1、 2019 届高三上学期三调考试数学（文）试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式 得到集合 ，根据指数函数的性质求出 的值域 B，取交集即可【详解】 ，则 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了集合的运算，考查解不等式问题，指数函数的性质，准确求出集合A，B 是解题的关键，属于基础题2.已知复数满足： (其中为虚数单位)，复数的虚部等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求
2、出 ，由此能求出复数的虚部【详解】复数满足： (其中为虚数单位)， 复数的虚部等于 ，故选 C.【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用3.命题 若 为第一象限角，则 ；命题 ：函数 有两个零点，则( )A. 为真命题 B. 为真命题 C. 为真命题 D. 为真命题【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的性质，对于命题 可以举出反例 ，可得其为假，对于命题 ，根据零点存在定理可得其至少有三个零点，即 为假，结合复合命题的真假性可得结果.【详解】对于命题 ，当取第一象限角 时，显然 不成立，故 为假命题，对于命题 ， ，函数 在 上有
3、一个零点，又 ，函数 至少有三个零点，故 为假，由复合命题的真值表可得 为真命题，故选 C.【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假，考查三角函数的性质，零点存在定理的应用，属于中档题若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真， “且”：一假即假， “非”：真假相反，作出判断即可4.正项等比数列 中的 ， 是函数 的极值点，则 ( )A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A【解析】【分析】对函数求导 ，由于 ， 是函数 的极值点，可得， ，即可得出结果【详解】 ， ， ， 是函数 的极值点， ，又 ， ，故选 A【点睛】本题考查了利
4、用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数、等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.已知 是正方形 的中心，若 ，其中， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则以及平面向量基本定理求出 ， ，即可得出答案【详解】 ， ， ， ，故选 A【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题平面向量基本定理补充说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行， （2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一6.在 中，角 所对的边分别为 ，且 .若 ，则的形状是( )A. 等腰三角形 B.
5、 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】结合 ，利用余弦定理可得 ，可得 ，由 ，利正弦定理可得 ，代入 ，可得 ，进而可得结论 .【详解】在 中， ， ， ， ， ， ，代入 ， ，解得 的形状是等边三角形，故选 C【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.如图直角坐标系中，角 、角 的终边分别交单位圆于 、 两点，若点的纵坐标为 ，且满足 ，则 的值( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据 点的纵坐标易得 ，求出 ，根据三角形的面积公式得到 ，结合范围得出 ，将所求等式利用三角
6、恒等式可化简将 代入即可得结果.【详解】角 、角 的终边分别交单位圆于 、 两点， 点的纵坐标为 ， ， ， ， ， ，又 ， ， ，即，故选 B.【点睛】本题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键8.已知公比不为 1 的等比数列 的前 项和为 ，且满足 、 、 成等差数列，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】公比 不为 1 的等比数列 的前 项和为 ，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得公比 ，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值.【详解】公比 不为 1 的等比数列 的前 项和为 ， 、 、 成等差数列
7、，可得 ，即为 ，即 ，解得 （1 舍去） ，则 ，故选 C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.9.已知函数 ，若函数 与 图象的交点为 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合函数的解析式可得 ，求出 的对称轴为 ，根据两图象的对称关系分为为奇数和偶数即可得出答案【详解】 ， 的图象关于直线 对称，又 的图象关于直线 对称，当 为偶数时，两图象的交点两两关于直线 对称， ，当 为奇数时，两图象的交点有 个两两对称，另一个交点在对称轴上， ，故选 A【点睛】本题函数考查了函数的图象对称关系，
8、分类讨论的思想，解题的关键是根据函数的性质得到 ，属于中档题10.将函数 的图象向左平移 个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数 的图象，且 的图象与直线 相邻两个交点的距离为，若 对任意 恒成立，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知求得 ，再由已知得函数 的最小正周期为 ，求得 ，结合对任意 恒成立列关于 的不等式组求解【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度，得 ，又 的图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，得 ，即 ，当 时， ， ， ， ，解得 ， 的取值范围是 ，故选：B【点睛】本题主要
9、考查三角函数的图象变换与性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题11.已知函数 ， ，在其共同的定义域内， 的图象不可能在 的上方，则求的取值范围( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知条件转化为：不等式恒成立，分离参数 ，然后构造函数利用导数，求解函数的最值即可【详解】函数 ， ，在其共同的定义域内， 的图象不可能在 的上方，当 时， 恒成立，化为： ，即 ， ；令 ，（ ）， 令 ， ，函数 在 单调递增， ， 时， ， ，函数单调减函数， 时， ， ，函数单调增函数，所以 ， ，故选 C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值以及恒成
10、立问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为 或 恒成立，即 或 即可，利用导数知识结合单调性求出 或 即得解.12.已知函数 满足 ，且存在实数 使得不等式 成立，则 的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出 ， ，求出 的表达式，求出 的导数，得到函数的单调区间，求出 的最小值，问题转化为只需 即可，求出 的范围即可【详解】 ， ， ，解得 ， ，解得 ， ， ， 在 递增，而 ， 在 恒成立， 在 恒成立， 在 递减，在 递增， ，若存在实数 使得不等式 成立，只需 即可，解得
