1、习题课利用导数研究函数的单调性,1.已知函数单调性求参数取值范围 (1)解题步骤: 函数在区间a,b上单调递增(减)f(x)0(f(x)0)在区间a,b恒成立利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题对等号单独验证 (2)注意事项: 一般地,要检验参数的取值能否使f(x)恒等于0,若f(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f(x)=0,则由f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数取值范围为最后解. (3)解决该类问题常用的有关结论: mf(x)恒成立mf(x)max; mf(x)恒成立mf(x)min.,2.解析式中含参数的函数单调区间的求法 函数解析式中含有参数时,讨论其单调
2、性(或求其单调区间)问题,往往要转化为解含参数的不等式问题,这时应对所含参数进行适当的分类讨论,做到不重不漏,最后要将各种情况分别进行表述. 3.利用导数证明不等式 利用导数证明不等式,是导数应用的一个重要方面,其证明思路是运用构造函数的方法.一般地,要证明不等式f(x)g(x)在区间I上成立,则可构造函数h(x)=f(x)-g(x),通过h(x)在区间I上的符号,先判断出函数h(x)的单调性,再通过函数h(x)在区间I上的一个初始值,即可证明不等式.,【做一做3】 若函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增,则实数a的取值范围为 .,【做一做4】 求证:当x0时,exx+1. 证明:
3、令h(x)=ex-x-1,h(x)=ex-1. x0,h(x)0. h(x)在(0,+)内单调递增,即h(x)h(0)=0, 故exx+1.,探究一,探究二,探究三,规范解答,已知函数的单调性求参数的值或范围,分析:对于(1)和(2),可转化为f(x)0或f(x)0在相应区间上恒成立进行求解,但要注意对端点值的检验;对于(3),可先求f(x)的递增区间,再令所给区间是其子集即可.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟1.已知函数单调性求参数取值范围,若参数在函数解析式中,则可转化为不等式恒成立问题求解.一般地,如果函数f
4、(x)在区间I上单调递增(递减),那么等价于不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立,然后可借助分离参数等多种方法求出参数的取值范围.在利用这种方法求解时,还应注意,得到参数的取值范围后,要检验端点处的参数值能否使f(x)恒等于0,若恒等于0,应舍去这个端点值,若f(x)不恒等于0,则其符合题意. 2.已知函数单调性求参数取值范围,如果参数出现在区间的端点中,那么可以先求出函数的单调区间,再令给定区间是函数相应单调区间的子区间,建立关于参数的不等式,从而求出参数取值范围.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练1(1)若函数f(x)=ax-ln x在区间2,10上单调递减,则实数a的
5、取值范围是( ),(2)若函数f(x)=x3-mx2+2m2-5的单调递减区间是(-1,0),则实数m= .,探究一,探究二,探究三,规范解答,分类讨论求含参数函数的单调区间 【例2】 已知函数f(x)= x2+aln x(aR,a0),求f(x)的单调区间. 分析:先确定函数定义域,再求导数,最后结合定义域以及参数a的取值范围,讨论f(x)的符号,从而确定函数的单调区间.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟当函数解析式中含有参数时,求其单调区间问题往往就要转化解含参数的不等式问题,这时应对所含参数进行科学合理的分类讨论,做到不重不漏,最后要将各种情况
6、综合进行表述.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练2求函数f(x)=ax-ex(aR)的单调区间. 解:函数定义域为R,f(x)=a-ex. 当a0时,f(x)=a-ex0时,由f(x)=a-ex0得xln a,即函数f(x)在(-,ln a)内单调递增,在(ln a,+)内单调递减. 综上所述,当a0时,f(x)的单调递减区间是(-,+),无单调递增区间; 当a0时,f(x)的单调递增区间是(-,ln a),单调递减区间是(ln a,+).,探究一,探究二,探究三,规范解答,利用导数证明不等式,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟利用导数证明不等式的常见形式与证明步骤 1.常见
7、形式: 已知x(a,b),求证:u(x)v(x). 2.证明步骤: (1)将所给的不等式移项,构造函数f(x)=u(x)-v(x),转化为证明函数f(x)0; (2)在x(a,b)上,判断f(x)的符号; (3)若f(x)0,说明f(x)在区间(a,b)内是增函数,只需将所给的区间的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)0即可;若f(x)0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)0即可.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,利用导数研究函数单调性的综合问题
8、【典例】 若函数f(x)=x2+2x+aln x(aR)在区间(0,1)内为单调函数,求实数a的取值范围. 【审题策略】 函数为单调函数,应分为两种情况:单调递增或单调递减,分别进行求解,合并即得a的取值范围. 【规范展示】,探究一,探究二,探究三,规范解答,【答题模板】 第1步:确定定义域,求导数. 第2步:对导数进行转化. 第3步:求当函数在(0,1)内单调递增时,a的取值范围. 第4步:求当函数在(0,1)内单调递减时,a的取值范围. 第5步:得到a的取值范围.,探究一,探究二,探究三,规范解答,失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下: (1)没有事先确定函数的定义域,从而
9、导致无法对导数进行转化,或即使求出了定义域,但想不到对导数进行转化,导致问题复杂化,无法继续求解. (2)对“单调函数”理解不全面,只求解函数为增函数这一种情况,导致漏解. (3)利用导数转化为不等式恒成立问题求解时,相应函数的最值求解错误,导致结果出错.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练若函数f(x)=2x2-ln x在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( ),1.(2016河北廊坊高二期末)函数f(x)=(2a-1)ln x-x在(0,1)内为增函数,则实数a的取值范围是( ) A.(-,1) B.(-,1 C.1,+) D.(0,1 解析:f(x)=(2a-1)ln x-x, . 若f(x)在(0,1)内为增函数,则(2a-1)-x0在x(0,1)时恒成立, 即2a-1x,又x(0,1),所以2a-11,即a1.故选C. 答案:C 2.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是 . 解析:由题意知,y=3x2-2ax, 3x2-2ax0在区间(0,2)内恒成立, a x在区间(0,2)上恒成立,故a3. 答案:3,+),
