1、3.1 数系的扩充和复数的概念,3.1.1 数系的扩充和复数的概念,1.了解数系的扩充过程. 2.掌握复数的分类,理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法.,1.复数的概念及代数表示法 (1)定义:我们把集合C=a+bi|a,bR中的数,即形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所成的集合C叫做复数集.规定ii=i2=-1. (2)表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR),这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数z=a+bi,以后不作特殊说明,都有a,bR,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.,2.复数相等的充要条件 在复
2、数集C=a+bi|a,bR中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,dR),我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c,且b=d.,名师点拨应用两个复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两边的复数写成代数形式,即分离实部与虚部,然后列出等式求解.,(2)集合表示如下.,【做一做3-1】 下列命题中的假命题是( ) A.自然数集是非负整数集 B.实数集与复数集的交集为实数集 C.实数集与虚数集的交集是0 D.纯虚数集与实数集的交集为空集 解析:本题主要考查复数集合的构成,即复数的分类.复数可分为实数和虚数两大部分,虚数中含有纯虚数,因此,实数集与虚数集没有公共元素,故选项C中的命题是
3、假命题. 答案:C,名师点拨实数集R是复数集C的真子集,即RC. 至此,我们学过的有关数集的关系为 N*NZQRC.,【做一做3-2】 “a=0”是“复数z=a+bi(a,bR)为纯虚数”的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由复数的概念知,若a+bi(a,bR)为纯虚数,则必有a=0成立,故为必要条件;但若a=0,且b=0,则a+bi=0为实数,故不是充分条件.故选B. 答案:B,1.如何理解虚数单位i的性质? 剖析:(1)i2=-1. (2)i与实数之间可以运算,亦适合加法、减法、乘法的运算律. (3)因为i20与实
4、数集中a20(aR)矛盾,所以实数集中的一些结论在复数集中不再成立. 拓展:复数集中不全是实数的两数不能比较大小,如i和0.,2.如何应用复数的分类? 剖析:(1)复数写成代数形式z=a+bi(a,bR)后,才可以根据实部、虚部进行分类. (2)各类特殊的复数可由实部、虚部所满足的条件确定,应用时由此列出方程或不等式(组)即可. (3)准确地把握复数集内各子集间的关系,有利于对复数概念的完整理解.,3.两个复数相等的充要条件 剖析:若z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则z1=z2a=c,且b=d.利用这一结论,可以把复数问题转化为实数问题进行解决,并且一个复数等式可以转化为两
5、个实数等式,通过解方程组得到解决.,题型一,题型二,题型三,复数的概念和性质 【例1】 判断下列说法是否正确. (1)当zC时,z20; (2)若aR,则(a+1)i是纯虚数; (3)若ab,a,bR,则a+ib+i.,分析:解答本题时,要严格按照复数的有关概念和性质进行. 解:(1)错误.当且仅当zR时,z20成立. 若z=i,则z2=-10. (2)错误.当a=-1时,(a+1)i=(-1+1)i=0i=0R. (3)错误.两个虚数不能比较大小.,题型一,题型二,题型三,反思数集从实数集扩充到复数集后,某些结论不再成立. 如两数大小的比较,一个数的平方是非负数等.,【变式训练1】 给出下列
6、命题:b=0复数z=a+bi(a,bR)为实数;a+(b-1)i=3-i(a,bR)a=3,b=-1;-1的平方等于i. 其中正确命题的序号是 . 解析:只有正确;中应得a=3,b=0;中(-1)2=1i.答案:,题型一,题型二,题型三,复数相等的充要条件 【例2】 已知集合M=1,(m2-2m)+(m2+m-2)i,P=-1,1,4i,若MP=P,求实数m的值.,分析:,题型一,题型二,题型三,反思1.一般地,两个复数只能相等或不相等,不能比较大小. 2.两个复数相等的充要条件是求复数及解相关方程或不等式的主要依据,是把复数问题实数化的桥梁.,【变式训练2】 (1)若5-12i=xi+y(x
7、,yR),则x= ,y= ; (2)已知x2+y2-6+(x-y-2)i=0,求实数x,y的值. (1)解析:由复数相等的条件知x=-12,y=5. 答案:-12 5,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,复数的分类 【例3】 当实数m为何值时,复数z= 2 +6 +(m2-2m)i为 (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数.,分析:,题型一,题型二,题型三,反思利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组),求解参数时,考虑问题要全面.,【变式训练3】 设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当实数m为何值时, (1)z是实数; (2)z是纯虚数.,
