1、高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有 高考资源网 - 1 - 第38 炼 向量的 数 量积 数量积 的 投影定义 一、基 础知 识 1、向 量的 投影 ： （1 ） 有 向线 段的 值 ： 设 有 一轴l ，AB 是轴上 的有 向线 段 ， 如 果实 数 满足 AB ， 且 当 AB 与轴同 向时 ， 0 ，当AB 与轴反 向时， 0 ，则 称 为轴l 上有向 线段AB 的值。 （2 ） 点在 直线 上的 投影： 若点A 在直线l 外， 则过A 作 AA l 于 A ， 则称 A 为A 在直 线l 上 的 投影； 若点A 在直 线l 上，则A 在A 在直 线l 上的投 影 A 与
2、A 重合 。所以 说，投影 往往 伴 随着垂 直。 （3 ）向量的投影 ：已知向量 , ab ，若a 的 起点 , AB 在b 所在轴l （与b 同向 ）上的投影分 别 为 , AB ， 则 向量 AB 在轴l 上的 值称 为a 在b 上的 投影 ， 向 量 AB 称为a 在b 上 的投影 向量。 2、 向量 的投 影与 向量夹 角 的关系 ： 通过 作图 可以 观 察到 ，向 量的 夹角 将决 定 投影的 符号 ， 记 为向量 , ab 的夹 角 （1 ） 为锐 角： 则投 影（ 无 论是a 在b 上的 投影 还是b 在a 上的投影 ）均 为正 （2 ） 为直 角： 则投 影为 零 （3 ）
3、 为钝 角： 则投 影为 负 3、投 影的 计算 公式 ：以a 在b 上的投 影 为例， 通过 构造 直角三 角形 可以 发现 （1）当 为锐角 时， cos b ，因 为 0 ，所以 cos b （2 ）当 为 锐 角 时， cos cos bb ，因为 0 ，所以 cos b 即 cos b （3）当 为直角 时， 0 ，而cos 0 ， 所以也 符合 cos b 综上可 得：a 在b 上的投 影 cos b ，即被投 影向 量的 模乘 以两 向量的 夹角 A A高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有 高考资源网 - 2 - 4、数 量积 与投 影的 关系 （ 数量积 的几 何
4、定 义） ： 向量 , ab数量积公式为 cos a b a b ，可变形为 cos a b a b 或 cos a b b a ，进而 与向 量投 影找 到联 系 （1 ）数量积 的投影 定义： 向量 , ab 的数量积等于 其中一 个向量的模 长乘以 另一个 向量在该 向 量上的 投影 ，即 ab a b b （记 ab 为a 在b 上的投 影） （2 ） 投影 的计 算公 式： 由 数量积 的投 影定 义出 发可 知投影 也可 利用 数量 积和 模长进 行 求 解 ： ab ab b 即 数量 积除 以被 投影 向 量的模 长 5 、数 量积 投影 定义 的适 用 范围 ：作 为数 量积
5、 的几 何 定义 ，通 常适 用于 处理 几 何图形 中的 向量 问题 （1 ） 图形 中出 现与 所求 数 量积相 关的 垂直 条件 ， 尤 其是垂 足确 定的 情况 下 （ 此时便 于确 定投 影） ， 例如 ：直 角三 角形 ， 菱形对 角线 ，三 角形 的外 心（外 心到 三边 投影 为三 边中点 ） （2 ） 从 模长 角度 出发 ， 在 求数量 积的 范围 中， 如果 所求数 量积 中的 向量 中有 一个模 长是 定值 ， 则可以 考虑 利用 投影 ，从 而将问 题转 化为 寻找 投影 最大最 小的 问题 二、典 型例 题： 例 1 ： 已 知向 量 , ab 满足 3, 2 3
6、ab ，且 a a b ，则b 在a 方向上 的投 影为 （ ） A 3 B 3 . C 33 2 D 33 2思路：考虑b 在a 上的投影为 ab b ， 所以只需求出ab 即可。 由a a b 可 得 ： 2 0 a a b a a b ， 所以 9 ab 。进而 9 3 3 2 23 ab b 答案：C 小 炼 有话 说 ：本 题 主要 应用 投 影的 计 算公 式 ，注 意在 哪 个向 量 投影 ， 便用 数量 积 除以 该 向量 的模长 高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有 高考资源网 - 3 - 例 2：如 图 ， 在 ABC 中， 4, 30 AB BC ABC ，
