1、山东省郓城第一中学 2018-2019 学年高三第一次月考理科数学试题第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数 (为虚数单位 )，则的虚部为( )A. 1 B. 0 C. 1 D. i【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算计算即可.【详解】因为 ，故虚部为 1.故选 C.【点睛】本题考查复数的除法运算，属基础题.2.设集合 ，集合 ，则 等于 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求得集合 A,B，然后求解其交集即可.【详解】求解函数 的值域可得 ，求解指数不等式 可得 ，由交集的定义可得
2、： ，表示为区间形式即 .本题选择 B 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.给出下列三个命题:“若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真命题； 命题“ ，使得 ”的否定是：“ ，均有 ”；若命题 ，则 .其中不正确的个数是（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B【解析】【分析】由题意逐一考查所给命题的真假即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：“若 为 的极值点，则 ”的逆命题为“若 ，则 为 的极值点”很明显函数 在 处为该命题的一个反例，题中的命题为假命题；特称命题的否定为全称命题，则命题“ ，使得 ”的否定是
3、：“ ，均有 ”，题中的命题为真命题；若命题 ，则 或 ，题中的命题为假命题.即不正确的命题的个数是 2.本题选择 B 选项.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：一个命题的否定与原命题肯定一真一假;原命题与其逆否命题同真假.4.设 ， ， ，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用指数函数的性质和对数函数的性质比较大小即可.【详解】由指数函数的性质可知： ， ，则 .本题选择 C 选项.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的
4、单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确5.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数图像和函数的解析式排除错误选项即可确定函数的解析式.【详解】题中所给函数图像关于 y 轴对称，则函数为偶函数，函数 ， 不是偶函数，则选项 AC 错误；当 时， ，与所给的函数图像矛盾，选项 B 错误.本题选择 D 选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从
5、函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势 (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项6.已知 ,“函数 有零点”是“函数 在 上为减函数”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求得两个命题中 m 的取值范围，然后确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】函数 有零点，则 ，即 ，函数 在 上为减函数，则 ，据此可得：“函数 有零点”是“函数 在 上为减函数”的必要不充分条件.本题选择
6、B 选项.【点睛】本题主要考查对数函数的性质，指数函数的性质，充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.古代著名数学典籍九章算术在“商功”篇章中有这样的描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，问积几何？”其中“圆亭” 指的是正圆台体形建筑物 .算法为：“上下底面周长相乘，加上底面周长自乘、下底面周长自乘的和，再乘以高，最后除以 36.”可以用程序框图写出它的算法，如图，今有圆亭上底面周长为 6，下底面周长为 12，高为 3，则它的体积为（ ）A. 32 B. 29 C. 27 D. 21【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量 V 的值，
7、模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】由题意可得：a=6，b=12，h=3，可得：A=3（66+1212+612）=756，V= =21故程序输出 V 的值为 21故选：D【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出
8、条件即可.8.已知函数 定义域为 ，且满足 ，当 时， ，则 =( )A. B. 5 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的周期，然后结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】由于 ，故 ，据此可得： ，即函数 是周期为 的函数，则： ，据此可得： =-5.本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.函数 的图象在点 处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可.【详解】由函数的解析式可得： ，则所求切线的斜率 ，且： ，即切点坐标为 ，由点斜式方程
9、可得切线方程为： ，即 .本题选择 B 选项.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.10.已知函数 是奇函数，若 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得 m 的值，然后结合函数的性质求解不等式即可.【详解】函数为奇函数，则 恒成立，即 恒成立
