1、1 破解立体几何中的三共问题平面的基本性质是研究立体几何的基础，应用基本性质研究空间中的共点、共线、共面是立体几何中不容忽视的问题，下面就这类问题进行例析1点共线问题例 1 如图所示，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1，A 1C 与截面 DBC1 交于点 O，AC 与 BD 交于点 M，求证：C 1，O，M 三点共线证明 因为 C1平面 DBC1，且 C1平面 A1ACC1，所以 C1 是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的公共点又因为 MAC，所以 M平面 A1ACC1，因为 MBD ，所以 M平面 DBC1，所以 M 也是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的公共点，所以 C1M
2、 是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的交线因为 O 为平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的交点，所以 O平面 A1ACC1，O平面 DBC1，即 O 也是两个平面的公共点，所以 OC 1M，即 C1，M，O 三点共 线说明 证明点共线，常常采用以下两种方法： 转化为证明 这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理 3 证得这些点都在这两个平面的交线上；证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在 这条直线上2线共点问题例 2 如图，已知空间四边形 ABCD，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别是 BC，CD上的点，且 2，求证：EG，FH ，AC 相交
3、于同一点 P.BGGC DHHC证明 因为 E，F 分别是 AB，AD 的中点，所以 EFBD ，且 EF BD.12又因为 2，BGGC DHHC所以 GHBD ，且 GH BD，13所以 EFGH，且 EFGH.所以四边形 EFHG 是梯形，其两腰必相交，设两腰 EG、FH 相交于一点 P，因为 EG平面 ABC，FH平面 ACD，所以 P平面 ABC，且 P平面 ACD，又平面 ABC平面 ACDAC，所以 PAC.故 EG，FH，AC 相交于同一点 P.说明 证明线共点的主要理论依据是公理 3，解答思路是首先确定一平面上的两条相交直 线及交点位置；其次判断交点在另一条直线上，此种方法可
4、以推广到多种直 线共点问题3点共面问题例 3 正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F，G ，H ，K ，L 分别是CD，DD 1，A 1D1，A 1B1，BB 1，BC 的中点求证：这六点共面证明 连接 BD，B1D1 和 KF，因为 E，L 是 CD，BC 的中点，所以 ELBD.又矩形 BDD1B1 中 KFBD ，所以 KFEL，所以 KF，EL 可确定平面 ，所以 E，F，K，L 在平面 内，同理 EHKL ，故 E，H，K，L 都在平面 内又平面 与平面 都经过不共 线的三点 E，K，L，故平面 与平面 重合，所以 E，F，H，K，L 都在平面 内同理可证 G，所以 E，F，
5、G，H，K，L 六点共面说明 证明共面问题常有如下两个方法：直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合通过上面的三例，同学们对这三类问题有所了解在今后解决同类问题时，需要根据问题的具体情况，进行逻辑划分，即分类讨论，运用平面的基本性质来求证.2 异面直线解题攻略异面直线是空间中直线与直线之间的位置关系中一类最重要的问题，它在立体几何中占有重要的地位，是历年考查的重点和热点，现介绍有关异面直线问题的常见题型及解法，供同学们参考1概念辨析异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交，也不平
6、行要注意把握异面直线的这种不共面特性应该明确分别在不同平面内的两条直线不一定是异面直线，在某一平面内的一条直线与这个平面外的一条直线也不一定是异面直线例 1 下列命题中，正确的是( )Aa，b，则 a 与 b 是异面直线B过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线C不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线D异面直线所成的角的范围是 0，90分析 根据异面直线有关概念进行判断，将 错误的选项逐一排除解析 选项 A 中，a，b 的位置关系有可能相交、平行或异面；选项 B 中，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该 点的直线是相交直线；选项 D 中，两条平行或重合的直线所成
7、的角为 0，因此异面直线所成角的范围是(0，90，故答案选 C.答案 C点评 异面直线的定义强调的是这两条直线不同在任何一个平面内，而不是指在某特定平面内2异面直线的判定与证明异面直线的判定方法有：定义法，由定义判断两直线不可能在同一平面内；反证法，用此方法可以证明两直线是异面直线例 2 M，N，E，F，G，H，P，Q 是正方体 ABCDA 1B1C1D1 所在棱的中点，则PQ，EF，GH 中与直线 MN 异面的直线是_分析 要判定两条直线的位置关系可以根据定义及相关知识进行判断解析 首先，我们不难看出 PQMN；其次，根据平面的基本性质，可得 MN，EF 交于一点，即 MN 与 EF 共面；
