1、新课,3.1 空间向量及其运算,第三章 空间向量与立体几何,人教 A 版选修 2-1,3.1 空间向量及其运算,3.1.1 空间向量及其加减运算,3.1.2 空间向量的数乘运算,3.1.3 空间向量的数量积运算,3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示,新课,3.1.5 空间向量运算的坐标表示,汕头市第一中学数学组杨小丽老师,3.1.2 空间向量的数乘运算,3.1 空间向量及其运算,新课,平面几何,空间向量,重点: 向量的数乘运算、共线向量定理和共面向量定理. 难点: 空间直线、空间平面的向量参数方程及其应用，会利用共线向量定理和共面向量定理及它们的推论证明空间三点共线与四点共面问题. 关键
2、: 把平面向量的概念、表示、运算及运算律通过类比推广到空间向量,重点突出类比的思想方法.,汕头一中数学组杨小丽,汕头一中数学组杨小丽,从建筑物上找向量的影子,新课,汕头一中数学组杨小丽,复习回顾：一 、平面向量：1、相关概念,定义：,既有大小又有方向的量.,一 、平面向量：2、平面向量的加法、减法与数乘运算,向量加法的三角形法则,一 、平面向量：,3、平面向量的运算律,4、平面向量的加法的推广,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；,（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.,（1）平面向量的基本定理:,设 和 是同一平面内的两个不共
3、线向量，那么对该平面内的任何一个向量 ， 有且只有一对实数 , 使,（2）正交分解:,把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做,把向量正交分解.,5、平面向量的基本定理,二 、空间向量：,1、空间向量的相关概念,2、空间向量的加减法和运算律,减法: 三角形法则,加法: 三角形法则或平行四边形法则,运算律:,加法交换律,加法结合律,C,A,B,D,A,B,C,D,平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.,记做 ABCD - A1B1C1D1， 它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱,二 、空间向量：,3、平行六面体,O,A,B,C,空
4、间向量的数乘,空间向量的加减法,新课：一 、空间向量的数乘运算及运算律,实数 与空间向量 a 的积是一个向量，记作 a，并规定： a 的长度 | a | = | | | a |； 当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时， a = 0,1、定义：,设 、 为实数，则 ( a ) = ( ) a ； ( + ) a = a + a； ( a + b ) = a + b .,2、运算律：,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向
5、的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,交换律,结合律,数乘分配律,交换律,数乘分配律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,数乘:ka,k为正数,负数,零,结合律,新课：一 、空间向量的数乘运算及运算律,如图, 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列各表达式，并在图中标出化简结果的向量：,P课本 97 习题 3.1 A 组 第 1 题,例题:,G,M,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的 平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量.,如图, 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列各表达式，并在图中标出化简结果的向量：,P课本 97 习题
6、 3.1 A 组 第 1 题,例题:,P课本 85 探究,A,B,C,D,D,C,B,A,2. 如图, 已知正方体 ABCD - ABCD, 点 E、F 分别是上底面 AC 和侧面 CD 的中心. 求下列各式中 x、 y 的值:,E,例题:,P课本 89 练习 第 2 题,F,A,B,C,D,D,C,B,A,2. 如图, 已知正方体 ABCD - ABCD, 点 E、F 分别是上底面 AC 和侧面 CD 的中心. 求下列各式中 x、 y 的值:,例题:,P课本 89 练习 第 2 题,A,B,C,D,D,C,B,A,E,2. 如图, 已知正方体 ABCD - ABCD, 点 E、F 分别是上底
7、面 AC 和侧面 CD 的中心. 求下列各式中 x、 y 的值:,例题:,P课本 89 练习 第 2 题,A,B,C,D,D,C,B,A,E,2. 如图, 已知正方体 ABCD - ABCD, 点 E、F 分别是上底面 AC 和侧面 CD 的中心. 求下列各式中 x、 y 的值:,例题:,P课本 89 练习 第 2 题,A,B,C,D,D,C,B,A,2. 如图, 已知正方体 ABCD - ABCD, 点 E、F 分别是上底面 AC 和侧面 CD 的中心. 求下列各式中 x、 y 的值:,例题:,P课本 89 练习 第 2 题,F,O,A,B,结论： 空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用
8、同一平面内的 两条有向线段表示；,凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍 适用于它们.,1.下列说法正确的是 ( ) A. 平面内的任意两个向量都共线; B. 空间的任意三个向量都不共面; C. 空间的任意两个向量都共面; D. 空间的任意三个向量都共面.,练习:,C,O,A,B,思考：它们确定的平面是否唯一？,思考：空间任意两个向量是否可能异面？,结论： 空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的 两条有向线段表示；,凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍 适用于它们.,不唯一.,规定: 零向量与任意向量共线.,1. 共线向量的定义: 如果表示空间向量
9、的有向线段所在直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量( 或平行向量 ), 记作: .,二、共线向量,2. 共线向量定理:对空间任意两个向量 ( ), 的充要条件是存在唯一实数 , 使 .,或 对空间任意两个向量 ( ), 的充要条件是存在唯一实数 , 使 .,注意:,?,二、共线向量,1. 共线向量的定义:,3. 共线向量定理的推论:如果直线 l 为经过已知点 A 且平行已知非零向量 的直线,那么, 对空间任意一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在唯一实数 t, 使 , 其中向量 叫做直线 l 的方向向量.在 l 上取 , 则, ,O,A,P,l,O,O,、 称为空间直线 l
