1、第 页1专题三：推理与证明及数学归纳法与不等式选讲例 1设数列 满足：na*112,().nnaN（1）证明： 对 恒成立；*N（2）令 ，判断 与 的大小，并说明理由。*()nbnb1例 2在数列 中， ，设数列 ， 的前 项na111,30(2)nnanban和为 。nT（1）若 对任意的正整数 n 恒成立，求实数 的取值范围；0 （2）求证：对任意 的整数， ；223.(31)nb（3）是否存在实数 M，使得对任何的 ， 恒成立，如果存在求出最小的 ，如*NMTM果不存在请说明理由。第 页2例 3已知数列 na的前 项和为 nS，且 *1(1)4,22,)nnaSN.（1）求数列 的通项
2、公式；（2）设数列 nb满足： 2*114,()()nnbbN且 ，求证：*(,)nN；（3）求证： *32334451()()()(2,).nenAA例 4.数列a n满足 。)1(2)1(12nanan且（1）用数学归纳法证明： ；（2）已知不等式 ，其中无理数 e=2.71828。l()0,()nxe对 成 立 证 明 :第 页3例 5.在单调递增数列 中， ，不等式 对任意 都成立。na21na)1(2*nN（1）求 的取值范围；2a（2）判断数列 能否为等比数列？说明理由；（3）设 ， ，求证：对任意的 ，(1)()2n nb )2(6nc*。02nac第 页4例 6.已知实数 曲线
3、 与直线 的交点为 (异于原点 ).在曲线0,c:Cyx:lyxcPO上取一点 过点 作 平行于 轴，交直线 于 过点 作 平行于 轴，C1()Pxy1PQl1,Q12y交曲线 于 接着过点 作 平行于 轴，交直线 于 过点 作 平行2,;2 l,3QP于 轴，交曲线 于 如此下去，可得到点 设点y3(,);45(,)()(,)nPyx坐标为 。(,)a10ba（1）试用 表示 并证明 ；c（2）证明： 且 ；2,x*()nN（3）当 时，求证： 。4*12(,)kxnkN例 7.数列 ).,321(21,1 naannn中（1）求证： ； ；（2）比较 的大小，并加以证明。kn113940与
4、第 页5例 8已知不等式 为大于 2 的整数， 表示不超过nn其 中,log21321 log2n的最大整数. 设数列 的各项为正，且满足 。n2loga ,43,),0(11 abann（1）证明 ；,543,log2nban（2）试确定一个正整数 N，使得当 时，对任意 b0，都有 。5na第 页6例 9.已知数列 中， ，且当 时， 。na128,39a2,nN1134nna（）求数列 的通项公式；（）记 ，对一切正整数 ，若不等式 恒123,i ni= ()iN=1成立，求 的最小值。第 页7例 10.把正奇数列 中的数按上小下大,左小右大的21n原则排列成如图“三角形”所示的数表，设
5、是Njia,位于这个三角形数表中从上往下数第 行,从左向右数第ij个数。（1）若 ,求 的值；209mnn（2）已知函数 的反函数为()fx, )，若记三角形数表中从上往下数第 行各数的和为 。3()64fxNnnb求数列 的前 项的和 ；nfbnS令 的前 项之积为 ，求证: 。2(),1ncc*()nTN3!2nT13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29第 页8例 11.（）已知函数 ()(1)0rfxx，其中 r为有理数，且 01r. 求 ()fx的最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：设 120,a， 12,b为正有理数. 若 12b，则 1212baab；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当 为正有理数时，有求导公式 ()x.