8、最后，我 们可直观地得到 GH 与 MN 异面答案 GH点评 判断两条直线是不是异面直线，除了根据定 义及平面的基本性 质外，直 观上的感知也是十分重要的一方面3求异面直线所成的角求异面直线所成的角的解题思路是：把空间两异面直线通过平移，转化为平面内相交直线所成的角，具体的平移过程应视题而定主要有以下四种平移途径：利用三角形的中位线平移；利用平行线分线段成比例的推论平移；利用平行四边形平移；利用补形平移例 3 如图，在每个面都为等边三角形的四面体 SABC 中，若点 E，F 分别为 SC，AB 的中点，试求异面直线 EF 与 SA 所成的角分析 要求异面直线 EF 与 SA 所成的角，首先依定
9、义作出其所成角，为此取 SB 的中点 D，连接 ED，FD，根据三角形中位线性质知EFD 是异面直线 EF 与 SA 所成的角解 如图，连接 CF，SF，设四面体 SABC 的棱长为 a，则 SFCF a.32因为 E 为 SC 的中点，所以 EFSC .在 Rt SEF 中，SE SC a，12 12所以 EF a.SF2 SE222取 SB 的中点为 D，连接 ED，FD.因为 BCSAa，而 FDSA 且 FD SA，ED CB 且 ED CB，12 12所以 FDED a，于是 FD2ED 2EF 2.12故DEF 是等腰直角三角形，可得EFD45，即异面直线 EF 与 SA 所成的角
10、是 45.点评 本题以正四面体为依托，通 过求异面直线所成的角，考查了异面直线的有关概念，明确了求异面直线所成角的具体求解方法，即 “作证求” 3 巧用辅助线(面)证明平行关系在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时，从“看到结论想判定定理，看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路，往往要根据定理的条件，通过构造辅助线或辅助面来解决问题1作辅助线来解题例 1 如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BC，C 1D1 的中点，求证：EF平面 BB1D1D.证明 如图，取 D1B1 的中点 O，连接 OF，OB.因为 OFB 1C1 且 OF B1C1，BEB 1C1
11、 且 BE B1C1，12 12所以 OFBE，且 OFBE，即四边形 OFEB 为平行四边形所以 EFBO.又 EF平面 BB1D1D，BO平面 BB1D1D，所以 EF平面 BB1D1D.评注 将空间问题转化为平面 问题，是解决立体几何 问题的重要策略，关键是选择或添加适当的直线而本题通过巧作平行 线，利用 “有困难，找中点”来证明线面平行是最有效的方法之一2作辅助面来解题例 2 如图，已知直线 a平面 ，直线 a平面 ，b，求证：ab.分析 要证明线线平行，我们可以通过线面平行，或者面面平行来解决条件里没有提到面面平行，所以，我们利用线面平行来突破证明 过 a 作平面 ，使得 c ，d.
12、因为 c，直线 a平面 ，a，所以 ac.同理可证 ad.所以 cd.由 d，c，得 c.因为 c ，b，所以 cb.又 ac，所以 ab.评注 本题要使用线面平行的性 质定理，需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面，以便使用性质定理，因此常作辅助面3同时作辅助线与辅助面来解题例 3 如图，已知平面 平面 ，AB ，CD 是夹在这两个平面之间的线段，且AEEB，CG GD，AB 与 CD 不平行，求证：EG平面 ，EG平面 .分析 有些综合性的题目需要同 时作出辅助线与辅助面，通过面面之间的关系来解题题目条件中出现了两个中点，一般可直接取某线段的中点，也可通过连线所得交点 间接地取中点
13、，本题是直接找中点证明 过点 A 作 AHCD 交平面 于点 H，设 F 是 AH 的中点，连接 EF，FG 和 BH，HD.因为 E，F 分别 是 AB，AH 的中点，所以 EFBH ，且 BH平面 ，EF平面 ，所以 EF平面 .又 F，G 分别是 AH，CD 的中点，且 AHCD，所以 FGHD .又 HD平面 ，FG平面 ，所以 FG平面 .因为 EFFG F，EF，FG 平面 EFG，所以平面 EFG平面 ，又平面 平面 ，所以平面 EFG平面 .因为 EG平面 EFG，所以 EG平面 ，EG平面 .评注 本题是通过先作辅助线 AH，再作辅助面 EFG，借助平面几何里三角形中位 线的
14、结论来解决问题的4 在转化中证明空间垂直关系空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系1证明线面垂直证明线面垂直通常有两种方法：一是利用线面垂直的判定定理，由线线垂直得到线面垂直；二是利用面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直例 1 如图，AB 是圆 O 的直径， PA 垂直于圆 O 所在的平面， M 是圆周上任意一点，ANPM，垂足为点 N.求证：AN 平面 PBM.证明 因为 PA 垂直于圆 O 所在的平面，所以 PABM .因为 M 是圆周上一点，所以 BMAM.