7、AD 是边BC 上的 高 ， 则AD AC 的值等 于（ ） A 0 B 4 C 8 D 4 思 路 ： 由 图 中 垂 直 可 得 ： AC 在 AD 上的投影为 AD ， 所 以 2 AD AC AD ， 只需求出 ABC 的高即可 。 由 已 知 可 得 sin 2 AD AB ABC ，所以 2 4 AD AC AD 答案：B 例 3 ： 两 个 半 径 分 别 为 12 , rr的圆 , MN, 公共弦AB 长为 3 ，如图所示，则 AM AB AN AB _. 思路 ：AB 为两个圆 的公共弦 ，从 而圆心 , MN 到弦AB 的 投影 为 AB 的中点 ， 进 而 , AM AN
8、 在AB 上的 投影 能够确 定 ， 所以 考虑 计 算AM AB 和AN AB 时可利 用向 量的 投影 定义 。 解：取AB 中点T ，连结 , MT NT ，由圆 的性质 可得 ： , MT AB NT AB 2 19 22 AM AB AT AB AB 2 19 22 AN AB AT AB AB 9 AM AB AN AB 例 4 ： 如图 ，O 为 ABC 的外 心， 4, 2, AB AC BAC 为钝角 ，M 是边BC 的中点 ，则 AM AO 的值为 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 思 路 ： 外 心O 在 , AB AC 上 的 投 影 恰 好 为 它 们
9、的 中 点 ， 分 别 设 为 , PQ ，所以AO 在 , AB AC 上 的 投 影 为 11 , 22 AP AB AQ AC ， 而M 恰好为BC 中点，故考虑 1 2 AM AB AC ， 所以 22 1 1 1 1 1 +5 2 2 2 2 2 AM AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC 答案：B 小 炼 有话 说 ：题 目 中遇 到外 心 时， 要 注意 外 心的 性质 ， 即到 各 边的 投 影为 各边 的 中点 ， 进而高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有 高考资源网 - 4 - 在求数 量积 时可 联想 到投 影法。 例 5 ： 若 过点
10、 1,1 P 的直 线l 与 22 :4 O x y 相交 于 , AB 两点 ， 则OA OB 的取值 范围 是 _ 思路： 本题 中因 为 , OAOB 位置不 断变化 ， 所 以不 易用 数量 积定义 求解 ，可 考虑 利用 投影 ， 即过B 作直 线OA 的垂线 ， 垂 足 为 D ， 通 过 旋 转 AB 可 发 现 ， 当OB OA 时， 0 OA OB ，AB 位于 其他 位置时 ，D 点始 终位于OA 的 反向延 长线 上，OA OB OA OD ，故 0 OA OB ，故 max 0 OA OB ， 下面寻 找最 小值 ，即 DO 的最大值 ，可得当B 在OA 上 的投影与C
11、 重 合时， DA 最大 ，即为 AC ，此 时直线OP 即 为 直 线AB 。所以 2 min 4 OA OB OA OD OA OC r 。进 而OA OB 的范 围是 4,0 答案： 4,0 例 6 ： 已知 1, 3 OA OB ， 且 , OAOB 的夹 角为150 ， 点C 是 AOB 的外 接圆 上优 弧AB 上的一 个动 点，则OA OC 的最大 值是_ 思路： 题中OA 的模 长为 定值 ， 考虑OA OC 即为 OA 乘以OC 在OA 上的 投影 ，从而OA OC 的最大 值只需 寻找 投影 的大 小 ， 观 察 图 形 可 得 只 有 当 MC 与OA 同向时， 投 影
