挖去一个四棱锥构成，则该简单组合体的三视图不可能为（ ）.A BC D【答案】C【解析】试题分析：易知，C 是该几何体的俯视图， A,B,D 均错误，故选 C考点：考查三视图.【命题意图】三视图的识别与判定.6.倾斜角为 的直线 过直线 与直线 的交点，则直线 的方程为（ 0135l1:20lxy2:340lxyl）.A B 2xyC D 1【答案】A【解析】试题分析：依题意， 解得 ，故所求直线的方程为 ，即所求方程20,34xyxy1yx为 ，故选 A20xy考点：考查直线的
10、方程.【命题意图】直线的方程及交点坐标7.已知等差数列 的前 5 项和为 15，则 （ ）.na5124logeaaA B C D26loge28lel 216loge【答案】C【解析】试题分析：依题意， ，即 ，解得 ，故 ，故51S35a3a512453124 12eaaaa，故选 C124122logelogeleaa考点：考查等差数列的性质、对数的性质.【命题意图】等差数列背景下的对数运算.8.已知 中，三个内角 所对的边分别为 ，若 ，ABC,ABC,abc3， ，则 （ ）.2sin91cosA B C D2362【答案】C【解析】试题分析：因为 ， ，故 ；因为1cos2A023
11、sin1cosA，故 ，故选 C2sin9inBBi6s32aBb考点：考查正弦定理.【命题意图】三角函数与正弦定理结合考查9.已知双曲线 的一条渐近线与直线 平行，另一条渐近线与直线 垂直，则双2:10,xyabl l曲线 的离心率为（ ）.A B C D6 32【答案】D【解析】试题分析：依题意，双曲线的两条渐近线相互垂直，即 ，解得 ，故渐近线方程为1baba，即双曲线的离心率 ，故选 Dyx21e考点：考查双曲线的性质.【命题意图】以双曲线性质为背景考查双曲线的方程、参数关系.10.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）.cos36xysin3xfA向左平移 个单位 B向右平移
12、个单位22C向左平移 个单位 D向右平移 个单位【答案】A【解析】试题分析：因为 ，故要得到函数 的图22sinsicos336xxxfcos36xy象，只需将函数 的图象向左平移 个单位，故选 Asin3xf2考点：考查三角函数的图象与性质.【命题意图】考查三角函数的平移问题.11.若实数 满足约束条件 则 的最大值为（ ）.,xy21,30,46xy12zxyA B C D124【答案】B【解析】试题分析：作出二元一次不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示；观察可知，当直线过点 时， 有最大值，最大值为 2，故选 B2zxy,3z考点：线性规划.【命题意图】二元一次不等式的平面区域、线
13、性规划12.已知 ，则“ ”的一个充分不必要条件是（ ）.13,4tan2tA B C D 121122logl31【答案】D【解析】试题分析：依题意， 在 上单调递增，故 ，而tanyx3,4tan2t，故选 A，B 为充要条件，C 为必要不充分条件，D 为既不124121充分也不必要条件.考点：考查充要条件的判定.【命题意图】三角函数、不等式性质背景下的充要条件的判定.13.如图，在正方体 中， 分别为 的中点，则 与 的位置关系为（ 1ABCD,OE1,OEC）.A相交 B平行 C异面垂直 D异面但不垂直 【答案】C【解析】试题分析：连接 ，设 ，连接 ，因为 O，F 分别是 与 的中点
14、，所以11F1BC，且 ；又 E 为 AB 中点，所以 ，且 ，从而/OFD2/E2，即四边形 OEBF 是平行四边形，故 ， ，故 ，,EB 1AOEB因为 ，故 ，故选 C/ACD考点：考查空间两直线的位置关系.【命题意图】正方体中的平行、垂直关系.14.已知直线 过点 和 ，第一象限的点 落在直线 上，则 的最小值为（ ）.l2,14,5,Aabl2abA B C D4383123163【答案】B【解析】试题分析：依题意，直线 的斜率显然存在，设直线 ，将 ， 代入可得l :lykxb2,4,5，故直线 ，故 ；2,3kb:32yx3,0a123aabb，当且仅当 ，即 时等号成立，综1