10、，整理可得： ，据此可得： ，即 恒成立，据此可得： .函数的解析式为： ，当且仅当 时等号成立，故奇函数 是定义域内的单调递增函数，不等式 即 ，据此有： ，由函数的单调性可得： ，求解不等式可得 的取值范围是 .本题选择 C 选项.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组) 的问题，若 f(x)为偶函数，则 f(x) f (x)f(| x|)11.已知函数 ， ，实数 满足 .若 ，使得 成立，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求得函数 的值域，然后结合题意求得 b
11、 的最大值和 a 的最小值即可确定 的最大值.【详解】 在1,1上单调递增，故 g(1)g(x)g(1)，即 g(x)3，,故 f(x)在(,2)上是减函数，在(2,0)上是增函数；f(2)=2+4=2，令 f(x)=3 解得，x=1或 x=4；故 b 的最大值为1，a 的最小值为 4，故 ba 的最大值为 3，本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数最值的求解，双量词问题的处理策略等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.若存在两个正实数 ， ，使得等式 成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数
12、与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可【详解】由 得 ，即 ，即设 ，则 ，则条件等价为 ，即 有解，设 ，为增函数，故当 时, ，当 时, ，即当 时,函数 取得极小值也是最小值为： ，即 ，若 有解，则 ，求解不等式可得实数的取值范围是 .本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，换元思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第卷本卷包括填空题和解答题两部分。第 13 题第 16 题为填空题，第 17 题第 22 题为解答题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题
13、共 4 小题，每小题 5 分。13.已知函数 ，则 _.【答案】【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】由函数的解析式可得： ，则 .【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围14.函数 的单调递增区间为_.【答案】【解析】【分析】首先求得函数的定义域，然后结合复合函数的单调性求解函数的单调递增区间即可.【详
14、解】函数有意义，则 ，据此可得函数的定义域为： ,二次函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，对数函数 是定义域内的单调递减函数，由复合函数的单调性同增异减可得函数 的单调递增区间为 .【点睛】本题主要考查二次函数的性质，对数函数的性质，复合函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.点 , 分别是函数 ， 图象上的点，若 , 关于原点对称，则称 , 是一对“关联点” ，已知 ， ，则函数 ， 图象上的“关联点”有_对.【答案】 2【解析】【分析】首先将原问题转化为两函数交点个数的问题，然后绘制函数图像数形结合即可求得最终结果.【详解】函数 关于坐标原点对称的
15、函数解析式为 ，即，函数 表示以点 为圆心， 为半径的圆位于 轴上方的部分，结合“关联点”的定义可知原问题等价于求解函数 与函数 的交点的个数，绘制函数图像如图所示，观察可得，交点个数为 2，即函数 ， 图象上的“关联点”有 2对.【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知 ,符号 表示不超过 的最大整数，若函数 有且仅有 3 个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将原问题转化为函数图像有交点的问题，然后数形结合考查临界条件即可求得最终结果.【详解】由题意可得方程 有且仅有 3 个零点，据
16、此可得： ，即函数 与函数 有三个横坐标非零的交点，如图一所示，若三个交点位于第一象限，考查临界情况：函数过点 时， ，函数过点 时， ，此时的取值范围是 ，同理，若三个交点位于第三象限，如图二所示，可得的取值范围是 ，综上可得：实数的取值范围是 .【点睛】 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1
17、7.设全集为 ，函数 的定义域为 ，集合 .（1）当 时，求 ；（2）若 ，求实数的取值范围.【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】(1)首先求得集合 A,B，然后求解并集即可；(2)由题意可得 ，分类讨论结合 B 是否为空集求解实数 a 的取值范围即可.【详解】 （1）令 ，解得 .令 ，解得时 . 于是 ， ，所以 . （ ）因为 ，所以 . 当 时， 时，满足题意. 当 时，令 ，解得 ，当 时， ，解得 . 综上所述，的取值范围是 .【点睛】本题主要考查集合的表示方法及其运算，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.已知 为定义在 上的奇函数，当
18、 时，函数解析式为 .（1）求 的值，并求出 在 上的解析式；（2）若对任意的 ，总有 ，求实数的取值范围.【答案】 （1） , ； （2） .【解析】【分析】(1)由奇函数的性质求得 b 的值，然后求解函数的解析式即可；(2)首先利用换元法求得函数的最小值，然后结合恒成立的条件确定实数 a 的取值范围即可.【详解】 （1）因为函数 为定义在 上的奇函数，当 时，函数解析式为 .所以 ，解得 ，即当 时的解析式 ，当 时， ，所以又因为 ，所以 .（2）由（1）得：当 时， ，令 ，则 ，令 ，则易得出当 时， 有最小值 ，即 在 上的最小值为 ，因为对任意的 ，总有 ，所以 .【点睛】本题主
