1、3.1.2空间向量的数乘运算,一、空间向量的数乘运算,2）大小：,关于实数与向量的积 的理解： 我们可以把向量a的长度扩大（当 1时） 也可以缩小（当 0时），也可以改 变向量a的方向（当 0时）。,设 为实数，那么：,3、实数与向量的积满足的运算律：,（结合律）,（分配律）,（分配律）,A,B,E,C,F,D,练习1,在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简,书本P89练习、1,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y.,E,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,E,在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求
2、下列各式中的x,y.,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,E,在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y.,完成课本P89、3 P97 A组1（3）（4）、2,问题：平面向量中，,的充要条件是：存在唯一,的实数 ，使,能否推广到空间向量中呢？,零向量与任意向量共线.,作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题,2、共线向量定理: 对空间任意两个向量 ， 。 存在实数,使,注意： 向量共线定理是证明两直线平行的常用方法，但是要注意向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括共线的情况，而向量平行包括共线的情况，（平行向量与共线向量是一样的）如果要用此定理判断 所在直线平
3、行，还需要说明 上有一点不在 上。,如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线，,对空间任意一点O,所以,即,若在l上取 则有,和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定. 由此可判断空间任意三点共线。.,l,A,B,P,O,若点P是直线l上任意一点，则,由 知存在唯一的t, 满足,因为,所以,特别的，当t = 时，,则有,A,B,P,O,进一步，,t,1-t,P点为A,B 的中点,练习1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： A.若 ，则P、A、B共线 B.若 ，则P是AB的中点 C.若 ，则P、A、B不共线 D.若 ，则P、A、B共线,A、B、P
4、三点共线,A,O,A,B,P,三、三、1、共面向量:,共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量,既可能共面，也可能不共面,如果空间向量 与两不共线向量 ， 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有,那么什么情况下三个向量共面呢？,反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位 置关系？,C,2.共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线，,则向量 与向量 ， 共面的充要条件是,存在实数对x,y使,推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有 序实数对x, y,使,C,22,对空间任一点O,有,填空：,1-x-y,x,y,C,式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.,作用：由此可判断空间任意四点共面,P与A,B,C共面,小结,共面,
