1、1.2 余弦定理第 1 课时 余弦定理及其直接应用学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题知识点一 余弦定理思考 1 根据勾股定理，若在ABC 中，C90，则 c2a 2b 2a 2b 22abcos C试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案 当 abc 时，C60，a2b 22abcos Cc 2c 22c ccos 60c 2，即式仍成立，据此猜想，对一般ABC，都有 c2a 2b 22abcos C.思考 2 在 c2a 2b 22abcos C 中，abcos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思
2、考 1 的猜想吗？答案 abcos C| |cos ， .CB CA CB CA CB CA a 2b 22abcos C 2 22 ( )2 2c 2.CB CA CB CA CB CA AB 猜想得证梳理 余弦定理的公式表达及语言叙述公式表达a2b 2 c22bccos A，b2a 2 c22accos B，c2a 2b 22abcos C语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍余弦定理推论cos A ，b2 c2 a22bccos B ，a2 c2 b22accos Ca2 b2 c22ab特别提醒：余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理
3、对任意的三角形都成立(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量知识点二 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考 1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形思考 2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形梳理
4、 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角 ，解三角形；(2)已知三边，解三角形1勾股定理是余弦定理的特例()2余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素()3在ABC 中，已知两边及其夹角时，ABC 不一定唯一()类型一 余弦定理的证明例 1 已知ABC，BCa，AC b 和角 C，求 c.考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的理解解 如图，设 a， b， c，CB CA AB 由 ，知 cab，AB CB CA 则|c |2cc(ab)(ab)a abb2a ba 2b 22| a b|cos C，所以 c2a 2b 22abcos C.反思与感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一
5、座桥梁桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方跟踪训练 1 例 1 涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的理解解 如图，以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 ，则 A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A) ，BC 2b 2cos2A2bc cos Ac 2b 2sin2A，即 a2b 2c 22bc cos A.同理可证 b2c 2a 22ca cos B，c2a 2b 22abcos C.类型二 用余弦定理解三角形命题角度
6、 1 已知两边及其夹角例 2 在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若 a3，b2，cos( AB) ，则13c 等于( )A4 B. C3 D.15 17考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解三角形答案 D解析 由三角形内角和定理可知 cos Ccos(AB) ，又由余弦定理得13c2a 2b 22abcos C94232 17，所以 c .( 13) 17反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角跟踪训练 2 在ABC 中，已知 a2，b2 ，C15 ，求 A.2考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解
7、三角形解 由余弦定理，得 c2a 2b 22abcos C84 ，3所以 c .6 2由正弦定理，得 sin A ，asin Cc 12因为 ba，所以 BA，所以 A 为锐角，所以 A30.命题角度 2 已知三边例 3 在ABC 中，已知 a2 ，b62 ，c 4 ，求 A，B，C .6 3 3考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三解形解 根据余弦定理，cos A .b2 c2 a22bc 6 232 432 26226 2343 32A(0，)，A ，6cos C ，a2 b2 c22ab 262 6 232 4322266 23 22C(0，)， C .4BAC ，6 4 712A
8、，B ，C .6 712 4反思与感悟 已知三边求三角 ，可利用余弦定理的变形 cos A ，cos Bb2 c2 a22bc，cos C ，先求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定a2 c2 b22ac b2 a2 c22ba理跟踪训练 3 在ABC 中，sin Asin B sin C245，判断三角形的形状考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形解 因为 abcsin Asin Bsin C245，所以可令 a2k，b4k ，c 5k(k0)c 最大，cos C bc，C 为最小角且 C 为锐角，由余弦定理，得 cos Ca2 b2 c22ab .72 432 132274
9、3 32又C 为锐角，C .63如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为( )A. B. C. D.518 34 32 78考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 D解析 设顶角为 C，周长为 l，因为 l5c ，所以 ab2c，由余弦定理，得 cos C .a2 b2 c22ab 4c2 4c2 c222c2c 784在ABC 中，a3 ，b2 ，cos C ，则 c2 .2 313考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解三角形答案 304 6解析 c2a 2b 22abcos C(3 )2(2 )223 2 304 .2 3 2 313 65在AB
