1、 1高阶导数的求导法则对高阶导数的求导问题是数学分析中的一个重点及难点，对其求导数具有运算量大、技巧性强的特点，尤其值得归纳与研究，以便找到合适的求解方法，这样才能达到事半功倍，触类旁通的效果。下面就详细阐述几种求解高阶导数的常用方法，希望对大家有所帮助和启发。 71 先拆项再求导法这种方法适用于这样的一些函数，它们那些经拆项后，变成了易于求解高阶导数的一些基本形式之和，然后利用导数的四则运算中和的法则来分项求导。例如在求有理分式函数的高阶导数时，可先化为部分分式，然后求导。要想熟练的掌握这种方法，就要求我们记得一些基本函数的高阶导数的基本形式，例如下面这些基本形式；()1)()()kn kn
2、xx；()xe；()ln)xnaa；()(1)l !nx；()sini2x；()cosnx。() 11!()nnnaaxbxb例3.1.1 求函数 的n阶导数。2()56f解 23xf，12 ()()()131nnnfxx。11!()()nnn例3.1.2 求函数 的n阶导数。44()sicofxx解 s222(sic)(icos)xx；o ()s().2nnf A2 直接利用Leibniz公式求高阶导Leibniz 公式：设 与 都是 阶可导函数，则它们的积函数也 阶可导，()fxgnn且成立公式 ()()()0(nkkfCfxgA这里 是组合系数。!knC在利用 Leibniz 公式求解高
3、阶导数时，要学会灵活地运用，其主要的思想就是将所要求导的函数，化成两个函数乘积的形式，然后利用 Leibniz 公式。例 3.2.1 验证函数 满足微分方程arcsinyx2()(1)2()10.(3)n nxy并依此求 。()0解 ，22,11yxyx 即再两端求导，得 32210xy化简，可得 2(1)0xy对上式两端求 n 阶导数, 利用 Leibniz 公式, 有2()1(1)2()(1)()nnnnCxyyxCy()()()1xy。0可见函数 满足所指的微分方程。 arcsinyx在上式中令 得递推公式，(2)()nny注意到 和 ，0)1y0所以， 当 为偶数时 ；k()n当 时,
4、 21n()1)()();knkxx；2(!综上， 。() 20(1)!1n nkyk3 用数学归纳法求高阶导数在求高阶导数时，我们常常是由低阶到高阶逐步求导，先求出函数的前几阶导数，再观察思考，总结归纳，如果发现其中有递推的规律，就可以先列出递推公式，然后用数学归纳法加以证明。例子3.3.1 试证明：试证明等式 。1 1()(x xnnnee证明 当 时， ， 等式成立；1n1112)()xxxe当 时 ， ， 等式成立；211112 2()()xxxxe4假设 时等式成立，即1,nk；1 12()x xkkee；11()xxkk0n现来验证 时，等式也成立。n11()()xxkkee112
5、()xxk11()()xxkkee11xxkk。12()xke可见， 时，等式也成立。1nk综上，由数学归纳法可知，等式 成立。1 1()(x xnnnee4 用递推公式求高阶导方法要点，当高阶导数无法直接求出时，可考虑先求出导数的递推公式，方法是先求前几阶的导数关系，然后设法将等式作适当处理，使两端同时求导时能得到一般的递推关系。例3.4.1 设 ， 求 。2()arcsin)fx()0nf解 21f化简，可得， （1）2()(4)xffx两边再求导并化简，得， （2）2()1)(ff应用Leibni 公式对（ 2）式两边求 阶导数，得n5； （3）(1)()2()1nnnxffxfx (1
6、)()0nnfxfx在（1） 、 （2） 、 （3）中，令 ，得0, ，(0)f()f，(2)2()nn从而，有 ，(21)0(,1)kf()22)4k12(kii12()2()ki。212!,)k综上，有。212()()!()001kn nkff5 利用Taylor级数的展开式求导数利用Taylor展开的唯一性，可以方便地求出函数在某一点 的高阶导数。如0x果将 按 的冥展开成冥级数，那么它必定是 的Taylor展开式()fx0) ()f（1）()0()!nnfxfx因此，若一旦得到展开式 （2）00()()nnfxax比较（1）和（2）式，则有。()0!nnfxa例3.5.1 求 在 处的 阶导数rct|1)0n解 ，21()fx20(nx(|)6将上式从0积分到 ，可得x（3）210()nnf(|)x又 （4）()0()!nnffx比较（3）和（4）式 可得。()(1)2!10kn kf n时时
