1、1.3.1 柱体、椎体、台体的表面积与体积学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1如果圆柱的轴截面周长为定值 4，则圆柱体积的最大值为 ( )A B C D 2在正方体 ABCDA1B1C1D1中，三棱锥 D1AB1C 的表面积与正方体的表面积的比为 ( )A 11 B 1C 1 D 123已知点 在同一个球面上， ，若四面体体积的最大值为 ，则这个球的表面积是（ ）ABCD4已知四棱锥 的所有顶点都在同一球面上，底面 是正方形且和球心 在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为 ，则球 的表面积等于（ ）A B C D5已知三棱锥的三视图如图所示，其中正视图为等边三角形，侧视图为直角三角形，俯
2、视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）A B C D6若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A B C D7已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为 的正三角形, 俯视图是边长为 的正六边形，则该几何体侧视图的面积为（ ）A B C D二、解答题8如图所示，正四面体 ABCD 的外接球的体积为 4 ，求正四面体的体积9有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比10如图，某种水箱用的“浮球” ，是由两个半球和一个圆柱筒组成的已知半球的直径是 6 cm，圆柱筒高为 2 cm.（1）这
3、种“浮球”的体积是多少 cm3（结果精确到 0.1）?（2）要在 2 500 个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶 100 克，那么共需胶多少克？三、填空题11如图,在边长为 1 的正方形 中, 把 沿对角线 折起到 ,使平面平面 ,则三棱锥 的体积为_ . 参考答案1 A【解析】【分析】根据题意得到 V2 R22R 3,V2 R(23R)，当 R时，圆柱的体积最大，代入求出体积即可.【详解】设圆柱的底面半径为 R，高为 h，则 2Rh2.VR 2hR 2(22R)2 R22R 3，V2R(23R)令 V0，则 R0( 舍 )或 R.经检验知，当 R时，圆柱的体积最大，此时 h，
4、V max .故答案为：A.【点睛】这个题目考查了实际应用问题，利用了导数研究函数的最值问题，通过导数研究导函数的正负得到函数的单调区间，进而得到函数的单调性，得到函数的最值.2 C【解析】【分析】设出正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长，求出正方体的表面积和三棱锥 D1-AB1C 的表面积即可【详解】设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a，则正方体 ABCD-A1B1C1D1的表面积为 S2=6a2，且三棱锥D1-AB1C 为各棱长均为 的正四面体，其中一个面的面积为 所以三棱锥 D1-AB1C 的表面积为：所以三棱锥 D1-AB1C 的体积与正方体 ABCD-A1B1C1D1
5、的表面积之比为： 故选：C【点睛】本题考查了正方体与三棱锥的表面积公式的应用问题，是基础题目3D【解析】由 可知ABC 为直角三角形， ，所以ABC的外心 为 的中点，由四面体的体积公式可知，当顶点 到平面 的距离最大时，有最大体积，当 ，球心 共线时，顶点 到平面 的距离最大，由题可求得此时顶点 到平面 的距离为 ，设球的半径为 ，则球心 到圆心 的距离为 ,则 ，解得 ，则球的表面积 ，故选 D.考点：三棱锥的体积，球的表面积.4B【解析】当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，设球的半径为 ，因为底面 是正方形且和球心 在同一平面内，所以正四棱锥的底面边长为 ，高为，所以 ，所以
6、球的表面积为，故选 B考点：四棱锥的体积与球的表面积公式5B【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，直角边为 ，高为，所以体积为 ，故选 B.考点：三视图，三棱锥的体积.6C【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图，故选 C.考点：三视图，几何体的体积.7D【解析】由题图可知该几何体为正六棱锥，侧视图为等腰三角形，其中底边长为 ，高与正视图的高相同，为 ，所以面积为 ，故选 D.考点：三视图，侧面积.8【解析】【分析】设正四面体的外接球的半径为 R，由已知得 R . 如图，连接 DE， O1D，因为 AE 为球的直径，故 AD DE， AE
7、 O1D.设 AD a，则由已知得 O1D a，故 AO1 a.所以 O1E2 R AO12 a.由 AO1D DO1E 知 O1D2 AO1O1E，解得 a ，由此能求出正四面体 ABCD 的体积【详解】设正四面体的外接球的半径为 R，由已知得 R34 ，故 R .如图，连接 DE， O1D，因为 AE 为球的直径，故 AD DE， AE O1D.设 AD a，则由已知得 O1D a a，故 AO1 a.所以 O1E2 R AO12 a.由 AO1D DO1E 知 O1D2 AO1O1E，即 a ，解得 a (a0舍去)故正四面体的体积 V a2AO1 8 .【点睛】本题考查正四面体体积的求
8、法，考查正四面体外接球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题9123【解析】设正方体的棱长为 a，三个球的半径依次为 ，表面积依次为 正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，则有2r1a， ，所以 球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点，则有 2r2a， ，所以正方体的各个顶点在球面上，则有 2r3a， ，所以 综上可得 S1S 2S 3123考点：球的表面积.10 （1） 169.6 （2） 1 200【解析】 （1）因为半球的直径是 6 cm，所以半径 R3 cm，所以两个半球的体积之和为 V
9、球 R 3Error!2736（cm 3） 又圆柱筒的体积为 V 圆柱 R 2h9218（cm 3） 所以这种“浮球”的体积是 VV 球 V 圆柱 361854169.6（cm 3） （2）上下两个半球的表面积是 S 球表 4R 24936（cm 2） ，又“浮球”的圆柱筒的侧面积为 S 圆柱侧 2Rh23212（cm 2） ，所以 1 个“浮球”的表面积为 S（m 2） 因此 2 500 个这样的“浮球”的表面积为 2 500S2 50012（m 2） 因为每平方米需要涂胶 100 克，所以共需要胶的质量为 100121 200（克） 考点：圆柱、球的体积、表面积.11【解析】【分析】将边长为 1 的正方形 沿对角线 AC 折起到 ，使得平面 平面 ,可以直接求出三棱锥 的底面积和高，利用体积公式求得结果.【详解】根据题意，可知所得的三棱锥的底面是一个直角三角形（正方形的一半） ，其高为点 到底面的距离，即为半条对角线，即为 ，所以三棱锥 的体积为 ，故答案是 .【点睛】该题考查的是有关平面图形的翻折问题，折后求相关的几何体的体积的问题，在解题的过程中，注意应用折后所满足的条件，利用公式求得底面积和高，利用椎体的体积公式求得结果.
