1、12.2 函数的表示法第 1 课时 函数的表示法学习目标 1.掌握函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法 .2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数知识点 函数的三种表示方法来 源: 中 教 表示法 定义解析法 用_表示两个变量之间的对应关系图象法 用_表示两个变量之间的对应关系列表法 列出_来表示两个变量之间的对应关系思考 (1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点?(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗?来 源: s tep. co m 题型一 作函数的图象例 1 作出下列函数的图象:(1)yx1( x );(2)yx 22x(x 0,3) : step 中国教
2、育 出版 反思与感悟 1.作函数图象主要有三步:列表、描点、连线作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,再列表画出图象2函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关键点,如图象与坐标轴的交点、区间端点,二次函数的顶点等等,还要分清这些关键点是实心点还是空心点跟踪训练 1 画出下列函数的图象:(1)yx1( x0);(2)yx 22x(x 1,或 x 1)题型二 列表法表示函数例 2 已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出x 1 2 3f(x) 1 3 1x 1 2 3g(x) 3 2 1则 f(g(1)的值为_;满足 f(g(x)g(f(x)的 x
3、 的值是_反思与感悟 解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数对于 f(g(x)这类函数值的求解,应从内到外逐层解决,而求解不等式,则可分类讨论或列表解决跟踪训练 2 已知函数 f(x),g(x) 分别由下表给出x 1 2 3f(x) 2 1 1x 1 2 3g(x) 3 2 1(1)fg(1)_;www . step.c om(2)若 gf(x)2,则 x_.题型三 待定系数法求函数解析式例 3 (1)已知 f(x)是一次函数,且 ff(x)4x1,求 f(x);(2)已知 f(x)是二次函数,且满足 f(0)1,f(x1)f(x)2x,求 f(x)来 源: 中教 反思与感悟 1.对于特征
4、已明确的函数一般用待定系数法求解析式.2.若所求函数为一次函数,通常设 f(x) xb( 0);若为反比例函数,通常设为 f(x) ( 0) ;若为二次函数,kx则解析式有以下三种:(1)一般式 yax 2bxc (a0);(2)两根式 ya(xx 1)(xx 2)(a0) ,其中 x1,x 2是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标;(3) 顶点式 ya(x )2 (a0),b2a 4ac b24a其中顶点坐标为( , )解题时需依据条件灵活选用b2a 4ac b24a跟踪训练 3 已知二次函数 f(x)满足 f(0)1,f (1)2,f (2)5,求该二次函数的解析式 中 国教育出版 来 源
5、:中国教育 出 版 题型四 换元法(或配凑法)求函数解析式例 4 求下列函数的解析式:(1)已知 f ,求 f(x);(1 xx ) 1 x2x2 1x(2)已知 f( 1)x2 ,求 f(x)x x反思与感悟 1.换元法的应用:当不知函数类型求函数解析式时,一般可采用换元法所谓换元法,即将“ 1”换成另一个字母“t ”,然后从中解出 x 与 t 的关系,再代入原式x中求出关于“t”的函数关系式,即为所求函数解析式,但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况2配凑法的应用:对于配凑法,通过观察与分析,将右端的式子“x2 ”变成含有x“ 1 ”的表达式这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求x跟踪
6、训练 4 已知函数 f(x1)x 22x,则 f(x)_.step 例 5 已知 f( 1) 2x ,求 f(x)www. st ep x x错解 令 t 1,则 x(t1) 2,x所以 f(t)2( t 1)2(t1)2t 25t 3,所以 f(x)2x 25x 3. s tep. co m正解 令 t 1,则 t1,x(t1) 2,x所以 f(t)2( t 1)2(t1)2t 25t 3,所以 f(x)2x 25x 3(x 1)易错警示 错误原因 纠错心得忽略 t 1 中 t 的取值范围,导致解析式x不正确.对于函数问题,不可忽视定义域,否则就容易导致失误.跟踪训练 5 已知 f(1 )