12、最 大 。 即 max OA OC OA OD ，只需 计算 OD 的模 长即 可 解：当MC 与OA 同向时 ，OC 在OA 上的 投影最 大 max OA OC OA OD 在 AOB 中， 2 2 2 2 cos 7 AB OA OB OA OB AOB 7 AB 高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有 高考资源网 - 5 - 7 2 2 7 1 sin 2 AB R AOB 即 7 R 11 7 22 OD ON ND OA R max 1 7 2 OA OC OA OD 答案： 1 7 2 例 7 ： 如 图 ， 菱 形ABCD 的边长 为 2, 60 , AM 为DC
13、中点 ， 若N 为菱形 内任 意 一点 （含 边界）， 则AM AN 的最 大值 为 （ ） A. 3 B. 23 C. 6 D. 9 思路： 在所 给菱 形中AM 方向 大小确 定 ， 在求 数量 积 时可想 到投 影定 义 ， 即 AM 乘以AN 在AM 上的投 影 ， 所以AM AN 的最 大值只 需要 寻找 AN 在AM 上的 投影 的最 大值 即可 ， 而A 点也确 定 ， 所 以只 需在 菱形内 部和 边界 寻找 在AM 投影距 离A 最远的 ， 结合 图像 可发现C 的投 影距 离A 最远 ， 所以 max AM AN AM AC ， 再 由 , AD DC 表示后 进行 数量
14、积运 算即可 解： max 1 2 AM AN AM AC AD DM AD DC AD DC AD DC 22 13 9 22 AD DC AD DC 答案：9 小炼有 话说 ： （1 ） 从例7 也 可以 看出 投 影计算 数量 积的 一个 妙用 ，即 在求 数量 积最 值时 ， 如果其 中一 个向 量 位 置确 定 ，那 么 只需 看另 一 向量 在 该向 量 处的 投影 即 可， 这 种方 法 往往 能够 迅 速找 到 取得 最值的 情况 （2 ） 在找 到取 到最 值的N 点 位置后 ，发 现利 用投 影计 算 数量 积并 不方 便 （ 投影 ， AM 不便 于计算）， 则要 灵 活
15、利 用其他 方 法把 数 量积 计算 出来 （ 寻 求基 底 ，建 系等）。 正所 谓 ：寻 找最高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有 高考资源网 - 6 - 值用投 影 ， 而计 算时 却有 更多方 法供 选择 。 例 8 ：如 图， 在等 腰直 角 ABC 中， 2 AC BC ，点 , MN 分别是 , AB BC 的中 点 ，P 点 是 ABC 内（ 包括 边界 ）任 一点 ，则AN MP 的取值 范围 是_ 思路 ： 因为P 点为 ABC 内任 一点 ，所以 很难 用定 义表 示出 AN MP ，考虑 利用 投影 定义 。 由 AN 长为定 值 ， 可得 AN MP 为
16、 AN 乘以MP 在AN 上的投 影 ， 所以 只需找 到投 影的范 围即 可 。 如图 ， 过M 作AN 的垂 线 ， 则M 点的投 影为 F ， 当P 在B 点时 ， MP 在AN 上的 投影 最大且 为线 段FE 的 长 ， 当P 在A 点时， MP 在AN 上的 投 影最小 ， 为 AF ，分 别计 算相 关模长 即可 。在 图 中有条 件可 得 ： 5, 1 AN CN BN BE AE ， 所以 可 得 ：Rt ACN Rt BEN ， 则 5 = 5 AN NE NE CN BN ，所以 6 5 5 AE AN NE ，由FM BE ，M 为中 点 可得 ：F 为AE 中点 ，
17、从而 , MB MA 在AN 方向 上的投 影分 别为 33 5, 5 55 ，由 5, AN 即可求 得AN MP 的范围 为 3,3 答案： 3,3 例 9 ： 已知 M 为 直角三角 形ABC 的外 接圆 ，OB 是 斜边AC 上 的高 ， 且 6, 2 2 AC OB ， AO OC ， 点P 为线段OA 的 中点 ， 若 DE 是 M 中 绕 圆 心 M 运 动 的 一 条 直 径 ， 则 PD PE _ 思路：本题的难点在于DE 是一条运动的直径，所以很难直接用定 义求解。考虑到DE 为直径 ， 所以延长EP 交圆M 于Q ， 即可得 DQ QE ， 则 PD 在 PE 上 的 投
