1、课时规范练A 组 基础对点练1已知 F 为双曲线 C：x 2my 23m (m0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( )A. B33C. m D3m3解析：双曲线方程为 1，焦点 F 到一条渐近线的距离为 .选 A.x23m y23 3答案：A2已知双曲线 1( a0)的离心率为 2，则 a( )x2a2 y23A2 B.62C. D152解析：因为双曲线的方程为 1，所以 e21 4，因此 a21，a1.选 D.x2a2 y23 3a2答案：D3(2018邢台摸底)双曲线 x24y 21 的渐近线方程为( )Ax2y0 By 2x0Cx4y0 Dy4x0解析：依题意，题中的
2、双曲线即 x 21，因此其渐近线方程是 x 20，即 x2y0，y214y214选 A.答案：A4设 F1，F 2 是双曲线 x2 1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 |PF1| |PF2|，则y224 43PF 1F2 的面积等于 ( )A4 B82 3C24 D48解析：由双曲线定义|PF 1| PF2|2，又|PF 1| |PF2|，43|PF1|8，|PF 2|6，又|F 1F2|2c10，|PF1|2|PF 2|2|F 1F2|2，PF1F2 为直角三角形PF1F2 的面积 S 6824.12答案：C5双曲线 1 的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )x2a2 y2b2A
3、2 B. 3C. D.232解析：由渐近线互相垂直可知 1，( ba)ba即 a2b 2，即 c22a 2，即 c a，2所以 e .2答案：C6下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y2 x 的是( )Ax 2 1 B. y 21y24 x24C. x 21 Dy 2 1y24 x24解析：A、B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在 y 轴上，又令x 20，得 y2 x，令 y2 0，得 y x，故选 C.y24 x24 12答案：C7已知双曲线 C： 1 的离心率 e ，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的方程x2a2 y2b2 54为( )A
4、. 1 B. 1x24 y23 x29 y216C. 1 D. 1x216 y29 x23 y24解析：由题意得 e ，又右焦点为 F2(5,0)，a 2b 2c 2，所以 a216，b 29，故1 b2a2 54双曲线 C 的方程为 1.x216 y29答案：C8已知双曲线 1(a0，b0)的焦距为 2 ，且双曲线的一条渐近线与直线x2a2 y2b2 52xy0 垂直，则双曲线的方程为( )A. y 21 Bx 2 1x24 y24C. 1 D. 13x220 3y25 3x25 3y220解析：由题意得 c ， ，则 a2，b1，所以双曲线的方程为 y 21.5ba 12 x24答案：A9
5、双曲线 C： 1(a0，b0)的一条渐近线方程为 y2x，则双曲线 C 的离心率是( )x2a2 y2b2A. B.5 2C2 D.52解析：由双曲线 C： 1(a0，b0)的一条渐近线方程为 y2x，可得 2，e x2a2 y2b2 ba ca .故选 A.1 (ba)2 5答案：A10(2017合肥质检)若双曲线 C1： 1 与 C2： 1( a0，b0) 的渐近线相同，x22 y28 x2a2 y2b2且双曲线 C2 的焦距为 4 ，则 b( )5A2 B4C6 D8解析：C 1 的渐近线为 y2x，即 2.ba又 2c 4 ，c 2 .5 5由 c2a 2b 2 得，20 b2b 2，
6、b4.14答案：B11已知双曲线 C： 1(a0，b0)的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则x2a2 y2b2C 的方程为( )A. 1 B. 1x220 y25 x25 y220C. 1 D. 1x280 y220 x220 y280解析：依题意Error!，解得Error!，双曲线 C 的方程为 1.x220 y25答案：A12已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为 y x，则该双曲线的标准方程为312_解析：法一：因为双曲线过点(4， )且渐近线方程为 y x，故点(4， )在直线 y x 的312 3 12下方设该双曲线的标准方程为 1(a0 ，b0)，所以Er
7、ror!，解得Error!故双曲线方x2a2 y2b2程为 y 21.x24法二：因为双曲线的渐近线方程为 y x，故可设双曲线为 y 2 (0)，又双曲线过12 x24点(4， )，所以 ( )2 ，所以 1，故双曲线方程为 y 21.3424 3 x24答案： y 21x2413(2017武汉武昌区调研)双曲线 ： 1( a0，b 0)的焦距为 10，焦点到渐近线的y2a2 x2b2距离为 3，则 的实轴长等于 _解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线 y x，即 axby 0 的距离为 b3，所ab |5b|a2 b2 5bc以 a4,2a8.答案：814已知双曲线 C； 1(a0，b0)
8、与椭圆 1 有相同的焦点，且双曲线 C 的x2a2 y2b2 x29 y24渐近线方程为 y2 x，则双曲线 C 的方程为_解析：易得椭圆的焦点为( ，0)，( ，0) ，5 5Error!a21，b 24，双曲线 C 的方程为 x2 1.y24答案：x 2 1y2415(2018西安质检)已知抛物线 y28x 与双曲线 y 21(a0)的一个交点为 M，F 为抛x2a2物线的焦点，若|MF |5，则该双曲线的渐近线方程为_解析：抛物线 y28x 的焦点 F(2,0)，准线方程为 x2，设 M(m，n)，则由抛物线的定义可得|MF| m25，解得 m3，故 n224，可得 n2 .将 M(3，
