1、1/94.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用学习目标：1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法(重点、易错点)2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题(难点)自 主 预 习探 新 知1圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为 r1、r 2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系 外离 外切 相交 内切 内含图示d 与r1、r 2 的关系dr 1r 2 dr 1r 2|r1r 2|d r1r 2d r1r 20d|r1r 2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断Error! 一元二次方程Error! 消 元 2直线与圆
2、的方程的应用用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”基础自测1思考辨析(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( )2/9(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程( )(4)过圆 O：x 2y 2r 2 外一点 P(x0，y 0)作圆的两条切线，切点为 A，B ，则O，P， A，B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0xy 0yr 2( )提示 (1) 也可能内切(2) 也可能内含(3) 前提条件是两 圆相交(4)2两圆 x2 y29 和 x2y 28x6y 90 的位置关系是(
3、)A外离 B相交C内切 D外切B 易知两圆心坐标分别为(4,3)，(0,0)，两半径分别为 R4，r3.两圆心之间距离 d 5，因为 43543，即42 32RrdRr.所以两圆相交选 B.3已知两圆 x2y 210 和 (x1) 2(y3) 220 相交于 A，B 两点，则直线AB 的方程是 _x3y0 (x1) 2( y 3)220 化为一般式为：x 2y 22x 6y100，又圆 x2y 210，即 x2y 2100， 得：x 3y0，即为直线 AB 的方程合 作 探 究攻 重 难圆与圆位置关系的判断已知两圆 C1：x 2 y24x4y 20，C 2：x 2y 22x8y80，判断圆 C
4、1 与圆 C2 的位置关系. 【导学号：07742303】解 法一：(几何法)把圆 C1 的方程化为标准方程，得 (x2) 2(y2) 210.圆 C1 的 圆心坐标为(2，2)，半径 长 r1 .103/9把圆 C2 的方程化为标准方程，得 (x1) 2(y4) 225.圆 C2 的 圆心坐标为(1,4)，半径长 r25.圆 C1 和 圆 C2 的圆心距d 3 ， 2 12 2 42 5又圆 C1 与圆 C2 的两半径长之和是 r1r 25 ，两半径 长之差是10r2r 15 .10而 5 3 5 ，即 r2r 1dr 1r 2，10 5 10所以两圆的位置关系是相交法二：(代数法)将两圆的
5、方程联立得到方程组Error!由得 x2y 10，由得 x 2y1，把此式代入，并整理得 y2 10，所以 y11，y 21，代入 x2y10 得 x13，x 21.所以圆 C1 与圆 C2 有两个不同的公共点(3,1)，(1，1)，即两圆的位置关系是相交规律方法 判断两圆的位置关系的两种方法1几何法：将两圆的圆心距 d 与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.2代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.跟踪训练1当实数 k 为何值时，两圆C1：x 2y 24x 6y120，C 2：x 2
6、y 22x 14 yk 0 相交、相切、相离？解 将两圆 的一般方程化为标准方程，C 1：(x2) 2(y 3) 21，C2：(x1) 2(y7) 250k.圆 C1 的 圆心为 C1(2,3)，半径 r11；圆 C2 的 圆心为 C2(1,7)，半径 r2 (k50)50 k4/9从而|C 1C2| 5. 2 12 3 72当 1 5， k34 时，两圆外切50 k当| 1|5， 6，k14 时，两圆内切50 k 50 k当|r 2r 1|C 1C2|r 2r 1，即 14k34 时，两圆相交当 1 5 或| 1| 5，50 k 50 k即 0k14 或 34k 50 时，两 圆相离两圆相交
7、有关问题求圆 C1：x 2y 21 与圆 C2：x 2y 22x 2y 10 的公共弦所在直线被圆 C3： (x1) 2(y1) 2 所截得的弦长. 【导学号：07742304】254思路探究：先用圆 C1 与圆 C2 两方程作差求出公共弦所在直线方程，再求弦长解 设两圆 的交点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 的坐标是方程组Error!的解，两式相减得 xy 10.因为 A，B 两点的坐标满足 xy10，所 AB 所在直线方程为 xy10，即 C1，C2 的公共弦所在直线方程为 xy10，圆 C3 的 圆心为(1,1)，其到直线 AB 的距离 d ，由条件知 r2d
8、 2 12 254 12，234所以直线 AB 被圆 C3 截得的弦长为 2 .232 23母题探究：1.本例条件不变，如何求圆 C1 与圆 C2 的公共弦长？解 由题意将 圆 C1 与圆 C2 的方程相减，可得圆 C1 和圆 C2 公共弦所在的直线 l 的方程为 xy 1 0，对于圆 C1：x2y 21，该圆的圆心到直线5/9xy10 的距离为 d ，由条件知|10 10 1|12 12 22r2d 21 ，所以公共弦 长为 2 .(22)212 22 22本例中若将圆 C3 的方程“(x1) 2( y1) 2 ”改为“( x1) 2(y1)25424” ，其他条件不变，又如何求解呢？解 由
9、题意将 圆 C1 与圆 C2 的方程相减，可得圆 C1 和圆 C2 公共弦所在的直线 l 为 x y10.圆 C3 的圆心为(1,1) ，其到直 线 l 的距离 d ，由条件知， r2d 24 ，所以弦长为 2 |11 11 1|12 12 22 12 72 142.14规律方法 处理两圆相交问题的方法1圆系方程, 一般地过圆 C1：x2y 2D 1xE 1yF 10 与圆C2：x2 y2D 2xE 2yF 20 交点的圆的方程可设为：x2y 2D 1x E1yF 1x 2y 2D 2xE 2yF 20 1，然后再由其他条件求出 ，即可得圆的方程.2两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆 C1：