18、 影 向 量 为 PQ 。所求 PD PE PE PQ ， 而由 PE PQ 联 想 到 相 交 弦 定 理 ， 从而 M C A O B P D E M C A O B P D E Q高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有 高考资源网 - 7 - P A B C I D F E PE PQ AP PC 。 考虑与 已知 条件 联系 求 出直径AC 上的 各段 线段 长度 。 由 射影 定理 可 得 ： 2 8 AO CO OB ， 且 6 AO CO AC ， 所以解得 2, 4 AO OC ， 再由P 为 OA 的 中 点 可 得 1, 5 AP PC ， 所以 5 PE PQ
19、 AP PC ， 进而 5 PD PE PE PQ 答案： 5 例 10 ： 已知C 为线 段AB 上一点 ，P 为直线AB 外一 点，I 为PC 上 一 点 ， 满 足 4 PA PB ， 10 PA PB ， PA PC PB PC PA PB ，且 0 AC AP BI BA AC AP ， 则 BI BA BA 的值 为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 思路：从条件上判断很难用代数方式求解，所以考虑作图观察几何特点，则 10 PA PB AB 。由 PA PC PB PC PA PB 及所求 BI BA BA 可想 到投 影与 数量积 的关 系， 即 PC 在 , PA
20、PB 上 的 投 影 相 等 ， 即 可 得 到 PC 平分 APB 。 再 分 析 0 AC AP AC AP BI BA AI AC AP AC AP ，且 AC AP AC AP 为 , AC AP 的 单 位 向量 ， 由平 行四 边形 性 质 可得 和向 量 平分 PAC ， 而AI 与和向量共线，从而AI 平分 PAC ，由此可得I 为 APB 的内心 ，作出内切圆 。所求 BI BA BA 也可 视为BI 在 BA 上的投 影 ， 即 BF ， 由 内切 圆性 质可得 ： PD PE AD AF BF BE ， 所以 4 PA PB PD AD BE PE AF BF ，且有 P
21、 A B C I高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有 高考资源网 - 8 - 10 AF BF AB ，可解 得 3 BI BA BF BA 答案：C 小 炼 有话 说 ：本 题 用到 向量 运 算中 的 两个 几 何意 义， 从 而将 表 达式 与 图形 特征 联 系起 来 ：一 个是向 量投 影的 定义 ；一 个是两 个模 长相 等向 量（ 如单位 向量 ）的 和平 分向 量夹角 。 三、历 年好 题精 选（ 数量 积三种 求法 综合 ） 1 、 如图 ： 在平 行四 边形ABCD 中 ， 已知 8, 5 AB AD ， 3 , 2 CP PD AP BP ，则 AB AD
22、的值是 . 2 、 已 知 O 的半径 为 1 ， 四边 形ABCD 为其 内接 正方 形，EF 为 O 的 一 条 直 径 ，M 为 正 方 形ABCD 边 界 上 一 动 点 ， 则 ME MF 的最小 值为_ 3 、已 知点M 是边 长为2 的 正 方形ABCD 的内切 圆内 （含 边界) 的一动 点， 则MA MB 的取 值范围 是 （ ） A. 0 , 1 B. 2 , 1 C. 3 , 1 D. 4 , 1 4 、 已知 , P M N 是单位圆 上互不相同的三 个点,且满 足 PM PN ，则PM PN 的最小 值 为（ ） A 1 4 B 1 2 C 3 4 D 1 5 、 如
23、图 ， , AB 是半径 为 1 的圆O 上两点 ， 且 3 AOB ， 若点 C 是圆O 上任意 一点 ，则OA BC 的取 值范围 是_ 6、（ 2015 ， 福 建文 ） 设 1,2 , 1,1 , a b c a kb ， 若bc ， 则实数k 的值 等于 （ ） A. 3 2 B. 5 3 C. 5 3D. 3 27 、 （2015 ， 天津 ） 在 等腰 梯 形ABCD 中, 已知 / / , 2, 1, 60 AB DC AB BC ABC ,动点 E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且, 1 , 9 BE BC DF DC 则 AE AF 的最小值为 _ 答案： 29 18
