1、专题九 阅读理解,随着中国学生核心素养的提出,各个学科都越来越重视学生文化底蕴、创新能力的培养,数学学科也不例外.而阅读理解就是发展文化底蕴的一个重要途径,同时思维创新又是以阅读理解为前提的. 很多人狭义地认为数学学习就是计算、证明,其实解决数学问题一定是以通过阅读对问题准确理解为前提.正所谓“读题三遍,题意自见”.只有认真阅读,才能真正理解题意,否则就不可能准确地解答问题,更谈不上培养创新能力.2017年第16题( “盈不足术”问题 )、第19题( 合情推理问题 )、2018年第16题等都是很好的例证.这里有个教训告诉大家,2017年第19题得分率很低( 合肥市区考生得分率仅为0.482 )
2、,这反映出我们平时教学在这方面存在很大问题,必须引起足够的重视.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,古典数学文化之阅读理解 典例1 ( 2018安徽第16题 )孙子算经中有这样一道题,原文如下: 今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽.问:城中家几何? 大意为: 今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完.问:城中有多少户人家? 请解答上述问题. 【解析】设城中有x户人家,根据等量关系建立方程求解即可. 【答案】 设城中有x户人家,根据题意得x+ x=100, 解得x=75. 答:城中有75户人家.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,【名
3、师点拨】 这类试题大多取材于我国古代数学典籍和古算题,所用知识多是列方程( 组 )解应用题,主要目的是传承中国经典数学文化,体现文化自信.解决的策略是古文、现代文对照阅读,正确理解题意后再解答,还可以通过检验,验证其正确性.这样的试题安徽中考连续考查了两年( 2017、2018 ),应引起我们高度重视.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,命题拓展 考向 数学经典中的一元二次方程问题 我国数学经典著作九章算术中有一道“引葭赴岸”名题,原文如下: 今有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深,葭长各几何? 译文为:有一正方形池塘,边长为1丈.有一棵芦苇生在它的正中央,高出水面
4、部分有1尺长.把芦苇拉向岸边,恰好碰到岸沿.问水深和芦苇长各多少?( 注:尺和丈是我国古代的长度单位,1丈=10尺 ) 请解答上述问题. 【答案】设水深为x尺,则( x+1 )2=x2+52,解得x=12, x+1=13. 答:水深为12尺,芦苇长为13尺.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,【名师点拨】 我国古代数学文化博大精深,不仅有“鸡兔同笼”“盈不足术”这样的方程( 组 )问题,还有勾股定理、杨辉三角、圆周率等著名数学问题,注意学习这些古典数学文化,传承源远流长的中华文明.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,运算创新之阅读理解 典例2 定义运算ab=a( 1-b ),下列给
5、出了关于这种运算的几点结论: 2( -2 )=6;ab=ba;若a+b=0,则( aa )+( bb )=2ab;若ab=0,则a=0. 其中正确结论序号是 .( 请在横线上填上你认为所有正确结论的序号 ) 【解析】2( -2 )=2( 1+2 )=6;ab=a( 1-b ),ba=b( 1-a ),abba;aa=a( 1-a ),bb=b( 1-b ),( aa )+( bb )=a+b-( a2+b2 )=a+b-( a+b )2+2ab,又a+b=0,故成立;ab=0,即a( 1-b )=0,则a=0或b=1.故正确. 【答案】 【名师点拨】 本题正确理解ab=a( 1-b )这个运算
6、法则是关键,然后还要注意代数式运算及有理数运算的问题.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,图形创新之阅读理解 典例3 ( 2013安徽第23题 )我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1,四边形ABCD即为“准等腰梯形”,其中B=C. ( 1 )在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形( 画出一种示意图即可 ); ( 2 )如图2,在“准等腰梯形”ABCD中,B=C,E为边BC上一点,若ABDE,AEDC,求证: ; ( 3 )在由不平行于BC的
7、直线AD截PBC所得的四边形ABCD中,BAD与ADC的平分线交于点E,若EB=EC,请问当点E在四边形ABCD内部时( 即图3所示情形 ),四边形ABCD是不是“准等腰梯形”,为什么?若点E不在四边形ABCD内部时,情况又将如何?写出你的结论.( 不必说明理由 ),类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,【解析】先正确理解“准等腰梯形”这个新图形的含义,其实就是有两个角相等的四边形,接着就转化为一般的几何考题了.( 1 )根据B=C和“准等腰梯形”的定义即可画出符合要求的图形;( 2 )证明三角形相似,即可得出对应边的比例关系;( 3 )根据对所给概念的理解,综合运用角平分线、等腰三角形和全