19、要考查奇函数的性质，由函数的奇偶性确定参数的方法，换元的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知函数 .（1）当 时，求函数 在 上的最大值；（2）若函数 在 处有极小值，求实数的值.【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】(1)首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此即可求得函数的最大值；(2)函数 在 处有极小值，则 ，据此求得 a 的值，然后检验是否符合题意即可 .【详解】 （1）当 时， ，所以 ，令 ，解得 或 。当 变化时， 、 的变化情况如下表：由表知当 时， 有极大值，且极大值为 ；又 ，所以 .即函数 在 上的最大值为 . （2）因
20、为 ，所以 ，因为 在 处有极小值，所以 ，即 ，解得 或 ，当 时， ，故当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；时， 单调递增。所以函数 在 处有极小值，符合题意，故 ，当 时， ，故当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；时， 单调递增，所以函数 在 处有极大值，不符合题意，故 不成立，舍去。综上 。【点睛】(1)可导函数 yf(x )在点 x0 处取得极值的充要条件是 f(x0)0，且在 x0 左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若 f(x)在(a， b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值20.已知四棱锥 ，底面 为菱形， ,H 为
21、 上的点，过 的平面分别交于点 ，且 平面 （1）证明： ；（2）当 为 的中点， ， 与平面 所成的角为 ，求二面角的余弦值【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】【分析】（1）连结 交 于点 ，连结 由题意可证得 平面 ，则 由线面平行的性质定理可得 ，据此即可证得题中的结论；（2）结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【详解】 （1）证明：连结 交 于点 ，连结 因为 为菱形，所以 ，且为 、 的中点，因为 ，所以 ，因为 且 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 因为 平面 ， 平面 ，且平面 平面 ，所以 ，所以 （2）由
22、（1）知 且 ，因为 ，且 为 的中点，所以 ，所以 平面 ，所以 与平面 所成的角为 ，所以，所以 ，因为 ，所以 分别以 ， ， 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 ，则，所以 记平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，所以 ，记平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，所以 ， 记二面角 的大小为，则 所以二面角 的余弦值为 【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，左右焦点分别为 , ,离心率为 ，右焦点到右顶点的距离为 1.（1）求椭圆 的方程；（2）过 的直线与椭
23、圆 交于不同的两点 , ,则 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合题意求解椭圆方程即可；（2）很明显直线的斜率不为零，设出直线方程的 x 轴截距形式，得到面积函数，结合函数的性质确定面积最大时的直线方程即可.【详解】 （1）设椭圆 ：因为 ， 所以 即椭圆 ： . （2）设 ，不妨设 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为 ，由 得 ，则 ， ，令 ，可知 则 ，令 ，则 ，当 时， ，即 在区间 上单调递增， ， ，即当 时， 的面积取得最大值 3，此时直线的方程为 【点睛】
24、解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题22.已知函数 ， .（1）讨论 的单调性；（2）若函数 的图象与直线 交于 , 两点，线段 中点的横坐标为 ，证明： 为 的导函数.【答案】 （1）答案见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)首先确定函数的定义域，然后结合导函数的解析式分类讨论即可确定函数的单调性；（2）由题意可得 ，很明显 不成立，当 时，由导函数的符号可知函数在 单调递增，在 上单调递减,据此讨论计算即可证得
25、题中的结论.【详解】 （1）定义域，当 ，即 时， ，故 在 上为增函数；当 ，即 时，在 上 ；在 上 ；故 在 和 上为增函数；在 上为减函数；当 ，即 时，在 上 ；在 上 ；故在 和 上为增函数；在 上为减函数；当 ，即 时，在 上 ；在 上 ；故在 上为增函数；在 上为减函数. （2）因为所以当 时， ， 在 上单调递增，不可能有两个交点，舍去；当 时，令 ，则 ；令 ，则 .故 在 单调递增，在 上单调递减.不妨设 ， ,且 .要证 ，需证 ，即证 ，故 ，即证 ，又因为 在 上单调递减即证 ，又故只需证即证：当 时， .设则所以 在 单调递减，又因为 ，故 得证【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值) 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值 (极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用
