1、泰安一中 20182019 学年高一上学期期中考试数学试题一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若 U=R,集合 A= ，集合 B 为函数 的定义域，则图中阴影部分对应的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元一次不等式，求对数函数的定义域求出集合 ， ，阴影部分表示的集合为 ，根据集合关系即可得到结论.【详解】阴影部分表示的集合为 ， ， ， ， ，故选 B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，对数函数的定义域，根据图象确定集合关系是解决本题的关键，比较基础2.下列函数中，既是奇函数又在区间
2、 是增函数的是（ ）A. B. C. D. y=|x1|【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，即可判断既是奇函数又在区间 上单调递增的函数【详解】对于 A，定义域为 不关于原点对称，故不为奇函数，故 A 错对于 B， ，则 为奇函数，在区间 上单调递增，故 B 对；对于 C， 为非奇非偶函数，故 C 错误；对于 D， 的图象关于 对称，为非奇非偶函数，故 D 错误，故选 B.【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断，考查运算能力，属于基础题.3.函数 的零点所在的大致区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数零点的判
3、断条件，即可得到结论【详解】 ，则函数 在 上单调递增， ， ， ，在区间 内函数 存在零点，故选 B【点睛】本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键，属于基础题.4.已知 a= ，b= ，c= ，则 a、b、c 的大小关系是（ ）A. cab B. abc C. bac D. cba【答案】D【解析】【分析】根据指数函数 的单调性可以判断， 的大小，根据幂函数 的单调性可以判断 ，的大小，综合可得结果.【详解】 ，可得 是单调减函数， ， ， ，可得 为减函数， ， ，综上可得 ，故选 D.【点睛】本题考查大小比较，解题的关键是利用指数函数、幂函数的单
4、调性，常见的做法还有可能与 1 比较，属于基础题.5.已知函数 （mZ ）为偶函数且在区间（0，+）上单调递减，则 m=（ ）A. 2 或 3 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】由幂函数 为偶函数，又它在 递减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数为偶数这个条件，即可求出参数 的值【详解】幂函数 为偶函数，且在 递减， ，且 是偶数，由 得 ，又由题设 是整数，故 的值可能为 2 或 3，验证知 或者 3 时，都能保证 是偶数，故 或者 3 即所求故选：A【点睛】本题考查幂函数的性质，已知性质，将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形运用，请认真体会解题过程中
5、转化的方向6.已知函数 f（x）=loga（x22ax）在4，5上为增函数，则 a 的取值范围是（ ）A. （1，4） B. （1，4 C. （1，2） D. （1，2【答案】C【解析】【分析】由题意可得 的对称轴为 ，当 时，由复合函数的单调性可知， 在单调递增，且 在 恒成立， 时，由复合函数的单调性可知， 在单调递增，且 在 恒成立从而可求.【详解】由题意可得 的对称轴为 ，当 时，由复合函数的单调性可知， 在 单调递增，且 在 恒成立，则， 时，由复合函数的单调性可知， 在 单调递增，且 在 恒成立，则 ，此时不存在，综上可得 ，故选 C【点睛】本题主要考查了由对数函数及二次函数复合二
6、次的复合函数的单调性的应用，解题中一定要注意对数的真数大于 0 这一条件的考虑，属于中档题.7.设 f（x）=3ax+12a 在（1， 1）上存在 x0 使 f（x0）=0，则实数 a 的取值范围是（ ）A. B. C. 或 a1 D. a1【答案】C【解析】【分析】一次函数为单调函数，结合零点存在定理可得不等式 ，解出不等式即可.【详解】 在 上存在 使 ， ， 解得 或 ，实数的取值范围是 或 ，故选 C【点睛】本题考查了函数零点存在定理，属于基础题，特别提醒：（1）根据该定理，能确定 在 内有零点，但零点不一定唯一；（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，
7、并不能说明函数在 上没有零点；（3）若 在 上的图象是连续不断的，且是单调函数， ，则 在 上有唯一的零点8.若 2a=3b=6，则 =（ ）A. 2 B. 3 C. D. 1【答案】D【解析】【分析】首先将指数式化为对数式解出和 ，将换底公式与对数的加法运算性质相结合即可得到最后结果.【详解】 ， ， ， ，故选 D.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，换底公式（当两对数底数和真数位置互换时，两数互为倒数）与对数加法运算法则的应用，属于基础题.9.定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+）上递增， ，则满足 的 x 的取值范围是（ ）A. （0，+） B. C. D. 【答案】C【解