15、4148ab4b,4上所述，故选 B考点：考查基本不等式.【命题意图】解析几何背景下的基本不等式.15.设 是三条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（ ,mnl ,）.若 ， ， / ，则 /mn若 ， ， ，则ll若 ， ， ， ， ，则 /lnlmn若 ， ， / ， ， ，则mlnlA0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】B【解析】试题分析：中 m 与 n 可能是异面直线，故错误；中，若 时， 成立，若 ，则未必lll有 ，故错误； 中 ， ， ， ， ，又 ， /llnnm，故 正确； 中，由于 / ，故 未必成立，故错误；综上所述，正确命题的
16、个数为 1nnl个，故选 B考点：考查空间线面的位置关系.【命题意图】空间几何体中的平行或垂直关系.16.设 、 、 是平面中三个向量，下列命题正确的是（ ）abcA若 ，则 B若 ，则|abc|ab|cbC若 ，则 D 若 ，则a【答案】D【解析】试题分析：选项 A 是错误的，比如当 与 反向相反， 与 为相反向量时，有 ， .c|0c|bc选项 B 是错误的，比如当 、 、 均不是零向量且 与 不垂直， 与 相互垂直的时候，有abcb， .选项 C 是错误的，比如当 不是零向量且 与 为相反向量时，有 ，|0ac|ba|a.由于 ，故当 时,恒有 成立，故选 D|c|考点：空间向量知识【命
17、题意图】考查空间向量的基础知识17.已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，过 、 、 作圆 ，21(0)xyabABFABFC若圆心 的横纵坐标相等，则该椭圆的离心率为（ ）CA B C D132232【答案】C【解析】试题分析：由题意可得 、 、 坐标分别为 、 、 .则线段 的中点坐标为AF(,0)a(,b,0)cAB，直线 的斜率 ，从而线段 的垂直平分线 的斜率 ， 的解析式为(,)2abABbkAB1l1lakb1l，即 .同理，线段 的中点坐标为 ，直线 的()2ayx2xyF(,)2cBF斜率 ，从而线段 的垂直平分线 的斜率 ， 的解析式为 ，即BFkcF2l2lck
18、b2lyx.显然圆心 为直线 与 的交点，由方程组 ，解得20xbyC120axbc，则 ，化简得 ，即 ，从而2acyb2bac20cba()c，则离心率 ，故选 C2eabc考点：考查椭圆的性质【命题意图】椭圆离心率的计算18.如图，矩形 的长是宽的 倍，将 沿对角线 翻折，使得平面 平面 ,则异ABCD2DACDACB面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A B C D15151414【答案】B【解析】试题分析：如右图所示，取 中点 ，ACE过点 作 ，交E/FAB于点 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，过点 作BCF/GDGFG于点 ，连接 .由于 ， ，则直线 与GHFH/AB/CD所成
19、的角，就是异面直线 与 所成的角.由条件，设E，则 ，由中位线的性质可得2(0)Aa4Ba.在直角三角形 中，1E,则在直角三角形 中， ,又 ，tnt2DCAGH2EGa由勾股定理可求 ， .由于 分别为 中点，将直角三角5GHa5a,F,ADBC形 沿 边翻折到平面 ，可知 ，故EB180E，在三角形 中，由余弦定理可得21coscos5FE22 2225cosFHaa.由于平面 平面 ， ,故 平面 ，从而 ,在直角三角形DACBGACABCGHF中，可得 ，则在 中，由余弦定理得GHF22224815E，那么异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选 B1cosEFD15考点：考查空间中异
20、面直线所成角的计算【命题意图】锥体背景下异面直线的计算.二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分）19.已知向量 ， ，则向量 ， 之间夹角的余弦值为 .m2,n,mn【答案】 5【解析】试题分析：记向量 ， 夹角为 ，故 .ncosn6152考点：向量的数量积.【命题意图】坐标形式背景下向量的数量积.DCAB A CBDFHGEA CBD20.已知全集 ，集合 ， ，则 .05ZUx0,13A2,4BUABI【答案】 5【解析】试题分析： ， ， ，故 .,1234,2,4U,5U5UI考点：考查集合的运算.【命题意图】列举法背景下集合的运算.21.已知数列 满足 ，且 ，
