1、课时规范练A 组 基础对点练1(2018沈阳质量监测)抛物线 y4ax 2(a0)的焦点坐标是 ( )A(0，a) B(a,0)C. D.(0，116a) (116，0)解析：将 y4ax 2(a0)化为标准方程得 x2 y(a0) ，所以焦点坐标为 ，所以选 C.14a (0，116a)答案：C2(2018辽宁五校联考)已知 AB 是抛物线 y 22x 的一条焦点弦，|AB|4，则 AB 中点 C的横坐标是( )A2 B.12C. D.32 52解析：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|x 1x 2p4，又 p1，所以 x1x 23，所以点C 的横坐标是 .x1 x22
2、32答案：C3(2018邯郸质检)设 F 为抛物线 y22x 的焦点，A、B、C 为抛物线上三点，若 F 为ABC 的重心，则| | | | |的值为( )FA FB FC A1 B2C3 D4解析：依题意，设点 A(x1，y 1)、B( x2，y 2)、C(x 3，y 3)，又焦点 F ，x 1x 2x 33 (12，0) 12，则| | | |(x 1 )(x 2 ) ( x1x 2x 3) 3.选 C.32 FA FB FC 12 12 (x3 12) 32 32 32答案：C4(2018沈阳质量监测)已知抛物线 x24y 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，过P 作 PAl
3、于点 A，当AFO30(O 为坐标原点) 时，| PF|_.解析：设 l 与 y 轴的交点为 B，在 RtABF 中，AFB30，|BF| 2，所以|AB| ，设233P(x0，y 0)，则 x0 ，代入 x24y 中，得 y0 ，从而 |PF|PA| y 01 .233 13 43答案：435已知抛物线 C 的方程为 y22px( p0)，M 的方程为 x2y 28x120，如果抛物线C 的准线与M 相切，那么 p 的值为_解析：将M 的方程化为标准方程：(x4) 2y 24，圆心坐标为 (4,0)，半径 r2，又抛物线的准线方程为 x ， |4 |2，解得 p12 或 4.p2 p2答案：
4、12 或 46.如图，过抛物线 y22px (p0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A，B ，C，若|BC| 2|BF| ，且|AF|3，则抛物线的方程是_解析：分别过点 A、B 作准线的垂线 AE、BD，分别交准线于点 E、D(图略)，则|BF| BD|，|BC| 2|BF|，|BC |2|BD|，BCD30，又|AE| AF|3，| AC|6，即点F 是 AC 的中点，根据题意得 p ，抛物线的方程是 y23x.32答案：y 23x7已知抛物线 y24px (p0)的焦点为 F，圆 W：(xp) 2y 2p 2 的圆心到过点 F 的直线 l的距离为 p.(1)求直线 l
5、的斜率；(2)若直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，WAB 的面积为 8，求抛物线的方程解析：(1)易知抛物线 y24px(p0) 的焦点为 F(p,0)，依题意直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 xmy p，因为 W(p,0) ，所以点 W 到直线 l 的距离为 p，解得 m ，所以直线 l 的斜率为 .| p p|1 m2 3 33(2)由 (1)知直线 l 的方程为 x yp，由于两条直线关于 x 轴对称，不妨取 x yp，3 3联立Error!消去 x 得 y24 py4p 20，3设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 24 p，y 1y24p
6、2，3所以|AB| 16p，1 32 43p2 44p2因为WAB 的面积为 8，所以 p16p8，得 p1，12所以抛物线的方程为 y24x .8已知抛物线 C1：x 22py( p0)，O 是坐标原点，点 A，B 为抛物线 C1 上异于 O 点的两点，以 OA 为直径的圆 C2 过点 B.(1)若 A(2,1)，求 p 的值以及圆 C2 的方程；(2)求圆 C2 的面积 S 的最小值(用 p 表示) 解析：(1)A( 2,1)在抛物线 C1 上，42p，p2.又圆 C2 的圆心为 ，半径为 ( 1，12) |OA|2， 圆 C2 的方程为( x1) 2 2 .52 (y 12) 54(2)
7、记 A(x1， )，B(x 2， )则 (x 2， )， (x 2x 1， )x212p x22p OB x22p AB x2 x212p由 0 知，x 2(x2x 1) 0.OB AB x2x2 x214p2x2 0，且 x1x 2，x x 1x24p 2，x 1 .2 (x2 4p2x2)x x 8p 22 8p 216p 2，当且仅当 x ，即 x 4p 2 时取等号21 216p4x2 16p4 2 16p4x2 2又|OA |2x (x 4p 2x )，注意到 x 16p 2，21x414p2 14p2 41 21 21|OA|2 (162p44p 216p2)80p 2.而 S ，
8、S20p 2，14p2 |OA|24即 S 的最小值为 20p2，当且仅当 x 4p 2 时取得2B 组 能力提升练1(2018唐山统考)已知抛物线 y22px( p0)，过点 C( 2,0)的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，坐标原点为 O， 12.OA OB (1)求抛物线的方程；(2)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程解析：(1)设 l：x my2，代入 y22px ，得 y22pmy4p0.(*)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 22pm，y 1y24p，则 x1x2 4.y21y24p2因为 12，所以 x1x2y 1y212，即 4
9、4p12，OA OB 得 p2，抛物线的方程为 y24x.(2)(1)中(*)式可化为 y24my80，y1y 24m， y1y28.设 AB 的中点为 M，则|AB| 2xM x1x 2m( y1 y2)44m 24，又|AB| |y1y 2| ，1 m2 1 m216m2 32由得(1m 2)(16m232)(4m 24) 2，解得 m23，m .3所以，直线 l 的方程为 x y20 或 x y20.3 32.如图，由部分抛物线：y 2mx1(m0，x0)和半圆 x2y 2r 2(x0)所组成的曲线称为“黄金抛物线 C”，若“黄金抛物线 C”经过点(3,2)和 .( 12，32)(1)求
10、“黄金抛物线 C”的方程；(2)设 P(0,1)和 Q(0，1) ，过点 P 作直线 l 与“黄金抛物线 C”相交于A，P，B 三点，问是否存在这样的直线 l，使得 QP 平分AQB？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由解析：(1)“黄金抛物线 C”过点(3,2) 和 ，( 12，32)r2 2 21,43m 1，m 1.( 12) ( 32)“黄金抛物线 C”的方程为 y2x1(x0)和 x2y 21(x0)(2)假设存在这样的直线 l，使得 QP 平分AQB，显然直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l：ykx1，联立Error! ，消去 y，得 k2x2(2k1)x 0， xB ，1 2kk2yB ，即 B ，1 kk (1 2kk2 ，1 kk )kBQ ，k1 2k联立Error!，消去 y，得(k 2 1)x22 kx0，xA ，y B ，2kk2 1 1 k2k2 1即 A ，( 2kk2 1，1 k2k2 1)kAQ ，1kQP 平分AQB，k AQk BQ 0， 0，解得 k1 ，k1 2k 1k 2由图形可得 k1 应舍去， k 1，2 2存在直线 l：y( 1) x1，2使得 QP 平分AQB.
