1、微课程 3：集合的应用【考点精讲】有关集合运算的性质（1）AB=BA；AA=A；A =A。 A B A B A (B) A B （2）AB=BA ；AA=A；A = 。 A B A B A (B) A B （3） （ A）A=R；（ A） A= ； （ A）=A。（4）AB=A A B；AB=B A B；AB=A AB=B。（5） （AB）= （ A） （ B） ， （AB）=（ A）（ B） 。【典例精析】例题 1 设 A、B 、I 均为非空集合，且满足 A B I，则下列各式中错误的是（ ）A. （ A）B=I B. （ A）（ B）=IC. A（ B）= D. （ A） （ B）= B思
2、路导航：本题综合考查了集合的基本运算，即集合的交集、并集、补集的运算。答案：对 A 选项， （ A）B= （A （ B） ）=I；对 B 选项， （ A）（ B）= （AB ）= A；对 C 选项，A（ B）= （ AB）= ；对 D 选项， （ A）（ B）= （AB）= B。综上所述，应选 B。点评：（1）可根据题意画出韦恩图，借助于图形的直观性，对照选项 A、B、C、D即可求解。（2）根据题意 A B I 构造集合 A、B 、I ，不妨设 A=1 ，B= 1，2 ，I= 1，2，3 ，利用特殊值代入法可求解。（3）根据集合的反演律求解，即 （A B）=（ A）（ B） ； （AB ）=（
3、 A）（ B） 。例题 2 已知集合 A=a，b，B=x|xA，C=x|x A，试判断 A、B、C 之间的关系。思路导航：B 中元素 x 的取值 于 A，C 中元素是 A 的子集。 集合 B 中的代表元素是x，x 满足的条件是 xA，因此 x=a 或 x=b，即 B=a，b=A，而集合 C 则不然，集合 C 的代表元素虽然也是 x，但 x 代表的是集合，x A，因此，x=a 或 x=b或 x=a，b或 x=，即 C= ，a，b，a，b，此时集合 C 中的元素是集合，故 BC，AC。A=B， BC，AC。答案：A=B，BC，AC。点评：对于元素与集合、集合与集合之间的、 关系要理解透彻， “”用
4、于描述元素与集合之间的关系，即只要元素 a 是构成集合 A 的一个元素，则 aA ，如1 与1，2，尽管1 是一个集合，但1是构成集合1，2 的一个元素，故 11，2 ， “ ”用于描述集合与集合之间的关系，如1，2，3 1，2， 3，4 。例题 3 某班举行数理化竞赛，每人至少参加一 ，已知参加数学竞赛的有 27 人，参加物理竞赛的有 25 人，参加化学竞赛的有 27 人，其中参加数学、物理两 的有 10 人，参加物理、化学两 的有 7 人，参加数学、化学两 的有 11 人，而参加数、理、化三 的有 4人，画出集合关系图，并求出全班人数。思路导航：本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转
5、化成符号语言，借助于韦恩图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解。设参加数学、物理、化学三 竞赛的同学组成的集合分别为 A、B、C，由题意可知A、B 、 C 三集合中元素的个数分别为 27、25、27，AB 、BC、AC、ABC 的元素个数分别为 10、7、11、4。画出韦恩图：可知全班人数为 10+13+12+6+4+7+3=55（人） 。答案： 全班人数 55 人。点评：能正确使用一些集合符号把文字语言转化成符号语言、图形语言，是我们把实际问题转化成数学问题的关键，它实现了实际问题向数学问题的转化。【总结提升】1. 解有关集合的交、并、补集时，可根据题设条件构造出一些新
6、的数学形式（韦恩图或符合题设条件的集合 A、B、I） ，并借助它认识和解决原问题，这种构造法对解好选择题有很大的帮助。2. 一般来说，元素与集合之间应该用“ ”或“” ；而“ ， ”应该出现于集合与集合之间； 作为特殊集合应遵从 A， A（非空） 。但这不是绝对的，选择的关键在于具体分析二者的关系。例1， 21，2，1，而 ，1 ， ，1都是对的。集合的应用1. 若 A、B、C 为三个集合， ABBC ，则一定有（ ）A. AC B. C A C. AC D. A 2. 若集合 A1，2，x，4，B x 2，1，AB1，4 ，则满足条件的实数 x 的值为（ ）A. 4 B. 2 或2 C. 2
7、 D. 23. 设集合 S2，1，0， 1，2，Tx R|x+12，则 （ST）等于（ ）A. B. 2 C. 1，2 D. 0，1，24. 设 U 为全集，M、P 是 U 的两个子集，且（ M）PP，则 MP等于（ ）A. M B. P C. P D. 5. 设集合 Mx|xR 且1x2 ，N x|xR 且|x| a，a0，若 MN ，那么实数 a 的取值范围是（ ）A. a1 B. a1 C. a2 D. a26. 设满足 y|x1| 的点（x，y）的集合为 A，满足 y|x|+2 的点（x，y）的集合为B，则 AB所表示图形的面积是_。7. 设 Ax|x 2+4x0 ，B x|x 2+2
8、（a+1）x+a 210，若 ABB，求 a 的值。集合的应用1. A 解析：由 ABBC ，知 ABB，AB C，A B C。故选 A。2. C 解析：由 AB1，4，Bx 2，1 ，得 x24，得 x2，又由于集合元素互异，x2。3. B 解析：由题意，知 T x|x1，ST 2， 1，0，1， （ST）2 。4. D 解析：由（ M）PP，知 P M，于是 PM 。故选 D。5. D 解析：Mx|1 x2，Nx|xa 或 x a。若 MN ，则a1且 a2，即 a1 且 a2，综上 a2。6. 解析：画出 y|x1|及 y|x|+2 的图象，则 AB表示的图形为矩形；由交点3坐标及图象与坐标轴的交点坐标简单计算即得 。23矩 形S7. a1 或 a1。解：Ax|x 2+4x0 0， 4。（1）由 ABB，得 BA。B 或 B 0或 B4或 B0，4 。若 B ，则 4（a+1） 24（a 21）0，则 a1。若 B0，则 ,)(a1。若 B4，则 无解。,168)(2a若 B0，4，则 .01,4)(2a解得 a1。所求 a 的范围是 a1 或 a1。