8、析】【分析】由题意可得偶函数 在 上递增，在 上递减，结合题意可得 ，或，分别求得的解集，再取并集，即得所求【详解】由题意可得偶函数 在 上递增，在 上递减，且 ，故由 可得 ，或 由可得 ， ，解得 由可得 ， ，解得 综上可得，不等式的解集为 ，故选 C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用，解对数不等式，对数的熟练运算是解题的关键，属于中档题10.若方程 x2+ax+a=0 的一根小于2，另一根大于2，则实数 a 的取值范围是（ ）A. （4，+） B. （0，4）C. （，0） D. （，0）（4，+）【答案】A【解析】【分析】令 ，利用函数与方程的关系，结合二次函
9、数的性质，列出不等式 求解即可.【详解】令 ，方程 的一根小于 ，另一根大于 ， ，即 ，解得 ，即实数的取值范围是 ，故选 A.【点睛】本题考查一元二次函数的零点与方程根的关系，数形结合思想在一元二次函数中的应用，是基本知识的考查11.已知函数 ，若函数 g（x）=f（x）m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A. （，4） B. （，4 C. 3，4） D. 3，4【答案】C【解析】【分析】将函数 的零点问题转化为 与 的图象的交点问题，借助于函数图象可得到结果【详解】由于函数 有 3 个零点，则方程 有三个根，故函数 与 的图象有三个交点函数 ，其图象如图所示，故函数 的极大
10、值为 ，极小值为 ，则实数 的取值范围 ，故选： C【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，常见的转化思想即方程 根的个数等价于函数 和 图象交点的个数，该题中画出函数 的图象是解题的关键，属于中档题12.设函数 f（x）=ln（x+ ）+x3（1x1） ，则使得 f（x） f（3x1）成立的 x 的取值范围是（ ）A. （0， ） B. （， ） C. （ ， ） D. （1， ）【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性易得 为奇函数且为增函数，进而得到关于 的不等式组，解出即可.【详解】 ，定义域关于原点对称， 是奇函数，而 时， 递增，故 时，
11、 递增，故 在 递增，若 ，则 ，解得 ，故选 A【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，观察得到为奇函数是难点，常见与对数相结合的奇函数还有 ，在该题中容易遗漏的知识点为函数的定义域即 ，是一道中档题二填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知函数 是定义在 区间上的偶函数，则函数 的值域为_.【答案】【解析】试题解析：函数在区间 上的偶函数 即考点：本题考查函数性质点评：解决本题的关键是利用函数奇偶性，定义域关于原点对称14.设函数 , 则满足 = 的 的值_【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式 ，分为 和 两种情形，列出方程，然后求解即可【详
12、解】函数 ，可得当 时， ，解得 舍去当 时， ，解得 故答案为 【点睛】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力，属于基础题.15.如果 ，则 m 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由 ，可得 ，解出即可得出【详解】 ， ，解得 ，故 的取值范围为 故答案为 【点睛】本题考查了幂函数的单调性，注意函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.已知函数 f（x）=log2（4x+1）+mx，当 m0 时，关于 x 的不等式 f（log3x）1 的解集为_【答案】(0,1)【解析】【分析】首先得到函数 为增函数，原不等式等价于 ，结合单调性解出即可.【详解】函数 ，当 时
13、，可知 单调递增函数，当 时，可得 ，那么不等式 的解集，即 ，解得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数的单调性判断，将不等式转化为 是解题的关键，在解关于对数函数的不等式时务必要保证真数部分大于 0，属于基础题三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.（1）已知 ， ，求 a，b； 并用 a，b 表示 .（2）求值 【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】（1）将指数式化为对数式根据对数的运算性质化简即可；（2）利用幂指数的运算性质，对数的定义即可得到答案【详解】 （1）因为 ， ，所以 ， ，所以
14、.（2）原式 .【点睛】本题考查有理数指数幂的运算性质，对数的运算性质，考查计算能力，是基础题18.已知集合 ，（1）若 ;（2）若 ，求实数 a 的取值范围【答案】 （1）见解析（2） 或【解析】【分析】（1）把 代入集合 ，求解一元二次不等式化简 ，再由交、并、补集的运算得答案；（2）分为 和 两类分析，当 时，列关于的不等式组求解【详解】解：（1）当（2）若 ，求实数 a 的取值范围当 A= 时，有 ；当 A 时，有又 ，则有 或 ，解得： 或 或综上可知： 或 【点睛】本题考查交集及其运算以及子集的概念，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题.19.已知 .（1）若 是