24、B A D C E F O A B C高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有 高考资源网 - 9 - 8、（ 2015 ， 山东 ）已 知菱 形ABCD 的边 长为 , 60 a ABC ，则BD CD （ ） A. 2 3 2 a B. 2 3 4 a C. 2 3 4 a D. 2 3 2 a 9、（ 2015 ，福 建）已知 1 , AB AC AB AC t t ， 若P 点是 ABC 所在平 面内一点 ，且 4 AB AC AP AB AC ，则PB PC 的最大 值等 于 （ ） A. 13 B. 15 C. 19 D. 21 10 、（2016 ，无 锡联 考） 如图
25、， 已知 正方 形ABCD 的边长 为 2，点E 为AB 的中 点 以A 为 圆心，AE 为半 径， 作弧 交AD 于点F 若P 为劣 弧EF 上的动 点， 则PC PD 的最 小值 为_ 11、（ 2016 ， 南 京 金 陵 中 学 期 中 ） 如 图 ， 梯 形 ABCD 中，AB , 6, 2 CD AB AD DC ，若 12 AC BD ，则 AD BC _ 12 、 已 知圆O 的直 径为BC ，点 A 是 圆周上 异于 , BC 的 一点 ， 且 1 AB AC ，若点P 是圆O 所 在平面 内一 点 ， 且 9 AB AC AP AB AC ，则PB PC 的最 大值 为 （
26、 ） A. 23 B. 9 C. 76 D. 81 13 、 如图 ， 在半 径 为1 的扇形AOB 中， 60 , AOB C 为弧上的 动点 ，AB 与OC 交 于点P ， 则OP BP 最小 值是_ 14 、 如 图， 已知 圆 22 : 4 4 4 M x y ， 四边 形ABCD 为圆M 的内接正方形， , EF 分别为边 , AB AD 的中点，当正方形 ABCD 绕M 圆心 转动 时，ME OF 的取 值范 围是（ ） A. 8 2,8 2 B. 8,8 C. 4,4 D. 4 2,4 2 F E A C B o M x y D高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有
27、高考资源网 - 10 - 15 、 在直 角梯 形ABCD 中，AB CD ， 2 BAD ， 且 1 1 2 AB AD CD ，M 是AB 的中点 ，且 2 BN ND ，则CM AN 的值 为 （ ） A. 5 4B. 5 4 C. 7 6D. 7 6 16 、 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 2, 1, 3 AB AD A ， 点M 在 AB 边上， 且 1 3 AM AB ，则DM DB （ ） A. 3 2 B. 3 2C. 1 D. 1 高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有 高考资源网 - 11 - 习题答案： 1 、答 案： 22 解析： 1
28、 4 AP AD DP AD AB ， 33 44 BP BC CP BC CD AD AB ， 所以 13 ( ) ( ) 44 AP BP AD AB AD AB 22 13 2 16 AD AD AB AB ， 即 13 2 25 64 2 16 AD AB ，解 得 22 AD AB 2 、 答案 ： 1 2 解析： 以EF 为坐标 轴建 系 ， 则 1,0 , 1,0 EF ， 设 , M x y 1 . , 1 . ME x y MF x y 22 1 ME MF x y ，所以ME MF 的最 小值 只需 找到 22 xy 的最小 值 即正方 形边 上的 点到 原点 距离的 最小
