1、人大附中 20182019 学年度第一学期期中高一年级数学& 必修 1 模块考核试卷一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置 ）1.设集合 A, ,0，B2,4，若 AB2 ，则实数 a 的值为（）A. 2 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】【分析】因为 ，所以 或 ，算出后代人检验可得正确结果.【详解】因为 ，因为 或 ，当 时， ， ，不合题意，舎；当 时， ， ，符合；当 时， ， ，符合；综上，选 D.【点睛】本题考察集合中元素的性质，一般地，集合中的元素有确定性、互
2、异性和无序性，解题时应根据集合间的关系及无序性得到集合中参数满足的等量关系，算出参数的值后再检验元素的互异性.2.计算 的结果是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先把 化为 ，再利用对数的运算性质得到对数的值.【详解】 ，故选 A .【点睛】对数有如下的运算规则：（1） ，；（2） ；（3） ；（4） .3.下列函数中，是偶函数的是（）A. f(x) B. f(x)lgx C. f(x) D. f(x) |x|【答案】D【解析】【分析】先判断各函数的定义域是否关于原点对称，再检验 是否恒成立.【详解】A 中 ， ， ，不是偶函数；B 中 ，定义域不关于原点对称，不是偶函数；
3、C 中 ， ， ，不是偶函数；D 中 ， ，故 为偶函数，综上，选 D.【点睛】判断一个函数是否为偶函数或奇函数，应先求出该函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数，在定义域关于原点对称的条件下，我们再检验与 的关系.注意说明一个函数是非奇非偶函数，可用反例说明.4.函数 的零点所在的区间是（）A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)【答案】B【解析】【分析】因为函数为 上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为 为 上的增函数， 为 上的增函数，故 为 上的增函数.又 ， ，由零点存在定理可知 在 存在零点，故选 B.
4、【点睛】函数的零点问题有两种类型， （1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如 等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.5.已知 ，则函数 的大致图象是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令 后可得 即 ，平移幂函数 的图像可得该函数的图像.【详解】令 后可得 即 ，考虑函数 ，将该函数的图像向右平移一个单位后可得 的图像，故选 A.【点睛】函数的图像变换有如下两种：（1）平移变换：；.（2）对称变换；.6.设 a ，b ，c ，则
5、a，b，c 的大小关系为（）A. acb B. abc C. bac D. cab【答案】B【解析】【分析】可利用 为 上的增函数得到 的大小关系，再利用换底公式得到利用 为 上的增函数可得 的大小关系，最后得到 的大小关系.【详解】因为 为 上的增函数，故 ，故 .又由换底公式可知 ，因 为 上的增函数，故 ，故 即 ，综上， ，故选 B.【点睛】本题考察对数的大小比较，属于基础题.7.已知 ， 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】因 ，故原不等式等价于 在 上恒成立，故可得实数的取值范围.【详解】因为 ，故 ，故 在 上恒成立等价于 在 上
6、恒成立，故 即 ，故选 D.【点睛】一元二次不等式的恒成立问题，可通过其对应的二次函数的图像和性质来讨论，也可以用参变分离的方法把恒成立问题转化为一个新的函数的最值问题，特别地，如果一元二次不等式对应的函数解析式可以因式分解，则可以把恒成立的问题转为一元一次不等式的恒成立问题.8.设函数 ，其中 表示不超过 x 的最大整数，若函数 的图象与函数的图象恰有 3 个交点，则实数 a 的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用当 时有 ，故函数 在 具有“局部周期性” ，故可在平面直角坐标系中画出函数 的图像，结合 的图像与 的图像有 3 个交点可以得到实数的取值范围.【
7、详解】 ，而 ，故当 时， ，故 在 上的图像如图所示：因为 的图像与 的图像有 3 个交点，故 ，故 ，故选 D.【点睛】不同函数图像的交点问题，关键在于正确刻画函数的图像，可以用图像变换的方法把复杂函数的图像归结基本初等函数的图像的平移或对称变换等，也可以根据解析式的特点先刻画函数的局部图像，再根据函数的性质得到其他范围上的图像.二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分请把结果填在答题纸上的相应位置 ）9.计算： _.【答案】1【解析】【分析】利用对数的运算规则 可得计算结果.【详解】因为 ，故填 .【点睛】对数有如下的运算规则：（1） ，；（2） ；（3） ；（4）
8、.10.已知集合 ， ，若 ，则实数的取值范围是 _.【答案】【解析】【分析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用 可得实数的取值范围.【详解】如图，在数轴表示 ，因为 ，故 ，填 .【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.11.函数 的定义域为_.【答案】【解析】【分析】解不等式 可得函数的定义域.【详解】由题设有 即 ，因 ，故 ，故函数的定义域为 ，填.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号 （ ， 为偶数）中， ；（3）零的零次方没有意义；（4