11、： ，故选 D【点睛】本题考查了求函数的表达式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，属于中档题由 ，得函数单调递增， 得函数单调递减；注意区分“恒成立问题”与“ 能成立问题” 之间的区别与联系.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.平面向量与 的夹角为 ， ， ，则 等于_.【答案】【解析】【分析】运用向量的数量积的定义，可得 ，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值【详解】由向量与 的夹角为 ， ，| ，可得 ，则 ，故答案为 .【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的模的平方即为向量的平方，考查运算求解的能力，
12、属于基础题.14.在 中， 分别是内角 的对边且 为锐角，若 ， ，则 的值为_.【答案】【解析】【分析】由已知及正弦定理可得 ，利用三角形面积公式可得 ，联立可得， ，利用同角三角函数基本关系式可求 ，由余弦定理可得 的值.【详解】 ， ，可得： ， ， ， ，联立可得 ， ， ，且 为锐角， ，由余弦定理可得： ，解得： ，故答案为 .【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题.15.已知数列 的前 项和为 ，且满足： ， ， ，则_.【答案】【解析】【分析】，则 ，化为： ，由 ， ，可
13、得 ，可得数列 是等比数列，首项为 2，公比为 2，即可得出【详解】 ，则 ，化为： 由 ， ，可得 ，因此 对 都成立数列 是等比数列，首项为 2，公比为 2 ，即 ，故答案为 .【点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16.已知函数 ， ，若 与 的图象上存在关于直线 对称的点，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出函数 关于直线 的对称函数 ，令 与 的图象有交点得出 的范围即可【详解】 关于直线 对称的直线为 ，直线 与 在 上有交点，作出 与 的函数图象，如图所示：若直线 经过点 ，则 ，若直线 与 相切
14、，设切点为 ，则 ，解得 ，故答案为 .【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， .(1)求 的通项公式；(2)求 的值.【答案】 （1） .； （2） .【解析】【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】(1)设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，则有 ，所以 ，故 .(2)由(1)知， ，则 ，所以.【点睛】本题主要
15、考查了等差数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等.18.在 中, 内角 , , 的对边分别为, , ,且 .（1）求角 的大小；（2）若 的面积为 ,且 ,求.【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得 的值，从而求得角 的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定理得到 的关系式，然后根据三角形面积公式求得 的值，从而
16、求得的值试题解析：（1）由 及正弦定理可得 , ,又因为.（2） ,又由余弦定理得 ,代入式得 ,由余弦定理 ,得 .考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式19.已知数列 中， ， .(1)求 的通项公式；(2)数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切 恒成立，求的取值范围.【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】【分析】（1）由已知条件推导出 ，从而得到 ，由此能求出结果；（2）由 ，利用裂项求和法求出 ，从而得到为单调递增数列，由此利用分类讨论思想能求出的取值范围【详解】(1)证明：由 ，得 ， ，所以数列 是以 3 为公比，以 为首项的
17、等比数列，从而 ；(2) ，.，两式相减得， . ，若 为偶数，则 ， ，若 为奇数，则 ， ， ， .【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法和分类讨论思想的合理运用20.已知 中，角 所对的边分别是 ，且 ，其中 是 的面积，.(1)求 的值；(2)若 ，求的值.【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）首先利用向量的数量积和三角形的面积公式求出结果 ， ，进一步建立等量关系求出结果；（2）利用三角形的面积公式和正弦定理建立方程组，进一步求出结果【详解】 ，得 ，得 ，即 ，所以 ，又 ， ，故 ， ，.(2) ，所以 ，
18、得 ，由(1)得 ，所以 .在 中，由正弦定理，得 ，即 ，联立，解得 ， ，则 ，所以 .【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，方程组的解法，属于基础题型21.已知函数 .(1)当 时，求函数 的单调区间；(2)设 ，不等式 对任意的 恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （1）当 时， 在定义域 单调递减；当 时，函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ， ； （2） .【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分为 和 两种情形，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于对任意的 ，恒有 成立，即，根据 ，分离，从而求出的范围
19、即可【详解】(1)函数定义域为 ，且 ，令 ，得 ， ，当 时， ，函数 在定义域 单调递减；当 时，由 ，得 ；由 ，得 或 ，所以函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ， .综上所述，当 时， 在定义域 单调递减；当 时，函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ， .(2)由(1)知当 时，函数 在区间 单调递减，所以当 时， .问题等价于：对任意的 ，恒有 成立，即 .因为 ，则 ， ，设 ，则当 时， 取得最小值 ，所以，实数的取值范围是 .【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题22.已知函数 (其中 ，是自然对数的底数
20、).(1)若 ，当 时，试比较 与 2 的大小；(2)若函数 有两个极值点 ，求 的取值范围，并证明： .【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而比较大小即可；（2）问题转化为方程 有两个根，设 ，根据函数的单调性，结合函数图象证明即可【详解】(1)当 时， ，则 ，令 ， ，由于 ，故 ，于是 在 为增函数，所以 ，即 在 恒成立，从而 在 为增函数，故 .(2)函数 有两个极值点 ， ，则 是 的两个根，即方程 有两个根，设 ，则 ，当 时， ，函数 单调递增且 ；当 时， ，函数 单调递增且 ；当 时， ，函数 单调递增且 ；要使方程 有两个根，只需 ，如图所示：故实数 的取值范围是 ，又由上可知函数 的两个极值点 ， 满足 ，由得 ， ，由于 ，故 ，所以 .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、二次函数的值域、不等式的求解，考查学生解决问题的能力，属于难题，通过对导函数进行求导，判断导函数的单调性，得到其与 0 的关系是解题的关键.