29、 值， 数形 结合 可得： 22 min 1 2 xy min 1 2 ME MF 3 、 答案 ：C 解析： 考虑 如图 建立 坐标 系，可 得： 1, 1 , 1, 1 AB ，内 切圆 方程 为： 22 1 xy ，故 设 cos , sin , 0,2 ,0 1 M r r r ，则 1 cos , 1 sin , 1 cos , 1 sin MA r r MB r r 2 2 2 2 cos 1 1 sin 2 sin MA MB r r r r 设 2 2 sin f r r ，可 得 22 2 , 2 f r r r r ， 再由01 r 可得： 22 2 1,0 , 2 0,3
30、 r r r r ，所 以 1,3 MA MB 高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有 高考资源网 - 12 - 4 、 答案 ：B 解析： 设 1,0 cos ,sin PM ，则由 PM PN 可得 ： cos , sin N cos 1,sin , cos 1, sin PM PN ，其中0 2 2 22 11 cos 1 sin 2cos 2cos 2 cos 22 PM PN 当 1 cos 2 时， 可得 min 1 2 PM PN 5 、 答案 ： 31 , 22 解析 ： 方 法一 ： 以O 为原点 ，OA 为x 轴建 系 ， 则 13 1,0 , , 22 OA
31、B ，设 c o s , s i n C ， 则 13 cos ,sin 22 BC 。所 以 1 3 1 cos , 2 2 2 OA BC 方法二 ： 考 虑B 在OA 上的 投影 为OA 中点M ， 利用 数量 积投 影定 义 数形结 合可 知OA BC 取 最大值时，C 与A 重合；当OA BC 取最小值时，C 在OA 反向延长线 与圆O 的交点处， 经 计算可 得： 31 , 22 OA BC 6 、 答案 ：A 解析： 由已 知可 得： 1, 2 c k k ， 因为bc ， 所以 3 1 2 0 2 b c k k k 7 、 答案 ： 29 18解析： 因为 1 , 9 DF
32、DC 1 2 DC AB 1 1 9 1 9 9 9 18 CF DF DC DC DC DC AB ， AE AB BE AB BC ， 1 9 1 9 18 18 AF AB BC CF AB BC AB AB BC ， 22 1 9 1 9 1 9 1 18 18 18 AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC 高考资源网（ ） 您身 边的高考专家 版权所 有 高考资源网 - 13 - 1 9 19 9 4 2 1 cos120 18 18 2 1 17 2 1 17 29 2 9 2 18 9 2 18 18 当且仅 当 21 92 即 2 3 时AE AF 的最小
33、 值为 29 18 . 8 、答案 ：D 解析： 2 22 3 cos120 2 BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a 9 、答 案：A 解析： 以A 为坐标 原点 ， 如 图 建立 平面 直角 坐标 系 ， 则 1 ,0 , 0, B C t t ， , AB AC AB AC 为单位 向量 ， 坐标为 1,0 , 0,1 ， 1,4 1,4 AP P ， 则 1 1, 4 , 1, 4 PB PC t t 所以 11 1 4 16 17 4 PB PC t t tt ， 因为 11 4 2 4 4 tt tt ， 所以 17 4 13 PB PC 10 、 答 案：5 2 5 解析：可依正方形以 , AB AD 为坐标轴建系，则 cos ,sin P ，其中 0, 2 ， 0,2 , 2,2 DC ， 2 cos ,2 sin , cos ,2 sin PC PD ， 2 cos 2 cos 2 sin 5 2cos 4sin 5 2 5 sin PC PD 其中 1 tan , 0, 24 ，所以 当 2 时，PC PD 取到最 小值， 为5 2 5 11 、 答 案：0 解析： 依题 意可 得： 1 3 DC AB 1 3 AC BD AD DC AD AB AD AB AD AB x y B C A P