8、等三角形的知识来证明.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,【答案】 ( 1 )如图所示( 画出其中一种即可 ).( 2 )AEDC, AEB=C, ABDE, B=DEC, ABEDEC,又B=C,ABE为等腰三角形,AB=AE.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,( 3 )过点E分别作EFAB,EGAD,EHCD,垂足分别为F,G,H,如图4. AE平分BAD, EF=EG, 又ED平分ADC, EG=EH, EF=EH, 又EB=EC,RtBFERtCHE, 3=4, 又BE=EC,1=2, 1+3=2+4,即ABC=DCB. 又四边形ABCD为AD截某三角形所得,且AD不平行
9、于BC, 四边形ABCD为“准等腰梯形”.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,当点E不在四边形ABCD内部时,有两种情况: ( )如图5,当点E在四边形ABCD的边BC上时, 同理可证,RtEFBRtEHC, B=C, 四边形ABCD为“准等腰梯形”. ( )如图6,当点E在四边形ABCD的外部时, 同理可证,RtEFBRtEHC, EBF=ECH, BE=CE,3=4, EBF-3=ECH-4, 即1=2, 四边形ABCD为“准等腰梯形”.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,【名师点拨】 正确理解新图形的本质特征是解这类题目的关键,如本题的所谓“准等腰梯形”即为有两个角相等的四边
10、形,当然,正确理解是建立在认真耐心阅读基础上的.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,规律创新之阅读理解 典例4 ( 2017安徽第19题 )【阅读理解】,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数( 如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n ),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 .由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3( 12+22+32+n2 )= .因此,12+22+32+n2= .,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型1,类型2,类型3,类型4,类型
11、5,【名师点拨】 提醒三点:1.耐心阅读才能正确理解;2.数与形结合阅读并理解;3.阅读时应用心思考,总结规律.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,函数创新之阅读理解 有关二次函数与阅读理解相联系的问题详见本书专题八 函数应用的典例8.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1.( 2018湖北宜昌 )1261年,我国南宋数学家杨辉用下图中的三角形解释二项和的乘法规律,比欧洲的相同发现要早三百多年,我们把这个三角形称为“杨辉三角”.请观察图中的数字排列规律,则a,b,c的值分别为 ( )A.a=1,b=6,c=15 B.a=6,b=15,c=20 C.a=15,b=
12、20,c=15 D.a=20,b=15,c=6 【解析】观察“杨辉三角”中的数字规律,容易发现三角形上的3个数的规律.,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.( 2018山东潍坊 )在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图,在平面上取定一点O称为极点;从点O出发引一条射线Ox称为极轴;线段OP的长度称为极径.点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度( 规定逆时针方向转动角度为正 )来确定,即P( 3,60 )或P( 3,-300 )或P( 3,420 )等,则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是 ( )A.Q( 3
13、,240 ) B.Q( 3,-120 ) C.Q( 3,600 ) D.Q( 3,-500 ) 【解析】P( 3,60 )或P( 3,-300 )或P( 3,420 ),由点P关于点O成中心对称的点Q可得:点Q的极坐标为( 3,240 ),( 3,-120 ),( 3,600 ).,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.( 2018广州 )九章算术是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚( 每枚黄金重量相同 ),乙袋中装有白银11枚( 每枚白银重量相同
