1、1第 2 课时 线性规划的实际应用学习目标：理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知应用线性规划解决实际问题的类型思考：一家银行的信贷部计划年初投入 25 000 000 元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可 带来 30 000 元的收益，其中从企业贷款中获益 12%，从个人贷款中获益 10%，假 设信贷部用于企业投资的资金为 x 元，用于个人 贷款的资金为 y 元那么 x 和 y 应满足哪些不等关系？提示分析题 意，我们可得到以下式子Error!基础自测1思考辨析(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解( )(2)
2、当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个( )答案 (1) (2)2已知目标函数 z2xy，且变量 x，y 满足约束条件Error!则( )Az max12，z min3Bz max12，无最小值Cz min3，无最大值Dz 既无最大值又无最小值D 画出可行域如图所示，z2xy 即 y2x z 在平移过程中的纵截距2z 既无最大值也无最小值3完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天 50 元，请瓦工需付工资每人每天 40 元现有工人工资预算每天 2 000 元，设请木工 x 人，请瓦工 y 人，则请工人的约束条件是_Error! 4某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排
3、 900 名客人旅行，A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为_元 .【导学号：91432334】36 800 设租用 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆，租金 为 z 元，则Error!画出可行域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数 z1 600x2 400y 在点(5,12)处取得最小 值 zmin 36 800 元 合 作 探 究攻 重 难线性规划的实际应用问题探究问题1某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个 项目，按要求对项目
4、甲的投资不小于对项目乙投资的 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元设投资23甲、乙两个项目的资金分别为 x、y 万元，那么 x、y 应满足什么条件？提示：Error!2若公司对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润，对项目乙每投资1 万元可获得 0.6 万元的利润，设该公司所获利润为 z 万元，那么 z 与 x，y 有何关系？3提示：根据公司所获利润投资项目甲获得的利润投资项目乙获得的利润，可得 z 与 x，y 的关系为 z0.4x0.6y.3x，y 应在什么条件下取值，x，y 取值对利润 z 有无影响？提示：x，y 必须在线性约束条件Error!下取值x，y 取不同的值，直接影
5、响z 的取值 某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要木料 0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润120 元. 怎样安排生产可使所获利润最大.【导学号：91432335】思路探究：可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解解 设生产书 桌 x 张，生产书橱 y 个，利润为 z 元，则目标函数为z80x 120y，根据题意知，约束条件为Error!即Error!画出可行域如 图所示，作直线 l：80x120y 0，并平移直
6、线 l，由图可知，当直线 l 过点 C 时，z 取得最大值，解Error!得 C(100,400)，所以 zmax80 10012040056 000，即生产 100 张书桌，400 个书 橱，可 获得最大利润母题探究：(变结论) 例题中的条件不变，如果只安排生产书桌可获利润多少？如果只安排生产书橱呢？解 (1)若只生产书桌，则 y0，此时目标函数 z80x，由 图可知zmax8030024 000，即只生产书桌，可获利润 24 000 元(2)若只生产书 橱，则 x0，此时目标函数 z120y，由图可知zmax12045054 000，即只生产书橱，可获利润 54 000 元4规律方法 解答
7、线性规划应用题的一般步骤(1)审题仔细阅读，对关键部分进行“精读” ，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.(2)转化设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解解这个纯数学的线性规划问题.(40)作答就应用题提出的问题作出回答.线性规划中的最优整数解问题某运输公司有 7 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车，4 辆载重量为 10 吨的 B型卡车，有 9 名驾驶员在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每天运送 360 吨沥青的任务已知每辆卡车每天往返次
8、数为：A 型车 8 次，B 型车 6次，每辆卡车往返一次的成本费为：A 型车 160 元，B 型车 280 元每天派出A 型车与 B 型车各多少辆时，公司花的成本费最低？思路探究：本题的线性约束条件及目标函数分别是什么？根据实际问题的需要，该题是否为整点 问题？解 设公司每天所花成本费为 z 元，每天派出 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆，则 z160 x 280y, x，y 满 足的约束条件为Error!作出不等式组的可行域，如图作直线 l：160x280y 0，即 l：4x7y 0.将 l 向右上方移至 l1位置时，直线 l1经过可行域上的 M 点，且此时直线与原点的距离最近，z 取得