9、2 )代入双曲线6 6y 21，可得 241，解得 a .所以双曲线的渐近线方程为 y x.x2a2 9a2 35 53答案：y x53B 组 能力提升练1等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y216x 的准线交于 A，B 两点，|AB|4 ，则 C 的实轴长为 ( )3A. B22 2C4 D8解析：抛物线 y216x 的准线方程是 x4，所以点 A(4,2 )在等轴双曲线3C：x 2 y2a 2(a0)上，将点 A 的坐标代入得 a2，所以 C 的实轴长为 4.答案：C2已知双曲线 1 与直线 y2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )x2a2 y2b2A(
10、1， ) B(1， 5 5C( ，) D ，)5 5解析：双曲线的一条渐近线方程为 y x，ba则由题意得 2，bae .ca 1 (ba)2 1 4 5答案：C3若实数 k 满足 00)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线x24 y2b2的两条渐近线相交于 A，B，C ，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 3y24 x24 4y23C. 1 D. 1x24 y24 x24 y212解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形 ABCD 为矩形双曲线的渐近线方程为 yx，圆的方程为 x2y 24，不妨设交点 A 在第一象限，由
11、 y x，x 2y 24 得b2 b2xA ，y A ，故四边形 ABCD 的面积为 4xAyA 2b，解得 b212，故44 b2 2b4 b2 32b4 b2所求的双曲线方程为 1，选 D.x24 y212答案：D7(2018甘肃两市六校联考) 已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1、F 2，以|F 1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x216 y29 x23 y24C. 1 D. 1x29 y216 x24 y23解析：因为以|F 1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 (3,4)，所以 c
12、5， ，又ba 43c2a 2b 2，所以 a3，b4，所以此双曲线的方程为 1.x29 y216答案：C8过双曲线 1(a0，b0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为点 A，与另x2a2 y2b2一条渐近线交于点 B，若 2 ，则此双曲线的离心率为( )FB FA A. B.2 3C2 D. 5解析：不妨设 B(x， x)，| OB| c，可取 B(a，b)，由题意可知点 A 为ba x2 bax2BF 的中点，所以 A( ， )，又点 A 在直线 y x 上，则 ，c2a，e2.c a2 b2 ba bac a2 b2答案：C9设双曲线 1(ba0)的半焦距为 c，且直线 l 过(
13、a,0) 和(0，b)两点已知原点到直x2a2 y2b2线 l 的距离为 ，则双曲线的离心率为 ( )3c4A. B.223 2C. D23解析：由题意得 ab c2，a 2(c2a 2) c4，34 316整理得 3e416e 2160.解之得 e24 或 e2 ，43又 02a2e 22，故 e24.e 2.答案：D10(2018淄博模拟)过双曲线 1(a0，b0)的左焦点 F1，作圆 x2y 2a 2 的切线交x2a2 y2b2双曲线的右支于点 P，切点为 T，PF 1 的中点 M 在第一象限，则以下结论正确的是 ( )Aba|MO| MT|Bba|MO |MT |Cba0，b0)的左焦
14、点 F1 作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线的两x2a2 y2b2条渐近线的交点分别为 A，B，若 ，则双曲线的渐近线方程为_F1A AB 解析：由Error!得 x ，aca b由Error!解得 x ，不妨设 xA ，x B ，由 可得 c ，acb a aca b acb a F1A AB aca b acb a aca b整理得 b3a.所以双曲线的渐近线方程为 3xy0.答案：3xy012设 F1，F 2 分别是双曲线 x2 1 的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，y2b2若|AF 2| 2 且F 1AF245，延长 AF2 交双曲线右支于点 B，则F 1AB 的面积等于
15、_解析：由题意可得|AF 2|2，|AF 1|4，则|AB| |AF 2| BF2|2|BF 2| BF1|.又F1AF245，所以ABF 1 是以 AF1 为斜边的等腰直角三角形，则| AB|BF 1|2 ，所以其2面积为 2 2 4.12 2 2答案：413设双曲线 x2 1 的左，右焦点分别为 F1，F 2.若点 P 在双曲线上，且F 1PF2 为锐y23角三角形，则|PF 1| PF2|的取值范围是_解析：由题意不妨设点 P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当 PF2x 轴时，|PF1|PF 2|有最大值 8；当P 为直角时，|PF 1|PF 2|有最小值 2 .因为 F1PF2
16、 为锐角三角7形，所以|PF 1| PF2|的取值范围为(2 ，8) 7答案：(2 ，8)714(2018沈阳质量监测)已知 P 是双曲线 y 21 上任意一点，过点 P 分别作双曲线的x23两条渐近线的垂线，垂足分别为 A，B，则 的值是_ PA PB 解析：设 P(x0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是 y0， y 0，所以可取| PA|x3 x3，|PB| ，又 cosAPBcosAOBcos2AOxcos ，所|x03 y0|13 1|x03 y0|13 1 3 12以 | | |cosAPB ( ) ( ) .PA PB PA PB |x203 y20|43 12 34 12 38答案：38
