1、3.3.4 两条平行直线间的距离【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用 .教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立 .【课时安排】1 课时【教学过程】导入新课我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图 1,已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0，求点 P 到直线 l 的距离(为使结论具有一般性，我们假设 A、B0).图 1推进新课新
2、知探究提出问题已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0，求点 P 到直线 l 的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?前面我们是在 A、B 均不为零的假设下推导出公式的，若 A、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离)活动：请学生观察上面三种特殊情形中的结论:()x 0=0,y0=0 时， d= ；() x00,y0=0 时，d= ；()x 0=0,y00 时，d= .观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点 P(x0,y0)，d=?学生应能得到猜想：d= .启发诱导：当点 P 不在特殊
3、位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点 P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点 P 且与直线 l 平行的直线 l1 的方程为 Ax+By+C1=0，令 y=0，得 P( ,0).PN= . (*)P 在直线 l1:Ax+By+C1=0 上 ,Ax 0+By0+C1=0.C 1=-Ax0-By0.代入(*)得|PN |= ,即 d= ,.可以验证，当 A=0 或 B=0 时，上述公式也成立.引导学生得到两条平行线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 的距离 d= .证明：
4、设 P0(x0,y0)是直线 Ax+By+C2=0 上任一点，则点 P0 到直线 Ax+By+C1=0 的距离为 d=.又 Ax0+By0+C2=0,即 Ax0+By0=-C2，d= .讨论结果：已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0，求点 P 到直线 l 的距离公式为 d=.当 A=0 或 B=0 时，上述公式也成立.两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离公式为 d= .应用示例例 1 求点 P0(-1，2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:( 1)根据点到直线的距离公式得 d= .(2)因为直线 3x=2 平行于 y
5、 轴，所以 d=| -(-1)|= .点评：例 1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2) 体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点 A(a，6)到直线 3x4y=2 的距离等于 4，求 a 的值.解: =4 |3a-6|=20 a=20 或 a= .例 2 已知点 A(1，3) ，B(3，1)，C(-1，0) ，求 ABC 的面积.解:设 AB 边上的高为 h，则 SABC = |AB|h.|AB|= ，AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离.AB 边所在的直线方程为 ,即 x+y-4=0.点 C 到 x+y-4=0 的距离为 h= ，因此，S
6、 ABC = =5.点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练求过点 A(-1,2),且与原点的距离等于 的直线方程.解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为xy1=0 或 7xy5=0.例 3 求平行线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离.解:在直线 2x-7y-6=0 上任取一点 ,例如取 P(3,0),则点 P(3,0)到直线 2x-7y+8=0 的距离就是两平行线间的距离.因此,d= .点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离 .变式训练求两平行
7、线 l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0 的距离.答案： .拓展提升问题：已知直线 l:2x-y+1=0 和点 O(0，0)、M(0 ，3)，试在 l 上找一点 P，使得| PO|-|PM|的值最大，并求出这个最大值.解:点 O(0，0) 关于直线 l:2x-y+1=0 的对称点为 O(- , )，则直线 MO的方程为 y-3= x.直线 MO与直线 l:2x-y+1=0 的交点 P( )即为所求，相应的|PO |-|PM|的最大值为 |MO|= .课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.作业课本习题 3.3 A 组 9、10； B 组 2、4.