14、),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13辆( 袋子重量忽略不计 ),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得: ( ),D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.( x-1 )20,x2-2x+10,即x2+12x.由此可得结论:若x为实数,则x2+12x.运用这个结论求代数式 的最大值为 ( ),B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.( 2018山东菏泽 )一组“数值
15、转换机”按下面的程序计算,如果输入的数是36,则输出的结果为106,要使输出的结果为127,则输入的最小正整数是 .,15,【解析】设输出结果为y,根据题意得y=3x-2.令y=127,得x=43;令y=43,得x=15;令y=15,得 ,不符合条件,故输入的最小正整数是15.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点A( 0,4 ),点B是x轴正半轴上的整点,记AOB内部( 不包括边界 )的整点个数为m.当m=3时,点B的横坐标的所有可能值是 ;当点B的横坐标为4n( n为正整数 )时,m= . (
16、 用含的代数式表示 ),3或4,6n-3,【解析】当点B的横坐标为3或4时,AOB内部( 不包括边界 )的整点个数为3个: ( 1,1 ),( 1,2 ),( 2,1 ).当点B的横坐标为4n时,AOB为长为4n,宽为4的矩形的一半,该矩形内部横向有3行,纵向有( 4n-1 )列,AB为对角线,与3条横线有3个相交的整点,故AOB内部( 不包括边界 )的整点个数有m= =6n-3( 个 ).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方
17、形IJKL的边长为2,且IJAB,则正方形EFGH的边长为 .,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.我们常用的数是十进制数,如4657=4103+6102+5101+7100,数要用10个数码( 又叫数字 ):0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在电子计算机中用的二进制,只要两个数码:0和1,如二进制中110=122+121+020等于十进制的数6,110101=125+124+023+122 +021+120等于十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数? 解:10101
18、1=122+024+123+022+121+120=32+0+8+0+2+1=43.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.( 2018甘肃武威 )九章算术是中国古代数学专著,在数学上有其独到的成就,不仅最早提到了分数问题,也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题,原文如下:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何?译文为:现有若干人合伙出钱买鸡,如果每人出9文钱,就会多11文钱;如果每人出6文钱,又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少?请解答上述问题.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1
19、2.【阅读理解】 请你先学习一种化简“21+22+23+2n( n为正整数 )”式子的方法. 设s=21+22+23+2n,则2s=22+23+24+2n+1, -得s=2n+1-21,即21+22+23+2n=2n+1-2( n为正整数 ). 【规律探究】 在AOB的两边OA,OB之间插入1条射线,得到图1,这时图1中共有( 2+1=3 )条射线;将图1中的每相邻的两条射线之间都插入1条射线,得到图2,这时图2中共有( 2+1+2=5 )条射线;将图2中的每相邻的两条射线之间都插入1条射线,得到图3,这时图3中共有( 2+1+2+4=9 )条射线;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
20、11,12,13,将图3中的每相邻的两条射线之间都插入1条射线,得到图4,这时图4中共有( 2+1+2+4+ = )条射线;图n中共有 射线.( 用含n的式子表示 ) 【解决问题】 经过多少次上述的操作,可使图中共有2018条射线?为什么? 解:【规律探究】8;17;3+21+22+23+2n-1( 或2n+1 ). 【解决问题】假设2n+1=2018,则2n=2017,当n为正整数时,2n一定是偶数,2n=2017不可能成立,即无论经过多少次这样的操作,图中都不可能共有2018条射线.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,13.若两个二次函数y1=a1x2+b1x+c1和y2=a2x2+b2x+c2中的a1=b2,a2=b1,则称y1和y2为“同系二次函数”. ( 1 )请写出两个“同系二次函数”; ( 2 )已知二次函数y=ax2+bx+c的图象向下平移若干个单位即可得到它的“同系二次函数”的图象,求a与b之间的数量关系; ( 3 )设y为关于x的二次函数y=x2+nx的“同系二次函数”,且y的常数项为0,函数y+y的图象与x轴的两个交点分别为A,B,顶点为C,求ABC的面积S随n的变化情况.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,