9、）对数的真数大于零，底数大于零且不为 1.12.已知 ，则 _；若 ，则 _【答案】 (1). 1 (2). 0 或 2【解析】【分析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时 .【详解】 ，故 ，因为 ，故 或者 ，解得 或 .综上，填 ， 或 .【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值.13.已知函数 在区间 上不单调，则实数 a 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据函数在 不单调可得 且 ，从
10、而得到实数的取值范围.【详解】若 ，则 ， 在 为减函数，不符题意，舎；若 ，则 为二次函数，对称轴为 ，因为 在 不单调，故 ，所以，填 .【点睛】含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数 的单调性取决于的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向.14.如图放置的边长为 2 的正三角形 ABC 沿 x 轴滚动，记滚动过程中顶点 A 的横、纵坐标分别为 和 ，且 是 在映射作用下的象，则下列说法中： 映射的值域是 ； 映射不是一个函数； 映射是函数，且是偶函数； 映射是函数，且单增区间为 ，其中正确
11、说法的序号是_.说明：“正三角形 ABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动沿 x 轴正方向滚动指的是先以顶点 B 为中心顺时针旋转，当顶点 C 落在 x 轴上时，再以顶点 C 为中心顺时针旋转，如此继续类似地，正三角形 ABC 可以沿 x 轴负方向滚动【答案】【解析】【分析】根据 滚动的过程在坐标平面中画出 的运动的轨迹后可得正确的选项【详解】 运动的轨迹如图所示：则映射是一个函数且为偶函数， 的值域为 ，也是一个周期函数，周期为 ，其增区间为 和 ， ，故选【点睛】几何图形在坐标轴上的滚动问题，应在坐标系中根据滚动的过程刻画出动点的轨迹，再从轨迹中找出对应函数的性质
12、（如值域、单调性、奇偶性、周期性等） 此类问题忌凭空想象三、解答题（本大题共 3 小题，共 30 分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置 ）15.已知集合 ， . （1）求 ； （2）若 ，求实数 m 的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）求出不等式 的解后可得 （2）因为 ，故 对任意的 恒成立，参变分离后可得实数 的取值范围【详解】 （1）由 得 ，故 ，所以 （2）由题知，当 时， 恒成立，即：当 时， 恒成立 在区间 上的值域为 ， 所以 ，即实数 m 的取值范围是 【点睛】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式
13、时注意二次项系数的符号另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围16.已知函数 是定义在 R 上的奇函数（1）求 的解析式及值域；（2）判断 在 R 上的单调性，并用单调性定义予以证明【答案】(1) , (2) 增【解析】【分析】（1）因为奇函数的定义域为 ，故可由 得到的值及其函数解析式，结合指数函数的值域可得 的值域（2）利用单调性定义可证明 为 上的增函数【详解】 （1）由题知， ，即： ，故 ， 此时 ， 为奇函数因为 ，所以 ， ， （2） 在 上是增函数 证明：设 ， ，则 ，因为 ， ，故，所以函数
14、在 上是增函数【点睛】对于含参数的奇函数或偶函数，可利用特殊值求参数的值（注意检验） ，也可以利用恒等式 或 来求参数的值而对于函数单调性的证明，定义法是关键，其基本步骤是作差、定号和给出结论（也可以作商，此时商应与 1 比较大小且要注意函数值的符号） 17.某公司共有 60 位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付 400 元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费若参加培训的员工人数不超过 30 人，则每人收取培训费 1000 元；若参加培训的员工人数超过 30 人，则每超过 1 人，人均培训费减少 20 元
15、设公司参加培训的员工人数为 x 人，此次培训的总费用为 y 元（1）求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？【答案】(1) (2)50000【解析】【分析】（1）依据参加培训的员工人数分段计算培训总费用（2）依据（1）求出函数的最大值即可【详解】 （1）当 时， ； 当 时， 故 （2）当 时，元，此时 x30；当 时，元，此时 综上所述，公司此次培训的总费用最多需要 元【点睛】本题考察函数的应用，要求依据实际问题构建分段函数的数学模型并依据数学模型求实际问题的最大值，注意建模时理顺各数据间的关系卷 （共 7 道题，满分 50 分）一、多项选择题
