1、北京市海淀区 2019 届高三第一学期期中数学（文）试题一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合 ，若 ，则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据 2A 即可得出 2a0，从而可解出 a 的取值范围【详解】2A；2a0；a2；a 的取值范围为2，+）故选：C【点睛】考查描述法表示集合的定义，元素与集合的关系2.下列函数中，是奇函数且在 上存在最小值的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与（0，+）的最值情况，综合即可得答案【详解】根据题意，
2、依次分析选项：对于 A，f（x）=x2x，f（x）=（x）2（x）=x2+xf（x） ，不是奇函数，不符合题意；对于 B，f（x）=|lnx|，f（x）=ln|x|=lnx=f（x） ，为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于 C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（ 0，+）上不存在最小值对于 D，f（x）=sinx，为正弦函数，是奇函数，在（0，+）上存在最小值1；故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性以及最值的判断，关键是掌握常见函数的性质，属于基础题3.函数 满足 ，则 的值是A. 0 B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由已知求得 ，进一步得到 的值【详解】由 f（x）=
3、sin（x+）满足 ，得 sin（ ）=1，即 = ，kZ则 = ，kZf（x）=sin （x+）=sin（x+ ）=sin（x+ ） =sin=0故选：A【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题4.已知向量 ， ，则向量， 夹角的大小为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量 ， 夹角的大小【详解】设向量 ， 夹角的大小为 ，0，向量 =（1，2）， =（3，1），cos= = = ，所以故选：B【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，属于基础题5.已知函数 ， ，的图像都经过点 ，则 的值为A. B. C.
4、 D. 【答案】D【解析】【分析】函数 f（x）=logax，g（x）=bx，的图象都经过点 ，可得 =2， =2，解得 a，b即可得出【详解】函数 f（x）=logax，g（x）=bx，的图象都经过点 ， =2， =2，解得 a= ，b=16则 ab=8故选：D【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.在 中， “ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 时， ，所以 ，成立；当 时，如取时， 成立，此时 ，所以不成立；综上知“ ”是“”的”的充分不必要条件，选 A
5、.7.数列 的通项公式为 ，若数列 单调递增，则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】数列a n单调递增 an+1a n，可得：n+1+ n+ ，化简解出即可得出【详解】数列a n单调递增a n+1a n，可得：n+1+ n+ ，化为：an 2+na2故选：C【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.已知向量 满足 ，且 ，则 、 、 中最小的值是A. B. C. D. 不能确定的【答案】A【解析】【分析】可在 的两边分别乘 可得出 ， ，再根据 即可得到 ，这样整理即可得出 【详解】 ； ， ， ； ， ， ； ； ，
6、； ； 故选：A【点睛】考查数量积的定义及运算，不等式的性质二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9.角的终边经过点 ，则 _。【答案】【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 tan 的值【详解】角 的终边经过点 P（4，3），x=4，y=3，则 tan= = ，故答案为： 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题10.等差数列 中， ， ，则 中为正数的项的个数为_。【答案】 3【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式求出 an，然后利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】等差数列a n中，a 1=5，a2+a5=0，5+d+5+4d=0，d
7、=2，a n=52（n1）=2n+7，a10，a 20，a 30，n4 时，a n0，则a n中为正数的项的个数为 3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，属于基本运算的应用11.已知 ， 是不共线的两个向量， ，则 _。【答案】【解析】【分析】由已知可知， = = ，代入即可求解 【详解】 ， 是不共线的两个向量， = ， = = ，则 = = ，故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算，属于基础试题12.函数 在区间 上的最大值为_。【答案】 2【解析】【分析】直接利用三角函数的性质求出结果【详解】由于：x0，所以： ，则： ，则 ，所以函数的最大值为 2，
8、故答案为：2【点睛】本题考查的知识要点：三角函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型13.能说明“若存在 ，使得 ，则 不是偶函数”为假命题的一个函数是_。【答案】【解析】【分析】写出一个函数，使得函数是偶函数，但是，满足存在 x0，使得 f（x0）=f（x0）的命题，然即可得到结果【详解】 “若存在 x0，使得 f（x0）=f（x0） ，则 f（x）不是偶函数 ”为假命题，例如：f（x）=x 21当 x=1 时，满足 f（1）=0，f（1）=0，满足存在 x0，使得 f（x0）=f（x0） ，但是函数 f（x）是偶函数，故答案为：f（x）=x 21【点睛】本题考查命题是
9、真假，函数的奇偶性的应用，是基本知识的考查14.已知函数（1）当 1 时，函数 的值域是_；（2）若函数 的图像与直线 只有一个公共点，则实数的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）分别求解 y=x2+2x，x1，和 y=x，x1 的值域，可得 f（x）的值域；（2）作出分段函数的图象数形结合，可得实数 a 的取值范围【详解】 （1）当 a=1 时，即当 x1 时，f（x）= x2+2x=（x1）2+11，当 x1 时，f（x）=x1，综上所述当 a=1 时，函数 f（x）的值域是 R，（2）由 f（x）=x2+2x=（x1）2+1，其对称轴 x=1，当 a1 时，根