10、x2y 2D 1xE 1yF 10 与圆 C2：x2y 2 D2xE 2yF 20 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为D 1D 2xE 1 E2yF 1F 20.3公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.直线与圆的方程的应用探究问题1设村庄外围所在曲线的方程可用(x2) 2(y3) 24 表示，村外一小路方程可用 x y20 表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？6/9提示 从村庄外 围到小路的最短距离 为圆心(2, 3)到直线 xy20 的距离减
11、去圆的半径 2，即 2 2.|2 3 2|12 12 7222已知台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向 东北方向移动，离台 风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求 B 城市 处于危险区内的时间提示 如图 ，以 A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴 建立平面直角坐标系射线 AC 为xAy 的平分线 ，则台风中心在射线 AC 上移动则点 B 到 AC 的距离为 20 千米，则射线 AC 被以 B 为圆心，以 30 千米为2半径的圆截得的弦长为 2 20(千米)302 2022所以 B 城市处于危险区内的时间为 t 1
12、(小时)2020为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图 421)，它的附近有一条公路，从基地中心 O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点A，接着向东再走 7 km 到达公路上的点 B；从基地中心 O 向正北走 8 km 到达公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一点 D，修建一条由 D 通往公路BC 的专用线 DE，求 DE 的最短距离. 【导学号：07742305】图 421思路探究：建立适当坐标系，求出圆 O 的方程和直线 BC 的方程，再利用直线与圆的位置关系求解解 以 O 为 坐标原点，过 OB，OC 的直线分别为 x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系， 则
13、圆 O 的方程为 x2y 21，因为7/9点 B(8,0)，C(0,8)，所以直 线 BC 的方程为 1，即 xy8.当点 D 选在与直x8 y8线 BC 平行的直线(距 BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离此时DE 长的最小值为 1(4 1) km.|0 0 8|2 2规律方法 解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤跟踪训练3一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西 70 km 处，受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解 以台风 中心为坐标原点
14、，以东西方向为 x 轴建立直角坐标系(如 图) ，其中取 10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 x2y 29，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线 l 的方程为 1，x7 y4即 4x7y280.圆心(0,0)到航 线 4x7y280 的距离 d ，而半径| 28|42 72 2865r3，dr，直线与圆外离，所以 轮船不会受到台 风的影响当 堂 达 标固 双 基8/91圆 O1：x 2y 22x 0 和圆 O2：x 2y 24y0 的位置关系为 ( )A外离 B相交C外切 D内切B 圆 O1：x2y 22
15、x0 的圆心为(1,0)，半径 r11，圆 O2：x2y 24y0 的圆心为(0,2)，半径为 r22.|O 1O2| ，r1r 23，r 2r 11.51|O 1O2|3.两圆相交选 B.2两圆 x2 y24x2y10 与 x2y 24x4y10 的公切线有( ) 【导学号：07742306】A1 条 B2 条C3 条 D4 条C 圆 x2y 24x2y10 化为(x 2) 2(y1) 24，其圆心为(2，1)，半径 r12；圆 x2y 24x4y10 可化为(x2) 2(y2) 29，其圆心为(2,2)，半径 r2 3.圆心距 d 5r 1r 2，2 22 1 22所以两圆相切，其公切线有
16、 3 条选 C.3圆 x2y 22x50 和圆 x2y 22x 4y4 0 的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线方程为_xy10 所求直线即两圆圆心(1,0)，(1,2)连线所在直线，故由 y 02 0，得 xy 10.x 1 1 14两圆 x2 y210 与 x2y 23x9y 20 的公共弦长为_两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为 x3y10，圆3105x2y 210 的圆心为(0,0)，半径 长为 1，又(0,0)到直线 x3y 10 的距离为9/9，110所以公共弦长为 2 .31055已知圆 C1：x 2y 22x 8y80 与圆 C2：x 2y 24x 4y20 相交于两点(1)求两圆的公共弦所在直线的方程；(2)求两圆的公共弦长. 【导学号：07742307】解 (1)设两圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 的坐标满足方程组Error!两式相减得 x2y 10.此方程即为过 A，B 两点的直线方程所以两圆的公共弦所在直线的方程为 x2y 10.(2)圆 C1 可化为( x1) 2(y4) 225，圆 C1 的 圆心为(1，4)，半径 长 r15.C1(1，4) 到直线 x2y10 的距离 d 2 .105 5则弦长|AB| 2 2 .r21 d2 5