16、（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置 ）18.已知函数 ，若 0 ，且满足 ，则下列说法一定正确的是_. 有且只一个零点 的零点在 内 的零点在 内 的零点在 内【答案】【解析】【分析】函数 为 上的增函数，结合 ， 可知、正确， 因 ，故 的符号为两正一负或全负，从而、 错误【详解】因为 ， 均为 上的单调增函数，故 为 上的增函数因为 ， ，由零点存在定理可知 有且只有一个零点且零点在 内，故、正确因 ，故 的符号为两正一负或全负，而 ，故 或者 ，若 ，则零点在 内；若 ，则
17、零点在 内故、 错误综上，填【点睛】本题考察函数的零点一般地，函数零点问题须结合函数的单调性和零点存在定理来讨论，其中函数单调性的判断可依据增函数的和为增函数，减函数的和为减函数，增函数与减函数的差为增函数或同增异减（针对复合函数）等原则来判断，零点所在区间的端点应该根据函数解析式的特点来选取19.关于函数 的性质描述，正确的是_ 的定义域为 的值域为 在定义域上是增函数 的图象关于原点对称【答案】【解析】【分析】函数的定义域为 ，故 ，所以 为奇函数，故正确，又，故可判断正确，错误【详解】由题设有 ，故 或 ，故函数的定义域为 ，故正确当 ， ，此时 ， 为 上的奇函数，故其图像关于原点对称
18、，故正确又 ， 当 时， ；当 时， ，故 的值域为 ，故正确由 可得 不是定义域上增函数，故错综上，选【点睛】对函数的性质的研究，一般步骤是先研究函数的定义域，接下来看能否根据定义域简化函数解析式，使得我们容易判断函数的奇偶性和周期性，因为一旦明确函数的奇偶性或周期性，我们就可以在更小的范围上便捷地研究函数的其他性质，最后通过研究函数的单调性得到函数的值域20.在同一直角坐标系下，函数 与 ( , )的大致图象如图所示，则实数 a的可能值为_. . . . 【答案】【解析】【分析】根据图像，底数须满足 ，逐个检验可得正确的结果 【详解】由图像可知 且 ，因为 ，故错，故正确，故正确，故错误综
19、上，选【点睛】本题为图像题，要求能从两个函数的图像的位置关系中得到参数满足的条件，并能利用指数、对数知识进行数的大小比较不同类型的数值大小比较应找合适的中间数进行不等关系的传递二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分请把结果填在答题纸上的相应位置 ）21.已知函数 在 R 上是增函数，则实数的取值范围是 _【答案】【解析】【分析】因为 是分段函数且为增函数，故 ，故可得实数的取值范围【详解】因为 为 上的增函数，故 ，所以 ，填 【点睛】如果一个分段函数在 为增函数（或减函数） ，那么该函数除了在每个分段上都是增函数（或减函数） ，分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系
20、，后者在解题中容易忽视22.非空有限数集 满足：若 ，则必有 请写出一个满足条件的二元数集S_【答案】0,1或1,1，【解析】【分析】因 中有两个元素，故可利用 中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设 ，根据题意有 ，所以 必有两个相等元素若 ，则 ，故 ，又 或 ，所以 （舎）或 或 ，此时 若 ，则 ，此时 ，故 ，此时 若 ，则 ，此时 ，故 ，此时 综上， 或 ，填 或 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数） ，又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开
21、方运算不封闭一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素23.已知直线 上恰好存在一个点关于直线 y=x 的对称点在函数 的图象上请写出一个符合条件的实数 a 的值：_【答案】只需满足 或 即可【解析】【分析】的反函数为 ，故问题可以转化为 与 恰有一个公共点即可【详解】 的反函数为 ，故 与 的图像恰有一个公共点，当 时，直线满足要求，当 时，若 与 的图像恰有一个公共点，则 （因为题设要求写出一个符合条件的实数，故可填一个负数即可， 符合，待同学们学习了导数的相关知识后可求）【点睛】函数及其反函数的图像关于直线 对称，因此与直线 对称相关的函数问题可从反函数的角度
22、去分析，一般地，函数的定义域就是反函数的值域，函数的值域就是反函数的定义域，而且单调函数必有反函数三、解答题（本大题共 1 小题，满分 14 分解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置 ）24.若函数 的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数 为“0-1 函数”.（1）判断下面两个函数是否是“0-1 函数”，并简要说明理由： ； .（2）若函数 是“0-1 函数”，求 ；（3）设 ，定义在 R 上的函数 满足： 对 , R，均有； 是“0-1 函数”，求函数 的解析式及实数 a的值【答案】(1) 不是是，详见详解；（2） ；（3） ， 【解析】【分析】（1）依据定义检验是否有 可判断两个函数是否为“ ”函数（2）由 可得 值从而求得函数（3）分别令 和 从而得到 ，利用 为“ ”可得，从而得到 ，由 可得 【详解】 （1）不是，因为图象不过 点；是，因为图象恒过 和 两点 （2）由 得， ，故 ；由 得， ，故 所以， （3）令 得， ，令 得， ，所以， 由知， ，故 ，从而 ， ，由又知， ，于是 ，故 【点睛】本题为关于函数的新定义问题，此类问题一般是依据定义验证具体函数是否满足或给出新定义函数，求参数的值或范围对于给出运算规则的抽象函数，我们可以通过赋值法求出一些特殊点的函数值或者函数的解析式，赋何值需根据运算规则和我们求解的目标而定