9、最小 值由方程组Error! ，5解得Error!.但 y0.4 不是整数，故取 x7，y1，此时 z 取得最小值所以，当每天派出 A 型车 7 辆、 B 型车 1 辆时，公司所花 费用最低规律方法 寻找整点最优解的三种方法(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线 l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解， 这种方法应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值.(3)调整优值法：先求非整点最优
10、解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解.跟踪训练 某厂有一批长为 18 m 的条形钢板，可以割成 1.8 m 和 1.5 m 长的零件它们的加工费分别为每个 1 元和 0.6 元售价分别为 20 元和 15 元，总加工费要求不超过 8 元问如何下料能获得最大利润.【导学号：91432336】解 设割成的 1.8 m 和 1.5 m 长的零件分别为 x 个、y 个，利润为 z 元，则 z20 x15 y(x0.6y)即 z19x14.4y且Error!作出不等式组表示的平面区域如图，又由Error!解出 x ，y ，所以 M ，207 607 (207，607)因为 x，y 为自然数，在
11、可行域内找出与 M 最近的点为(3,8)，此 时 z 19314.48172.2(元)又可行域的另一顶点是(0,12)，z19014.412 172.8(元) ：过顶点(8,0)的直 线使 z19814.40152(元)M 附近的点(1,10)，(2,9)，(207，607)6直线 z19x14.4y 过点(1,10)时， z163；过点(2,9)时 z167.6.所以当 x0，y12 时， z 172.8 元为最大值答：只截 1.5 m 长的零件 12 个，可获得最大利润当 堂 达 标固 双 基1某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1，a 2 千克，生产乙产品每千克需用原
12、料 A 和原料 B 分别为 b1，b 2 千克，甲，乙产品每千克可获利润分别为 d1，d 2 元，月初一次性购进原料 A，B 分别为 c1，c 2 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大？在这个问题中，设全月生产甲，乙两种产品分别为 x，y 千克，月利润总额为 z 元，那么，用于求使总利润 zd 1xd 2y 最大的数学模型中，约束条件为 _Error! 由题设和本题的限制条件可得，另外容易遗漏的限制条件是x0，y 0.2一农民有基本农田 2 亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400 公斤；若种花生，则每季每亩产量为 100 公斤，但水稻成本较高，每季每
13、亩 240 元，而花生只需 80 元，且花生每公斤卖 5 元，稻米每公斤卖 3 元，现该农民手头有 400 元，那么获得最大收益为_元. 【导学号：91432337】1 50 设该农民种 x 亩水稻， y 亩花生时能获得利润 z 元， 则Error! 即Error!z960 x420y ，作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数变形为 y x ，作出直线 y167 z420x，在可行域内平移直线 y x，可知当直 线过 点167 167B 时，z 有最大值，由Error!解得 B ，故当 x1.5，y0.5 时，z max1 650 元，故该农民种(32，12)1.5 亩水稻，0.5 亩花生时，
14、能获得最大利润，最大利润为 1 650 元3某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A，B，C ，D 四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各7种设备上需要加工的台时数如下：设备产品 A B C D甲 2 1 4 0乙 2 2 0 4已知各设备在计划期内有效台时数分别为 12,8,16,12(1 台设备工作 1 小时称为 1 台时) ，该厂每生产一件甲产品可得到利润 2 元，每生产一件乙产品可得到利润 3 元 ，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为_4,2 设 在计划期内生产甲产品 x 件，乙产品 y 件，则由题意得约束条件为Error!即Err
15、or!作出可行域如 图阴影部分所示，目标函数为 z2x3y，由图可知当直线 z2x3y 经过点 A 时，z 有最大值，解Error!得Error!即安排生产 甲产品 4 件，乙 产品 2 件时，利润最大4某工厂制造 A 种仪器 45 台，B 种仪器 55 台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积 2 m2，每张可作A 种仪器外壳 3 个和 B 种仪器外壳 5 个，乙种钢板每张面积 3 m2，每张可作 A种仪器外壳 6 个和 B 种仪器外壳 6 个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？( “用料最省”是指所用钢板的总面积最小)【导学号：91432338】解 设用甲种 钢板 x 张，乙种钢板 y 张，依题意Error!8钢铁总面积 z2x3y .作出可行域，如图所示由图可知当直线 z2x3y 过点 P 时， z 最小由方程组Error!得Error!所以甲、乙两种钢板各用 5 张用料最省