7、1,求 f(x)1x 1x2来 源: 中国教育出版 1已知 f(x2)6x5,则 f(x)等于( )A18x17 B6x 5 C6x7 D6x5 中 教 2小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )ww w. st ep 3已知函数 f(x)由下表给出,则 f(f(3)_.x 1 2 3 4f(x) 3 2 4 14.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x1)2f(x1)2x17,则 f(x)的解析式为_ 中 教 5已知 f(x)为二次函数,若 f(0)0,且 f(x1) f (x)x 1,求 f(x)的表达式
8、1.函数三种表示法的优缺点2描点法画函数图象的步骤:(1)求函数定义域;(2)化简解析式;(3)列表;(4) 描点;(5)连线3求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法;(2)换元法;(3)配凑法;(4) 消元法等www. s te p. c om 答案精析知识梳理数学表达式 图象 表格思考 (1)三种表示方法的优、缺点比较:优点 缺点解析法简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值图象法直观、形象地表示出函数的变化情况,有利于通过图形研究函数的某些性质只能近
9、似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大来 源:中教 (2)不一定并不是所有的函数都可以用解析式表示,不仅如此,图象法也不适用于所有函数,如 D(x)Error! 列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段题型探究ww w . step.c om 例 1 解 (1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线 yx 1 上,如图(1)所示(2)因为 0x3,所以这个函数的图象是抛物线 yx 22 x 介于 0x3 之间的一部分,如图(2)所示跟踪训练 1 解 (1)yx1(x0)表示一条射线,图象如图 (1)(2)yx 22x(x 1)
10、21(x1,或 x1)是抛物线 yx 2x 去掉1x1 之间的部分后剩余曲线如图(2)例 2 1 2解析 g(1)3,f (g(1)f (3)1.f(g(x)与 g(f(x)与 x 相对应的值如下表所示.x 1 2 3f(g(x) 1 3 1g(f(x) 3 1 3f(g(x)g(f( x)的解为 x2.中国教 育出 版 跟踪训练 2 (1)1 (2)1解析 (1)由表知 g(1)3,www. ste p. co mfg(1)f(3) 1;中 国教育 出 版 (2)由表知 g(2)2,又 gf(x)2, 中 国 教育出版 得 f(x)2,再由表知 x1.例 3 解 (1)f (x)是一次函数,
11、设 f(x)axb( a0),则 ff(x)f(axb)a( axb)ba 2xabb.又ff(x)4x1,a 2xabb4x 1,即Error!解得Error! 或Error!f(x)2x 或 f(x)2x 1.13(2)f(x) 是二次函数,设 f(x)ax 2bx c (a0),由 f(0)1,得 c1,由 f(x 1)f(x )2x,得 a(x1) 2b( x1)1ax 2bx 12x.左边展开整理得 2ax( ab) 2x ,由恒等式原理知Error!解得Error!f(x)x 2x1.跟踪训练 3 解 设二次函数的解析式为 f(x)ax 2bxc(a0),由题意得Error!解得E
12、rror!故 f(x)x 21.例 4 解 (1)方法一 (换元法 )令 t 1,则 t 1.1 xx 1x把 x 代入 f ,得 f(t) 1t 1 (1 xx ) 1 x2x2 1x1 ( 1t 1)2( 1t 1)211t 1(t1) 21 (t1)t 2t1.所求函数的解析式为f(x)x 2x1,x ( ,1)(1 ,) :中 国教 育出版 方法二 (配凑法)f 2 2 1,中国 教育 出 版 (1 xx ) 1 x2 2x 2xx2 1x (1 xx ) 1 x xx (1 xx ) 1 xxf(x)x 2x1.又 11,1 xx 1x所求函数的解析式为 f(x)x 2x1(x1)(
13、2)方法一 (换元法 )令 1t (t1) ,x则 x(t1) 2,f(t)(t1) 22 t 21.t 12f(x)x 21( x1)方法二 (配凑法)x 2 ( 1) 21,x xf( 1) ( 1) 21.x x又 11,f(x )x 21(x1) :中教 x跟踪训练 4 x 24x 3跟踪训练 5 解 令 t1 (x0),则 x (t1) ,1x 1t 1所以 f(t)(t1) 21t 22t( t1), 中 国教育出 版 所以 f(x)x 22x (x1)中 国教 育出版 当堂检测1C 2.C 3.1 4.f(x)2x7 : 中国教 育出版 5解 设 f(x)ax 2bx c (a0),f(0)c0,f(x 1)a(x1) 2b(x1) 来 源: step.c o max 2(2 ab)x ab,f(x)x 1ax 2bx x1ax 2(b1) x1.又 f(x 1)f(x )x1,Error! Error!f(x) x2 x.12 12