1、1.3.2 球的表面积和体积学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1一个长方体共一顶点的三条棱长分别是 ，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )A 12 B 18 C 36 D 62在三棱锥 中， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A B C D 3将棱长为 的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为 ( )A B C D 4把半径分别为 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为 ( )A B C D 5如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3 倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为A 43 B 31 C 32 D 946把球的表面积扩大到原来的 倍，
2、那么体积扩大到原来的 ( )A 倍 B 倍 C 倍 D 倍7设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为( )A B C D 二、填空题8已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 ，则这个球的体积为_9已知四棱锥 的底面为矩形，平面 平面 于点，则四棱锥 外接球的半径为_.10已知高与底面直径之比为 的圆柱内接于球，且圆柱的体积为 ，则球的体积为_.11湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为 ，深为 的空穴，则该球半径是_ ，表面积是_ .12所有棱长都为 2 的正三棱柱的外接球的表面积为 三、解答题13有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，
3、第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，若正方体的棱长为 ，求这三个球的表面积.参考答案1 A【解析】【分析】先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积.【详解】长方体的体对角线的长是 ，所以球的半径是： ，所以该球的表面积是 ，故选 A.【点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.2 D【解析】取 中点 ，连接 ，则 ， ，所以，设 外接圆圆心为 ，半径为 ，则所以 同理可得： 的外接圆半径也为 2，因为，所以 是等边三角形，
4、，即二面角为 ，球心 在平面 上，过平面 的截面如图所示，则，所以，所以 ，即 ，所以外接球的表面积 故选 .【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法.在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置.3 B【解析】根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r=1，所以 V= r 3= . 选 B.4 D【解析】由 R 3= 6 3+ 8 3+ 10 3，得 R3=1728，检验知 R=12. 选 D.5 C【解析
5、】作圆锥的轴截面，如图，设球半径为 R，则圆锥的高 h=3R，圆锥底面半径 r= R，则 l= =2 R，所以 = = =. 选 C.6 B【解析】设原球的半径为 R，表面积扩大 2 倍，则半径扩大 倍，体积扩大 2 倍. 选B.7 C【解析】如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为 r，则圆柱的底面圆半径为 r，圆柱的高为 2r，于是圆柱的全面积为 S12 r22 r2r6 r2，球的表面积为 S24 r2. ，故选 C.请在此填写本题解析!8【解析】分析：根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于球的直径，结合球的体积公式进行计算即可详解：设正方体的棱长为 ，因为这个正方体的表面积为 ，
6、所以 ，解得 ，因为一个正方体所有的顶点在一个球面上，所以正方体的体对角线等于球的直径，即 ，即 解得 ，则球的体积为 点睛：本题主要考查了空间正方体和球的关系，及球的体积的计算，利用正方体的体对角线等于球的直径，结合球的体积公式是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力9 2【解析】由已知，设三角形 外接圆圆心为 ，由正弦定理可求出三角形 PBC 外接圆半径为 ,F为 BC 边中点,求出 , 设四棱锥的外接球球心为 O,外接球半径的平方为,所以四棱锥外接球半径为 2. 10【解析】设圆柱的底面半径为 r，则高为 4r，由题意知 r 24r=500，则 r=5，设球的半径为 R，
7、则 R2=r2+4r2=125，所以 R=5 ，故 V 球 = (5 )3= ，故填： 11 【解析】如图：设球心为 O， OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为 D， AB 为小圆 D的一条直径，设球的半径为 R，则 OD( R1) cm，则( R1) 23 2 R2，解之得 R5 cm，所以该球表面积为 S4 R245 2100(cm 2)故填：5 100.请在此填写本题解析!12【解析】试题分析:正三棱柱的底面半径 ,球心到底面的距离 ,由球心距半径之间的关系式可得球半径 ,则外接球的表面积为.故应填答案 .考点：几何体的外接球的表面积计算公式及运用【易错点晴】本题以正
8、三棱柱的外接球的体积为背景,考查的是正三棱柱的外接球的表面积的计算及灵活运用所学知识分析问题的能力.求解时充分借助题设条件中的有效信息,先求出底面半径 和球心距 ,求得球半径 ,再运用球的表面积公式求得外接球的表面积为 ,使得问题获解.13 （ 1） ， （2） ， （3） .【解析】试题分析：（1）)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，据此可求半径、面积；（2）球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，对棱之间距离就是球直径；（3）正方体的各个顶点在球面上， 正方体的对角线就是球的直径.试题解析：(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点
9、是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)，所以有 2r1=a，r 1=，所以 S1=4 =a2.(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)，所以有 2r2= a，r 2= a，所以 S2=4 =2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有 2r3=a，r 3= a，所以 S3=4 =3a 2.点睛：本题涉及球的组合体问题，属于中档题.球内切于正方体时，球的切法不同，则解法亦不同，但此类问题的关键处在于建立球的直径与多面体的关系，若球切面，则两平行面之间的距离就是球的直径，若和各条棱相切，则对棱之间的距离就是直径，若内接于长方体，则体对角线即为球的直径.