10、据 f（x）=x2+2x 的图象，存在直线 y=a 没有交点；当 0a1 时，根据 f（x）=x2+2x 的图象和 f（x）=x，存在直线 y=a 只有一个交点，当 a0 时，根据 f（x）=x2+2x 的图象和 f（x）=x，存在直线 y=a 没有交点；要使函数 f（x）的图象与直线 y=a 只有一个公共点，则实数 a 的取值范围是0，1；故答案为：R；0，1【点睛】本题考查了分段函数的应用，同时考查了数形结合解决数学问题的能力，属于中档题.三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.已知函数 .（）求 的值；（）求函数 的单调递增区间.【答案】 （1
11、） ； （2） .【解析】【分析】（）将 x=0 带入，即可求 f（0）的值；（）利用二倍角公式化简，利用三角函数的单调性即可求解函数 f（x）的单调递增区间【详解】 （）函数 当 x=0 时，可得 f（0）=（）由函数 = =sinx+cosx= sin（x+ ）令 x+得： xx ，函数 f（x）的单调递增区间 ， ），kZ【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，化简能力和单调性的求法，注意定义域范围16.设 是等比数列 ，其前 项的和为 ，且 , . （）求 的通项公式；（）若 ，求 的最小值.【答案】 （1） ； （2）6 .【解析】【分析】（）由已知，结合等比数列的通项公式可求 a
12、1，q 进而可求 an.（）由等比数列的求和公式可求 Sn，代入解不等式可求 n 的范围【详解】 （）设 的公比为 q因为 ，所以所以又 ，所以所以 .（）因为所以由 ，得 ，即解得 ，所以 n 的最小值为 6.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题17.如图，在四边形 中， .（）求 的值；（）若 是 的角平分线，求 的长.【答案】 （1） ； （2）5 .【解析】【分析】（）由已知及余弦定理可得 cosB，利用诱导公式即可计算得解 cosD 的值， （）由已知可得DAC=BAC，根据正弦定理，结合 sinB=sin（ D ）=sinD ，可求DC=BC即
13、可得解 DC 的值【详解】 （）在ABC 中，AB=4 ，BC=5，AC=7，由余弦定理可得 cosB= = = ，B+D=，cosD=cos（B）= cosB= （）AC 是DAB 的角平分线，DAC=BAC，由正弦定理，在ABC 中，有 ，在ADC 中，有 ，sinABC=sinDAC，且 sinB=sin（ D）=sinD，DC=BC，DC=5【点睛】本题主要考查了余弦定理，诱导公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题18.已知函数 . （）当 时，求函数 的单调区间；（）求证：直线 是曲线 的切线；（）写出的一个值，使得函数 有三个不同零点（只需
14、直接写出数值）【答案】 （1）递增区间为 ， ，单调递减区间为 ； （2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（）当 a=1 时，求 f（x）的导数 f（x） ，由 f（x）0，得 f（x）单调递增；f（x）f（x）单调递减；（）由 f（x）=3x2+2x+a，令 f（x）=）=3x2+2x+a=a，解得 x1=0，x2= ，而 f（0）=1，曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y=ax1，由此可得，无论 a 为何值，直线 y=ax1 是曲线 y=f（x）在点（0， f（0） ）处的切线；（ ）取 a 的值为2【详解】 （）函数 的定义域为当 a=-1 时，所以令 ，得
15、，当 x 变化时， ， 的变化情况如下表：x -1+ 0 - 0 + 极大值 极小值 所以函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为（）因为令 ，解得 ，而 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，即所以无论 a 为何值，直线 都是曲线 在点 处的切线（）取 a 的值为-2 这里 a 的值不唯一，只要取 a 的值小于-1 即可.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究曲线的切线方程以及根据函数的增减性研究函数的零点问题，是中档题19.已知数列 的前 项和为 ，且 .（）求 的值；（）求证: .【答案】 （1） ； （2）见解析.【解析】【分析】（I） 可得 a1=S1=11=0
16、，a1+a2=22+1，a1+a2+a3=321，联立解得 a1，a2，a3（II）n2 时，a n=SnSn1=2n1+2（1）n当 n 为偶数时， an=2n+1；当 n 为奇数时，a n=2n3（n1 ） 利用等差数列的求和公式即可得出【详解】 （I）解： a 1=S1=11=0，a1+a2=22+1，a1+a2+a3=321，联立解得：a 1=0，a2=5，a3=3（II）证明：n2 时，a n=SnSn1=n2+（1）n（n1）2+（1）n1=2n1+2（1）n当 n 为偶数时，a n=2n+1；当 n 为奇数时，a n=2n3（n1）a 1+a3+a5+a2n+1=0+3+7+2（
17、2n+1）3= =2n2+na2+a4+a6+a2n=5+9+（2n+1）= =2n2+3n2n 2+3n（2n2+n）=2n0a 1+a3+a5+a2n+1a 2+a4+a6+a2n【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.已知函数（）求函数 的极值；（）求证：当 时，存在 ，使得 .【答案】 （1） ； （2）见解析.【解析】【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的方程，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）根据 f（x）的最小值是 f（ ）= ，存在 x0，使得f（x0）1f（ ）1，由 f（ ）1= ，设 g（x）=lnxx，根据函数的单调性证明即可【详解】 （）函数 的定义域为 ，且 。因为令 ，得到 ，当 m0 时，x 变化时， ， 的变化情况如下表：x- 0 - 极小值 所以函数 在 处取得极小值当 m0 时，由（）可知， 的最小值是 ，所以“存在 ，使得等价于“ ”所以 .设则当 0x1 时， ， 单调递增当 1x 时， ， 单调递减所以 的最大值为 ，所以 ，所以结论成立.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题