10、C 中，若 b1，c ，C ，则 a .323考点 余弦定理及其变形应用题点 用余弦定理求边或角的取值范围答案 1解析 c 2a 2b 22abcos C，( )2 a21 22a1cos ，323a 2a20，即(a2)( a 1)0，a1 或 a2(舍去)，a1.1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角2余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边
11、所对的角是钝角(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角一、选择题1在ABC 中，已知 a2，则 bcos Cccos B 等于( )A1 B. C2 D42考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用答案 C解析 bcos Cccos Bb c a2.a2 b2 c22ab c2 a2 b22ca 2a22a2在ABC 中，已知 B120，a3，c5，则 b 等于( )A4 B. C7 D53 7考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解三角形答案 C解析 b 2a 2c 22ac cos B3 25 2235cos 12049，b7.3边长为 5
12、,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( )A90 B120 C135 D150考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 B解析 设中间角为 ，则 为锐角 ，cos ，52 82 72258 1260， 18060120 为所求4在ABC 中，已知 b2ac 且 c2a，则 cos B 等于( )A. B. C. D.14 34 24 23考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用答案 B解析 b 2ac，c 2a，b 22a 2，cos B .a2 c2 b22ac a2 4a2 2a22a2a 345若ABC 的三边长分别为 AB7，BC 5，CA 6，则 的值为( )
13、AB BC A19 B14 C18 D19考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用答案 D解析 设三角形的三边分别为 a，b，c，依题意，得 a5，b6，c7. | | |cos(B)accos B.AB BC AB BC 由余弦定理得 b2a 2c 22accos B，accos B (b2a 2c 2) (625 27 2)19，12 12 19.AB BC 6在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a4，b5，c6，则 等sin 2Asin C于( )A1 B2 C. D.12 34考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 A解析 由余弦定理
14、得 cos A ，所以 b2 c2 a22bc 25 36 16256 34 sin 2Asin C 2sin Acos Asin C 1.2acos Ac 4cos A37.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从点 O 沿 OD 走到点 D 用了 2 min，从点 D 沿DC 走到点 C 用了 3 min.若此人步行的速度为 50 m/min，则该扇形的半径为 ( )A50 m B45 m C50 m D47 m7考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解三角形答案 C解析 依题意得 OD1
15、00 m， CD150 m，连接 OC，易知ODC180AOB60，因此由余弦定理，得OC2OD 2CD 22ODCDcos ODC ，即 OC2100 2150 22100150 ，12解得 OC50 (m)78若ABC 的内角 A，B ，C 所对的边 a，b，c 满足(ab) 2c 24，且 C60，则 ab 的值为( )A. B8443 3C1 D.23考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用答案 A解析 (ab) 2c 2a 2b 2c 22ab4，又 c2a 2b 22abcos Ca 2b 2aba 2b 2c 2ab，3ab4，ab .43二、填空题9在ABC 中，内角
16、 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2b 2 .又因为 sin C ，所以 C .a2 b2 c22ab 2 32 2310在ABC 中，A60，最大边长与最小边长是方程 x29x80 的两个实根，则边 BC的长为 考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理与一元二次方程结合问题答案 57解析 设内角 B，C 所对的边分别为 b，c .A60，可设最大边与最小边分别为 b，c .由条件可知bc9，bc8，BC 2b 2c 22bccos A(bc) 22bc2bccos A9 22828cos 60 57，BC .5711在ABC 中，AB 2，AC ，BC 1 ，AD 为边 BC
17、 上的高，则 AD 的长是 6 3考点 余弦定理解三解形题点 已知三边解三角形答案 3解析 cos C ，BC2 AC2 AB22BCAC 22C ，sin C ，ADACsin C .(0，2) 22 3三、解答题12在ABC 中，已知 A120，a7，bc8，求 b，c.考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用解 由余弦定理，得 a2b 2c 22bccos A(bc) 22bc(1cos A)，所以 49642bc ，即 bc15, (1 12)由Error!解得Error!或Error!13在ABC 中，a 2c 2b 2 ac，求：2(1)B 的大小；(2) cos Aco
18、s C 的最大值2考点 用余弦定理解三角形题点 余弦定理解三角形综合问题解 (1)由 a2c 2b 2 ac，得 a2c 2b 2 ac，2 2由余弦定理得 cos B .a2 c2 b22ac 2ac2ac 22又 01，|c|a2 b2即 a2b 2c 20，cos C 0，a2 b2 c22ab又 C(0，)，C 为钝角，故ABC 为钝角三角形15在ABC 中，已知 BC7，AC 8，AB9，则 AC 边上的中线长为 考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 7解析 由条件知，cos A ，AB2 AC2 BC22ABAC 92 82 72298 23设中线长为 x，由余弦定理，知x2 2AB 22 ABcos A(AC2) AC24 29 2249 49，23所以 x7，所以 AC 边上的中线长为 7.