15、奇函数，求的值，并判断 的单调性（不用证明） ；（2）若函数 在区间 上有两个不同的零点，求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1)奇函数满足 恒成立，据此得到关于实数的等式，据此可得 ；结合指数函数的性质可知 在 上是单调递增函数.(2)原问题等价于方程 在区间 上有两个不同的根，换元即方程在区间 上有两个不同的根，结合二次函数的性质可得的取值范围是 .试题解析：（1）因为 是奇函数，所以 ，所以 ；在 上是单调递增函数.（2） 在区间 上有两个不同的零点，方程 在区间 上有两个不同的根，方程 在区间 上有两个不同的根，方程 在区间 上有两个不同的根，.20.某自行车厂为
16、共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000 元，每生产一件新样式单车需要增加投入 100 元根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数 h（x） ，其中 ,x 是新样式单车的月产量（单位：件） ，利润=总收益总成本（1）试将自行车厂的利润 y 元表示为月产量 x 的函数；（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？【答案】 （1）见解析（2）当月产量 x=300 件时，自行车厂的利润最大，最大利润为 25000元【解析】【分析】（1）求出总成本，由利润=总收益- 总成本可得自行车厂的利润 元与月产量 的函数式；（2）当 时，利用配方法求二
17、次函数的最大值 25000，当 时，由函数的单调性可得 ，由此得答案【详解】解：（1）依题设，总成本为 20000+100x，则 ；（2）当 0x400 时， ，则当 x=300 时，y max=25000；当 x400 时，y=60000 100x 是减函数，则 y60000100400=20000 ，当月产量 x=300 件时，自行车厂的利润最大，最大利润为 25000 元【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，训练了分段函数最值的求法，是中档题.21.已知函数 f（x）=ax22ax+1+b（a0）在区间2， 3上有最大值 4 和最小值 1（）求实数 a，b 的
18、值；（）设函数 g（x）= ，若不等式 g（2x）k2x0 在 x 1，1上恒成立，求实数 k 的取值范围【答案】 （1）a=1，b=0；（2）【解析】【分析】（） 时， 在区间 上单调递增，可得 ，解出即可；（）由（）可得，原题可化为 ，分离参数 ，令 ，求出 的最大值即可【详解】解：（）f（x）=ax 22ax+1+b=a（x1）2+1+baa0，f（x）在区间 2，3上单调递增， ，解得 a=1，b=0；（）由（）知，f（x）=x 22x+1，g（x）= = ，不等式 g（2x）k2x0 可化为 ，即 k 令 t= ，x 1，1，t ，2，令 h（t）=t22t+1=（t1）2，t ，2
19、，当 t=2 时，函数取得最大值 h（2）=1k1实数 k 的取值范围为1，+）【点睛】本题考查二次函数在闭区间上最值的求法，考查恒成立问题的求解方法，训练了利用换元法及配方法求最值，是中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为 或 恒成立，即 或 即可，求出 或 即得解.22.已知函数 （a0，a1，m1） ，是定义在（1，1）上的奇函数（I）求 f（0）的值和实数 m 的值；（II）当 m=1 时，判断函数 f（x）在（1，1）上的单调性，并给出证明；（III）若 且 f（b2）+f（2b2）0，求实数 b 的取值范围【答案】 （1）1（2）见解析（
20、3）【解析】试题分析：（I）由奇函数的定义可得 f（x）+f（x）= loga =0，进一步整理得 1m 2x2=1x 2恒成立，比较系数可得 m=1 或 m=1（舍去） ；（II）根据函数单调性的定义证明即可；（III）由 ，得 0a1，根据条件构造不等式f（b2）f（22b） ，然后利用函数的单调性得到关于 b 的不等式求解即可。试题解析：（I）f（0）=log a1=0函数 f（x）是奇函数， f（x）=f（x）f（x）+f（x）=0log a +loga =0；log a =0 =1，整理得 1m 2x2=1x 2对定义域内的 x 都成立m 2=1所以 m=1 或 m=1（舍去）m=1
21、（II）由（I）可得 f（x）=log a ；令设1x 1x 21，则1x 1x 21x 2x 10， （x 1+1） （x 2+1）0t 1t 2 当 a1 时，log at1log at2，即 f（x 1）f（x 2） 当 a1 时，f（x）在（1，1）上是减函数当 0a1 时，log at1log at2，即 f（x 1）f（x 2） 当 0a1 时，f（x）在（1，1）上是增函数（III） ，0a1，由 f（b2）+f（2b2）0，得 f（b2）f（2b2） ，函数 f（x）是奇函数，f（b2）f（22b） ，故由（II）得 f（x）在（1，1）上是增函数，解得实数 b 的取值范围是 。点睛：函数单调性的证明方法（1）对于 型的函数，可按照取值、作差、变形、判断符号、下结论的步骤进行；（2）对于 型的函数，可先判断 的单调性，可得 的大小关系，再利用 的单调性求解；（3）对于抽象函数，可按单调性的定义进行判断，解题时要注意条件中给出的函数的有关性质的运用，通过适当的变形得到 的大小关系。