21、则 .na1na16a【答案】 316【解析】试题分析： ，故 ；因为 ，所以数列 是以 为公比，1 为首项的等比数12na12na1ana2列，故 ，即 .56631考点：考查数列的递推公式.【命题意图】利用递推公式求数列中的项.22.已知函数 恰有四个互不相等的零点 ，则 的取值范围是2fxm1234,x1234x_【答案】 43,016【解析】试题分析：依题意， 由图可知，四个零点一负三正，可知 或26,3,23,0,2xyxx 0m为两种极限状态，且当 时，函数 的零点依次为 ；当3m3m3fxm39,2时，函数 的零点依次为 ，故 .02fx0,124,06x考点：考查函数的图象与性
22、质.【命题意图】通过绝对值函数考查函数的图象与性质.三、解答题（本大题共 3 小题，共 31 分）23.（本小题满分 10 分）已知函数 的最大值为 6，最小值为 ，函数 .sin0fxmx4sin6gx（I）求 的值；,n（II）求函数 的最小正周期；g（III）求函数 的单调减区间 .x【答案】 （I） ；（ 3 分） ；（II ） ；（6 分） ； .（101,525T2,155Zkk分）【解析】试题分析：（I）依题意， ， ，故 ；（3 分） ；6mn4,mn（II）依题意， ，故 ；（6 分）si5si56gxxx25T（III）由（ II）知， ，令 ，2Zkxk故 ，解得 ，25
23、33Zkxk21515故函数 的单调减区间为 .（10 分）sin6g ,kk24.（本题满分 10 分）已知椭圆 的离心率为 ，其右焦点为 ，第一象限的点 在椭圆 上，2:10xyab2,0FcA且 轴.AF（I）若椭圆 过点 ，求椭圆 的标准方程；3,2（II）已知直线 与椭圆 交于 两点，且 为直线 上的点，证明：直线:lyxc,MN4,Bcyl的斜率满足 .,MBN2ABk【答案】 （I） （ 3 分） ；（II ）证明略.（12 分）214【解析】试题分析：（I）依题意， 解得 ，22,19,4cabc,3,1abc故椭圆 的标准方程为 ；（3 分）214xy（II）因为 ，故 ，椭
24、圆 ，1e,acb22:341Exyc将直线 的方程为 代入椭圆方程并整理，得 ；lyx780设 ，则有 ，可知 的坐标为 ；12(,)(,)xyMN2121288,77ccxxB(4,3)c可知 的坐标为 ，故 ，A3,c123AMNykc2121751()xx， .（10 分）214ABkc2AB25.（本题满分 11 分）定义在 上的函数 满足如下条件：Rfx ， ；12,x1212ffx ，当 时， .212fxf（I）证明函数 为奇函数；fx（II）讨论函数 的单调性；（III）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.2sin4cos320fm3,4m【答案】 （I）证明略；（2
25、分） （II ）函数 在 上为增函数；（ 6 分） （III） ；（11 分）fxR1,4【解析】试题分析：（I）因为函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称.fx因为 ， ，即 ，令 ，解得12,Rx1212fx1212fxffx120x；0f令 ，故 ，12,0fff即 ，故函数 为奇函数；（2 分）fxfx（II）因为 ，当 时， ，即12,112212fxfxffx，220fff即 ，1121xxf即 ，12fffx即 ，12120当 时， ；当 时， ；xfxf1212fxf综上所述，函数 在 上为增函数；（ 6 分）R（III）因为 ，故 ，2sin4cos3fmsin4cos320ffm即 ，即 ，2iff2即 ，即 ，即 ，ssi 24cos1令 ，故原式化为 ；1co,t2341t因为 在 上单调递减，故 ，故 ，解得 ；241yt2,min34y3414m综上所述，实数 的取值范围为 .（11 分）m1,4
