1、2014 年北大数学金秋营1、 三角形 满足： 是外接圆半径， 是钝角. 与三角形外接圆ABCRA,2A圆心的连线交 于点 . 三角形 的内切圆半径为 1，求三角形 的内切圆半径.DBDC2、 证明： 是正整数，则 不是完全平方数.ba, )32)(32( 2baba3、 是实数，已知iicba,)4,321( .1,1424242 iii cba. 求证： .0,041141iiiiii cb21214、 令 . 求所有的正整数 ，使得 是素数.1)(nnf n)(f5、 对正整数 ，称数组 为 的一个（无序的）分拆，如果n),(21s n， ，称每个 为分拆的项. 记 为项全为奇数的s21
2、 s i )(nPo的分拆的集合， 为项两两不等的 的分拆的集合. 试在 与 之间建立一)(Pd d个双射.6、 是一个大于 100 的整数， 是所有在 10 进制下数码和为 的倍数的正整数的集合，dMd是将 中的数从小到大排列的第 个数. 求证：存在无穷个 ，使 .naMnnna答案1、 引理： 的内切圆半径与外接圆半径的比ABC.1coscosCBRrABC;2sinsi41scoA.co2cininBBACabarSsi1)(21.CBRARRsin2sin)nsi 由已知条件， .1siB，1)sin(cos CBRrABD.)si(csCrAD.BRADCsin，猜1.CBrA si
3、n1)sin(cos CBCBBC sin)si(nsicosiiiiin 22 ，结论成立.另证：先证 ）（ 1DA)cos(in2,)cos(in211RABD)( 12211212 cosin)cos(inin ACDBSisi21)2(111 ADBKAIhI )3(222 ACAIhI 由（1） ，结论成立.21IhI2、 证： ，2222 16)43()(3( abaaba ，22222 164)4分 7 种情况讨论，不定方程的正整数解的问题.3、 证： 422112121 )()(0j jjjcbacba 1)(221414141412412412 cbacbcac jjjjjj
4、jjj. 结论成立.22cba4、 证：当 为奇数时，有 ，显然不成立；n)(|nf当 为偶数时， .11)(nnnf， ，上述两式都能被 整除，命22)1()1(nnn 2)2(1nnn 1n题成立.另证：当 为奇数时，有 ，显然不成立；)(|f当 为偶数时， . 任取 的一个素因子 ，有n 11)(nnnf 1n)3(p，由 为偶数，故 ，所以有)mod(od12pp n|2,|，即有 ，显然 ，结论成立.)(mod1),(od1pnpn )(mod0)pnfpnf)(5、 证，令 ttn 2211tn21写出二进制表示 ，类似地处理其他的 . 新的 n 的分拆 就是rmn1 i . 2121 kmr：我们需要验证 在 里面以及 确实是双射，二者都很容易验证：若)(nPd：，则由 和 都是奇数有 ，从而 = 。因此 属于 . 反之，jbia2ij ba2ij)(nPd若 是各项互异的分拆，可通过合并 2 的最高幂次相同的所有 ，再ln1 i把奇数写上正确的重数，就逆回去了.例： 1352: 被 映射到)4(2)1(：56050写 3623:为 1)4(32()1()1(40 得到分拆 : 13350：只有奇数项.