10、 的向量表示式.,B,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.,注意:,二、共线向量,3. 共线向量定理的推论:如果直线 l 为经过已知点 A 且平行已知非零向量 的直线,那么, 对空间任意一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在唯一实数 t, 使 , 其中向量 叫做直线 l 的方向向量.在 l 上取 , 则, ,O,A,P,l,、 称为空间直线的向量表示式.,B,点 P、A、B 共线.,O,A,P,l,4. 空间直线的向量表示式:,B,或,其中 .,2. 对于空间任意一点 O，下列命题正确的是 ( ) A. 若 ，则 P、A、B 共线; B. 若 ，则 P 是 AB 的中点
11、; C. 若 ，则 P、A、B 不共线; D. 若 ，则 P、A、B 共线.,练习:,A,O,A,P,l,4. 空间直线的向量表示式:,B,或,其中 .,练习:,D,O,A,P,l,4. 空间直线的向量表示式:,B,或,其中 .,若 P 为 A、B 中点, 则 .,练习:,4. 已知 A、B、P 三点共线，O 为空间任意一点，且，则 的值是 _.,1,5. 线段中点的向量公式:,1. 共面向量的定义: 平行于同一平面的向量, 叫做共面向量.,注意： 空间任意两个向量是共面的， 但空间任意三个向量就不一定共面.,三、共面向量,我们把不共线的向量 ， 叫做,表示这一平面内所有向量的一组基底.,同一
12、平面可以有不同的基底.,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ， 存在一个唯一的有序实数组 ( x，y，z)，使.,2. 空间向量的基本定理及其推论:,A,B,D,C,O,E,1. 共面向量的定义:,三、共面向量,任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一.,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ， 存在一个唯一的有序实数组 ( x，y，z)，使.,2. 空间向量的基本定理及其推论:,注意:,推论:,设 O、A、B、C 是不共面的四点, 则对空间任一点 P， 存在一个唯一的有序实数组 ( x，y，z)，使.,P课本 93,注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一
13、个基底.,叫做空间的一个基底.,叫做基向量.,P课本 94 练习 第 1、 2 题,三、共面向量,1. 共面向量的定义:,M,N,P,例题:,3. 如图, 已知 M、 N 分别是四面体 OABC 的边 OA、BC 的中点，P、 Q 是 MN 的三等分点，用基底 表示 和 .,Q,P课本 94 例4,3. 共面向量定理: 如果两个向量 不共线, 则向量 与向量 共面的 充要条件是存在唯一的有序实数对 ( x, y ), 使 .,三、共面向量,2. 空间向量的基本定理及其推论:,1. 共面向量的定义:,空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在唯一的有序实数对 ( x, y ), 使 ;
14、或对空间任意一点 O, 有 . ,4. 共面向量定理的推论:, 称为空间平面 ABC 的向量表示式.,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.,注意:,3. 共面向量定理:,三、共面向量,2. 空间向量的基本定理及其推论:,1. 共面向量的定义:,对空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式 （其中 ）的四点 P、A、B、C 是否共面？,思考:,P课本 88 思考? 第 2 问,分析:, P、A、B、C 四点共面.,4. 如图，已知平行四边形 ABCD，从平面 AC 外一点 O 引向量 , , , .求证： E、F、G、H 四点共面；,例题:,P课本 88 例
15、1,证明：,(1) 四边形 ABCD 为平行四边形, E、F、G、H 四点共面.,例题:,P课本 88 例 1,4. 如图，已知平行四边形 ABCD，从平面 AC 外一点 O 引向量 , , , .求证： 平面 EG / 平面 AC.,证明：, 平面 EG / 平面 AC.,四、本节小结,一 、空间向量的数乘运算及运算律,1、定义：,2、运算律：,1. 共线向量的定义:,二、共线向量,3. 共线向量定理的推论:,5. 线段中点的向量公式：,3. 共面向量定理:,三、共面向量,2. 空间向量的基本定理及其推论:,1. 共面向量的定义:,4. 共面向量定理的推论:,结束,2. 共线向量定理:,4.
16、 空间直线的向量表示式：,P课本 94 练习 第 3 题,P课本117 复习参考题 A 组 第 1、2 题,五、作业布置,P课本 86 练习 第 3 题,P课本 89 练习 第 1、3 题,P课本 97 - 98 习题 3.1 A 组 第 2、11 题,结束,B,练习:,5. 如图, 已知空间四边形 ABCD，连结 AC、BD, E、F 分别是BC、CD 的中点. 化简下列各表达式，并标出化简结果的向量：,P课本 89 练习 第 1 题,结束,A,B,E,C,F,D,练习:,P课本 89 练习 第 1 题,5. 如图, 已知空间四边形 ABCD，连结 AC、BD, E、F 分别是BC、CD 的
17、中点. 化简下列各表达式，并标出化简结果的向量：,结束,练习:,P课本 89 练习 第 1 题,5. 如图, 已知空间四边形 ABCD，连结 AC、BD, E、F 分别是BC、CD 的中点. 化简下列各表达式，并标出化简结果的向量：,结束,B,A,C,O,A/,B/,C/,O/,G,参考答案：,P课本 94 练习 第 3 题,练习:,结束,6. 已知 A、B、M三点不共线，对于平面 ABM 外的任一点 O，确定在下列各条件下，点 P 是否与 A、B、M 一定共面？,空间四点 P、M、A、B 共面,存在唯一的有序实数对 ( x, y ), 使 ;,分析:,共面,不共面,练习:,结束,7. 已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点 P 是否与 A、B、C共面？,练习:,共面,不共面,结束,练习:,D,结束,9.对于空间中的三个向量 , 它们一定是 ( )A. 共面向量; B. 共线向量;C. 不共面向量 ; D. 既不共线又不共面向量.,10.已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任意一点 O，有则 x 的值为 ( ),练习:,A,D,结束,
