1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.2.以公理 4 和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.【重点难点】两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.【课时安排】1 课时【教学过程】导入新课观察长方体（图 1） ，你能发现长方体 ABCDABCD中，线段 AB 所在的直线与线段 CC所在直线的位置关系如何？图 1推进新课新知探究提出问题什么叫做异面直线？总结空间中直线与直线的位置关系.两异面直线的画法.在同
2、一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？什么是空间等角定理？什么叫做两异面直线所成的角？什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图 1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系： .,: ;: ;,没 有 公 共 点不 同 在 任 何 一 个 平 面 内异 面 直 线 没 有 公
3、 共 点同 一 平 面 内平 行 直 线 有 且 只 有 一 个 公 共 点同 一 平 面 内相 交 直 线共 面 直 线教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图 2.图 2组织学生思考：长方体 ABCDABCD中，如图 1,BBAA，DDAA,BB与 DD平行吗？通过观察得出结论：BB与 DD平行.再联系其他相应实例归纳出公理 4.公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：ab,bc ac.强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.公理 4 是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.等角定理：空间中如果两个
4、角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图 3，异面直线 a、b，在空间中任取一点 O，过点 O 分别引 aa，bb，则 a，b所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图 3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题 1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点 O 有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点 O（图 4） ，过点 O作 aa，b b，根据等角定理，a与 b所成的锐角（或直角）和 a与 b所成的
5、锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点 O 取在 a 或 b 上（如图 3）.图 4问题 2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当 a、b 相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是
6、相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图 5）.图 5应用示例例 1 如图 6，空间四边形 ABCD 中，E、F、G 、H 分别是 AB、BC 、CD、DA 的中点.图 6求证：四边形 EFGH 是平行四边形.证明：连接 EH，因为 EH 是 ABD 的中位线，所以 EHBD，且 EH= .BD21同理，FGBD，且 FG= .BD21所以 EHFG ，且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形.变式训练1.如图 6，空间四边形 ABCD 中，E、F、G 、H 分别是 AB、BC 、CD、DA 的中点且AC=BD.求证：四边形 EFGH 是菱形.证明：连接 EH，因为 E
7、H 是 ABD 的中位线，所以 EHBD，且 EH= .BD21同理，FGBD，EF AC，且 FG= ,EF= .BD21AC所以 EHFG ，且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形.因为 AC=BD,所以 EF=EH.所以四边形 EFGH 为菱形.2.如图 6，空间四边形 ABCD 中，E、F、G 、H 分别是 AB、BC 、CD、DA 的中点且AC=BD，ACBD.求证：四边形 EFGH 是正方形.证明：连接 EH，因为 EH 是 ABD 的中位线，所以 EHBD ，且 EH= .BD21同理，FGBD，EF AC，且 FG= ，EF = .AC21所以 EHFG ，且 EH
8、=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形.因为 AC=BD，所以 EF=EH.因为 FGBD ，EF AC，所以FEH 为两异面直线 AC 与 BD 所成的角.又因为 ACBD，所以 EFEH .所以四边形 EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点” 构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.例 2 如图 7，已知正方体 ABCDABCD.图 7(1)哪些棱所在直线与直线 BA是异面直线？(2)直线 BA和 CC的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线 AA垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱 AD、DC、CC、DD 、 DC、BC所在直线分别与 BA是异面直线.(2)由 BBCC可知，B
9、BA 是异面直线 BA和 CC的夹角，BBA=45，所以直线 BA和CC的夹角为 45.（3）直线 AB、BC、CD、DA、AB 、BC、CD、DA分别与直线 AA垂直.变式训练如图 8，已知正方体 ABCDABCD.图 8(1)求异面直线 BC与 AB所成的角的度数；(2)求异面直线 CD和 BC所成的角的度数.解：（1）由 ABCD可知，BCD 是异面直线 BC与 AB所成的角，BCCD，异面直线 BC与 AB所成的角的度数为 90.（2）连接 AD,AC,由 ADBC可知，ADC 是异面直线 CD和 BC所成的角，ADC 是等边三角形.ADC=60，即异面直线 CD和 BC所成的角的度数为 60.点评：“平移法” 是求两异面直线所成角的基本方法.拓展提升图 9 是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图 9AB 与 CD 所在直线垂直；CD 与 EF 所在直线平行；AB 与 MN 所在直线成 60角；MN 与 EF 所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.B.C.D.答案：D课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理 4 和等角定理.作业课本习题 2.1 A 组 3、4.
