1、第 2 课时 余弦定理的变形及应用学习目标 1.进一步理解余弦定理及其变式的结构特征和功能.2.能用余弦定理进行边角互化.3.能用余弦定理解决简单的实际问题知识点一 余弦定理及其推论1a 2b 2c 22bc cos A，b 2 c2a 22ca cos B，c 2a 2b 22abcos C.2cos A ；cos B ；cos C .b2 c2 a22bc c2 a2 b22ca a2 b2 c22ab3在ABC 中，c 2a 2b 2C 为直角；c 2a2b 2C 为 钝角；c 20 时，三角形 ABC 为锐角三角形( )类型一 利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形例 1 已知在AB
2、C 中，a8，b7，B60，求 c.考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角用余弦定理解三角形解 由余弦定理 b2a 2c 22accos B，得 728 2c 228c cos 60，整理得 c28c150，解得 c3 或 c5.引申探究本例条件不变，用正弦定理求 c.解 由正弦定理，得 ，asin A csin C bsin B 7sin 60 1433sin A ，a1433 437cos A .1 sin2A1 (437)2 17sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos B cos Asin B ，437 1217 32sin C 或 sin C .5314
3、 3314当 sin C 时，c sin C5；5314 1433当 sin C 时，c sin C3.3314 1433反思与感悟 相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个跟踪训练 1 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A ，a ，b1，3 3则 c .考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角用余弦定理解三角形答案 2解析 由余弦定理 a2b 2c 22bccos A，得( )2 12c 22ccos ，33即 c2c20，c2 或 c1(舍)类型二 边角互化例 2 在ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边
4、，且满足 (abc)( abc)3ab,2cos Asin Bsin C ，试判断 ABC 的形状考点 判断三角形的形状题点 利用正、余弦定理和三角变换判断三角形的形状解 方法一 (化角为边)由正弦定理，得 ，sin Csin B cb又 2cos Asin Bsin C，cos A .sin C2sin B c2b又由余弦定理的推论，得 cos A ，b2 c2 a22bc ，即 b2c 2a 2c 2，b2 c2 a22bc c2bb 2a 2，ab.又(abc)(abc)3ab，(ab) 2c 23ab，由 ab，得 4b2c 23b 2，b 2c 2，bc ，abc.故ABC 是等边三
5、角形方法二 (化边为角)由(abc)(abc)3ab，得(ab) 2c 23ab，即 a2 b2c 2ab，由余弦定理的推论得 cos C ，a2 b2 c22ab 12C60.又 2cos Asin Bsin Csin(AB)sin Acos B cos Asin B，sin Acos B cos Asin B0，即 sin(AB )0，又1800)，则 cos B .a2 c2 b22ac 16k2 4k2 9k224k2k 11164如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 考
6、点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 45解析 依题意可得 AD20 m，AC30 m，10 5又 CD50 m，所以在ACD 中，由余弦定理得 cosCADAC2 AD2 CD22ACAD3052 20102 50223052010 ，6 0006 0002 22又 00，52 62 72256 15所以此三角形的形状为锐角三角形2在ABC 中，若 c2，b2a，且 cos C ，则 a .14考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理与一元二次方程结合问题答案 1解析 由 cos Ca2 b2 c22ab ，得 a1.a2 4a2 222a2a 143如果将直角三角形的三边增加同
7、样的长度，则新三角形的形状是 三角形( 填锐角、直角、钝角)考点 判断三角形形状题点 利用余弦定理判断三角形形状答案 锐角解析 设直角三角形的三边为 a，b，c 且 a2b 2c 2，则(ax )2(bx )2(cx) 2a 2b 22x 22( ab)x c 22cxx 22(abc) x x20，此时新三角形的最大角为锐角故新三角形是锐角三角形4在ABC 中，sin Asin Bsin C323，则 cos C 的值为 考点 余弦定理及其变形应用题点 已知三边之比或三角正弦之比，求角答案 13解析 由 sin Asin Bsin C323，可得 abc323.不妨设 a3 ，b2 ，c3
8、( 0) ，则 cos C .3k2 2k2 3k223k2k 135在ABC 中，若 a2bc，则角 A 是 角(填锐、直、钝 )考点 余弦定理及其变形应用题点 用余弦定理求边或角的取值范围答案 锐解析 cos A b2 c2 a22bc b2 c2 bc2bc 0，(b c2)2 3c242bc0a，c b，角 C 最大由余弦定理，得 c2a 2b 22abcos C，即 3791624cos C，cos C .1204，则 x 所对的角为钝角， 4，10，a ，最大边为 2a1.12三角形为钝角三角形，a 2(2a1) 22a1，a2，20，b0)，则最大角为 a2 ab b2考点 用余
9、弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 120解析 易知 a， b，a2 ab b2 a2 ab b2设最大角为 ，则 cos ，a2 b2 a2 ab b222ab 12又(0，180)，120.15 在 ABC 中 ， a， b， c 分 别 为 内 角 A， B， C 的 对 边 ， 且 2asin A (2b c)sin B (2c b)sin C.(1)求角 A 的大小；(2)若 sin Bsin C ，试判断 ABC 的形状3考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状解 (1)2asin A(2 bc)sin B(2cb)sin C，2a 2(2bc)b(2c b)c，即 bcb 2c 2a 2，cos A .b2 c2 a22bc 120A180，A60.(2)A BC 180，BC18060 120，由 sin Bsin C ，得 sin Bsin(120 B) ，3 3sin Bsin 120cos Bcos 120sin B ，3 sin B cos B ，即 sin(B30)1.32 32 3又0 B120，30B30150 ，B3090，即 B60 ，ABC 60，ABC 为正三角形