15、又因为 PAAMA，所以 BM平面 PAM.所以 BMAN.又因为 ANPM ，PMBM M ，PM，MB平面 PMB，所以 AN平面 PBM.评注 本题是考查线面垂直很好的 载体，它融合了初中所学的圆的特征，在求解时要注意线线、线面垂直关系的转化2证明面面垂直证明面面垂直一般有两种方法：一是利用面面垂直的定义，通过求二面角的平面角为直角而得到，这种方法在证明面面垂直时应用较少；二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到面面垂直例 2 如图，ABC 为等边三角形，EC 平面 ABC，BDEC ，且 ECCA2BD，M 是EA 的中点(1)求证：DE DA；(2)求证：平面 BDM平面 ECA.证
16、明 (1)如图，取 EC 的中点 F，连接 DF，易知 DFBC .因为 ECBC，所以 DFEC .在 Rt EFD 和 RtDBA 中，因为 EF ECBD ，12FDBCAB，所以 RtEFDRtDBA.所以 DEDA .(2)如图，取 CA 的中点 N，连接 MN，BN，则 MNEC，且 MN EC.12又 ECBD，且 BD EC，12所以 MNBD，且 MNBD.所以四边形 BDMN 是平行四 边形所以点 N 在平面 BDM 内因为 EC平面 ABC，BN平面 ABC，所以 ECBN.又 CABN，ECCAC，所以 BN平面 ECA.因为 BN平面 MNBD，所以平面 BDM平面
17、ECA.评注 在证明面面垂直时通常转化为证明线面垂直的问题3证明线线垂直证明线线垂直，往往根据线面垂直的性质，即如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面内的任意一条直线垂直例 3 如图，已知平面 平面 CD，EA ，EB，垂足分别为 A，B，求证：CDAB.证明 因为 EA ，CD ，所以 CDEA.又因为 EB，CD，所以 EBCD.又因为 EAEBE，EA，EB 平面 ABE，所以 CD平面 ABE.因为 AB平面 ABE，所以 CDAB .评注 证明空间中的垂直关系的问题时，经常要用到转化与化 归的数学思想，主要体 现在线线垂直、线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中其转化关系如下
18、：5 几何法求空间角空间角的计算是对空间线与线、线与面、面与面位置关系的一种定量研究和精确的刻画利用几何法求解空间角的过程可以将逻辑推理与运算融为一体，能综合考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力、分析问题及解决问题的能力下面就利用几何法求空间角的策略进行分析1求线面角求线面角，要找出斜线在平面上的射影，其关键是作垂线找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解例 1 如图，正四棱锥 SABCD 中，SAAB2，E，F，G 分别为 BC，SC，CD 的中点设 P 为线段 FG 上任意一点(1)求证：PEAC；(2)当 P 为线段 FG 的中点时，求直线 BP 与平面 EFG 所成角的余弦值
19、(1)证明 设 AC 交 BD 于 O，SABCD 为正四棱锥，SO底面 ABCD，BDAC，又 AC平面 ABCD，SOAC ，BDSOO，BD，SO平面 SBD，AC 平面 SBD，E，F ，G 分别为 BC，SC，CD 的中点，FGSD，BDEG .又 FGEG G ，SDBD D，FG，EG平面 EFG，SD，BD平面 SBD，平面 EFG平面 BSD，AC平面 GEF.又PE平面 GEF，PEAC.(2)解 过 B 作 BHGE 于 H，连接 PH，BDAC，BDGH，BH AC，由(1)知 AC平面 GEF，则 BH平面 GEF.BPH 就是直线 BP 与平面 EFG 所成的角在
20、Rt BHP 中，BH ，PH ，PB ，22 132 152故 cosBPH .PHPB 195152求二面角求二面角是通过求其平面角的大小实现的，而平面角的作法中必须强调“垂直” ，其常见途径：(1)利用共底的两个等腰三角形；(2)利用共公共边的两个全等三角形；(3)利用线面垂直和面面垂直的性质；(4)对于“无棱”二面角一般须先确定棱，然后再利用上述方法作出平面角例 2 在三棱锥 SABC 中，已知ABC 是边长为 a 的等边三角形，且 SA底面ABC，AS a，求二面角 ABC S 的大小12解 如图所示，因为 ABACa， BASCAS90 ，所以 SBSC.取 BC 的中点为 D，连接 AD，SD，则由等腰三角形的性质，可得 SDBC，ADBC.于是由二面角的平面角的定义可知，ADS 为二面角 ABCS 的平面角因为 AS a，AD BC a，12 32 32所以在 RtASD 中，tanADS .12a32a 33所以ADS30，即所求二面角 ABCS 的大小为 30.评注 应用二面角的定义时，常常要先在二面角的棱上取一个适当的点 (常取中点)，然后再过这一点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线，找出二面角的平面角，然后通过解三角形求得二面角的大小.
