1、4.1.2 圆的一般方程（一）教学目标1知识与技能（1 ）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件.（2 ）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3 ）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2过程与方法通过对方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.
2、（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学环节教学内容 师生互动 设计意图课题引入问题：求过三点 A (0，0)， B (1，1)，C (4，2) 的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式圆的一般方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.概念 请同学们写出圆的标准方程：(x a)2 + 整个探索过程由学生 通过形成与深
3、化(y b)2 = r2，圆心(a，b)，半径 r.把圆的标准方程展开，并整理：x2+ y2 2ax 2by + a2 + b2 r2=0.取 D = 2a，E = 2b，F = a2 + b2r2 得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 配方得(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1 ）当 D2 + E2 4F0 时，方程 表示以 为圆心，为半径的圆；（2 ）当 D2 + E2 4F = 0 时，
4、方程只有实数解 ，即只表示一个点；（3 ）当 D2 + E2 4F0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示的曲线不一定是圆.只有当 D2 + E2 4F0 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的表示圆的方程称为圆的一般方程.完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1 ） x 2 和 y2 的系数相同，不等于 0.没有 xy这样的二次项.（2 ）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E 、 F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.
5、（3 ）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.应用举例例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.学生自己分析探求解决途径：用配方法将其变形化成圆的标准形式.通过例题讲解使学生理解圆（1 ） 4x2 + 4y2 4x + 12y + 9 = 0（2 ） 4x2 + 4y2 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x2 + y2x + 3y + = 0D = 1，E =3，
6、F = .D 2 + E2 4F = 10此方程表示圆，圆心（ ， ） ，半径r = .（2 ）将原方程化为 x2 + y2 x + 3y + = 0D = 1，E =3，F = .D2 + E2 4F = 10此方程不表示圆.运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4 x2 + 4y2 4x + 12y + 9 = 0 来说，这里的 D = 1，E = 3，而不是 D = 4，E = 12， F = 9.例 2 求过三点 A (0，0)，B (1，1)，C (4， 2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三
7、个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0A (0，0) ，B (1，1)，C (4， 2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于 D、E、F的三元一次方程组：即解此方程组，可得：D= 8，E=6 ，F = 0例 2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1根据题设，选择标准方程或一般方程.2根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组；3解出 a、b 、 r 或D、 E、 F，代入标准方程或一般方程.的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转
8、化更进一步培养学生探索发现及分析解决问题的能力.所求圆的方程为：x 2 + y2 8x + 6y = 0；.得圆心坐标为(4，3).或将 x2 + y2 8x + 6y = 0 左边配方化为圆的标准方程，( x 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径 r = 5，圆心坐标为(4，3).例 3 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4， 3)，端点 A 在圆上( x + 1)2 + y2 = 4 运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 .解：设点 M 的坐标是 (x，y)，点 A 的坐标是( x0，y 0)由于点 B 的坐标是(4，3)且M 是线段 AB 中重点，所以，于是
9、有 x0 = 2x 4，y 0 = 2y 3因为点 A 在圆(x + 1)2 + y2 = 4 上运动，所以点 A 的坐标满足方程( x + 1)2 + y2 = 4，即 (x 0 + 1)2 + y02 = 4 把代入，得(2x 4 + 1)2 + (2y 3)2 = 4，整理得所以，点 M 的轨迹是以 为圆心，半径长为 1 的圆.课 堂 练 习 ： 课 堂 练 习 P130 第 1、 2、 3 题 .教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点 A 运动引起点 M 运动，而点A 在已知圆上运动，点 A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点 M 的坐标满足的条件，求出点 M 的轨迹方程.归纳总结1圆的一般方程的特征2与标准方程的互化3用待定系数法求圆的方程4求与圆有关的点的轨迹 教师和学生共同总结让学生更进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.课后作业布置作业：见习案 4.1 的第二课时 学生独立完成 巩固深化
