1、 2016 年北京大学数学金秋营试题1、在ABC 内部有一点 P 满足PAB=PCB= ，L 在 AC 上且 BL 平分 A+ 4ABC，延长 PL 交APC 的外接圆于 Q。证明：BQ 平分AQC.2、对于 的一个排列 定义函数 f(1，2， ， 2 a1,a2,an,b1,b2,b)= .求所有的排列中，f(a1,a2,an,b1,b2,b 1=1|aa+1+1|)的最小值。a1,a2,an,b1,b2,b3、求所有正整数 a,b,c 满足对任意实数 u,v,0uv1.存在正整数 n,使得(u,v)成立.2+ 4、设 p 为奇素数，p1(mod 4).正整数 a,b 满足 -p =1. 设
2、 q 也为奇素数，2 2(q,bp)=1.考虑同余方程 -2a +10(mod q).证明下述 3 个论述等价:4 2（1）p 为模 q 的二次剩余；（2）同余方程存在一个解；（3）同余方程存在四个互不相同的解。5、设函数 f(x)= ,且 x-1,1时，|f(x)| 1，求| |的最大可能值。 4=0a a26、一个班里有 50 人，相互之间发短信，若在三个人 A,B,C 之间，仅有 A 给 B发过短信，B 给 C 发过短信，C 给 A 发过短信。则称 A,B,C 三个人构成一个“循环” ，试求这 50 个人中“循环”个数的最大可能值。7、试求所有正整数 a,使得对任意正整数 k ,都存在正整数 n,使得 an+2016 是一个正整数的 k 次方。8、对（0，1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（0，1）中的实数 10 染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同？
