1、3.2 复数代数形式的四则运算,3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义,1.掌握复数代数形式的加、减法运算法则. 2.理解复数代数形式的加、减法运算的几何意义.,1.复数的加、减法运算法则及运算律 (1)复数的加、减法运算法则. 设复数z1=a+bi(a,bR),z2=c+di(c,dR),则z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i. (2)复数加法满足的运算律. 对任意z1,z2,z3C,满足交换律:z1+z2=z2+z1,结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,名师点拨两个复数
2、相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i(a,b,c,dR).,【做一做1-1】 已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于( )A.8i B.6 C.6+8i D.6-8i 解析:z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=(3+3)+(4-4)i=6,故选B. 答案:B 【做一做1-2】 若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( ) A.0 B.2i C.6 D.6-2i 解析:z+i-3=3-i, z=(3-i)-(i-3)=(3+3)+(-i-i)=6-2i,故选D. 答案:D,2.复数加法的几何意义,归纳总结1
3、.因为复数具有数与形的双重性,因此复数加法也应从数与形两个方面来领会.代数形式上,复数加法类似于多项式加法的合并同类项;几何形式上,复数加法类似于向量加法. 2.两个复数的和是一个确定的复数.,A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i,答案C,3.复数减法的几何意义,1.如何理解复数代数形式的加、减法运算法则? 剖析:复数代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算,其合理性可以从以下几点理解: (1)当复数的虚部为零时,与实数的加、减法法则一致. (2)实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立. (3)两个复数的和(差)是唯一确定的复数. (4)可以推广到多个复数进行加、
4、减法运算.,拓展:复数加法运算律的证明.,设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,其中a1,b1,a2,b2,a3,b3R. 交换律:z1+z2=z2+z1.,证明:z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i, z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i, 又a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1, z1+z2=z2+z1. 结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,证明:(z1+z2)+z3 =(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i) =(a1+a2)+(b1+b
5、2)i+(a3+b3i) =(a1+a2)+a3+(b1+b2)+b3i, z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i) =(a1+b1i)+(a2+a3)+(b2+b3)i =a1+(a2+a3)+b1+(b2+b3)i, 又(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3), (b1+b2)+b3=b1+(b2+b3),(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,2.如何理解复数减法运算的几何意义? 剖析:复数的减法也可用向量来进行运算,即可应用平行四边形法则和三角形法则. 设 与复数a+bi(a,bR)对应, 1 与复数c+di(c,dR)对应.如图所示,以 为一
6、条对角线, 1 为一边作平行四边形,那么这个平行四边形的另一边 2 所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i对应.,这是因为 1 与 2 平行且相等,所以向量 1 也与这个差对应,实际上,两个复数的差z-z1(即 1 )与连接两个复数所对应的向量终点并指向被减向量的向量对应,即是“首同尾连向被减”,这就是复数减法的几何意义.,拓展:由复数加减法的几何意义可得如下结论: |z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|.,题型一,题型二,题型三,复数的加减运算 【例1】 计算: (1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i); (2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i); (3)(5-6i
7、)+(-2-2i)-(3+3i).,分析:根据复数的加、减法法则进行计算.,解:(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i) =(3-4-3)+(-5-1-4)i =-4-10i. (2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i) =(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i. (3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=(5-2-3)+-6+(-2)-3i=-11i.,题型一,题型二,题型三,反思复数的加、减法法则的记忆: 方法一:复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减. 方法二:把i看作一个字母,类比多项式加减运算中的合并同类项.,【变式训练1】 (1)计算:(1+2i)+(3
8、-4i)-(5+6i); 5i-(3+4i)-(-1+3i). (2)若复数z满足z+|z|+3+2i=5-6i,求复数z.,题型一,题型二,题型三,复数加减运算的几何意义【例2】 在复平面内,点A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长.,分析:,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算. 2.利用向量进行复数的加减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则. 3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复
9、数问题提供了可能.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】,如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i. 求:(1) 对应的复数; (2)对角线 对应的复数; (3)对角线 对应的复数.,题型一,题型二,题型三,解:(1)因为 = ,所以 对应的复数为-3-2i. (2)因为 = , 所以对角线 对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为对角线 = + , 所以对角线 对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.,题型一,题型二,题型三,综合应用 【例3】 设z1,z2C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2 ,求
10、|z1-z2|. 分析:方法一:设出z1,z2的代数形式,利用复数的模的定义求解; 方法二:利用复数加减运算的几何意义求解.,解:(方法一)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR). 由题意,知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2, 2ac+2bd=0. |z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2 =a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2. |z1-z2|= 2 .,题型一,题型二,题型三,(方法二)设复数z1,z2,z1+z2分别对应向量 1 , 2 , . |z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2 , 平行四边形OZ1ZZ2为正方形. |z1
11、-z2|=| 2 1 |=| |= 2 .,反思1.解决复数问题时,设出复数的代数形式z=x+yi(x,yR),利用复数相等或复数的模的概念,列出方程或方程组求实部、虚部,可把复数问题实数化. 2.利用复数加减运算及模的几何意义,应用数形结合的思想,可以直观简捷地解决复数问题. 方形.,题型一,题型二,题型三,3.掌握以下常用结论. 在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点, (1)四边形OACB为平行四边形; (2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形; (3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形; (4)若|z1|=|z2|,且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正,【变式训练3】 已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|,z1+z2=2i,求z1,z2.,题型一,题型二,题型三,
