1、1/83.2.3 直线的一般式方程学习目标：1.会根据条件写出直线的两点式方程和截距式方程(重点)2.了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式(重点、难点)3.能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知直线的一般式方程1在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于 x，y 的二元一次方程；任何关于 x，y 的二元一次方程都表示 一条直线方程 Ax By C0( 其中 A、B 不同时为 0)叫做直线方程的一般式2对于直线 AxByC 0，当 B0 时，其斜率为 ，在 y 轴上的截距AB为 ；当 B0 时，在 x 轴上
2、的截距为 ；当 AB0 时，在两轴上的截距分CB CA别为 ， . CA CB3直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于 x，y 的二元一次方程(2)方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y 常数的先后顺序排列(3)x 的系数一般不为分数和负数(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程思考：(1)当 A，B 同时为零时，方程 AxBy C 0 表示什么？(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？提示 (1)当 C0 时，方程对任意的 x，y 都成立，故方程表示整个坐 标平面；当 C 0 时，方程无解，方程不表示任何图象 故方程 AxByC 0，不一
3、定代表直线，只有当 A，B 不同时为零时，即A2B 20 时 才代表直线(2)不是当一般式方程中的 B0 时，直线的斜率不存在，不能化成其他形2/8式；当 C0 时，直线过原点，不能化为截距式但其他四种形式都可以化为一般式基础自测1思考辨析(1)二元一次方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)可表示平面内的任何一条直线( )(2)当 C0 时，方程 Ax ByC0(A、B 不同时为 0)表示的直线过原点( )(3)当 B0，A0 时，方程 AxByC0 表示的直线与 y 轴平行( )(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化( )提示 (1) (2)(3) 当 C0 时，直线与 y
4、 轴重合(4) 当直线 与坐标轴平行或重合 时，不能转化为 截距式或斜截式2直线2x y 30 的斜率 k( )A2 B2 C D12 12A 直 线方程化为斜截式为 y2x 3，所以斜率 k2.选 A.3直线 l 过点(1,2) 和点 (2,5)，则直线 l 的方程为 _xy30 由题意直线过两点，由直 线的两点式方程可得： y 25 2，整理得 xy 3 0.x 12 1合 作 探 究攻 重 难直线的一般式方程根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式(1)斜率是 ，经过点 A(8，2)；12(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴；(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 ，3；32
5、3/8(4)经过两点 P1(3，2)，P 2(5，4)【导学号：07742232】解 (1)由点斜式得 y(2) (x8)，12即 x2y40.(2)由斜截式得 y2，即 y20.(3)由截距式得 1，x32 y 3即 2xy30.(4)由两点式得 ，y 2 4 2 x 35 3即 xy10.规律方法 求直线的一般式方程的策略1当 A0 时，方程可化为 x y 0，只需求 ， 的值；若 B0，则方BA CA BACA程化为 xy 0，只需确定 ， 的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出AB CB ABCB直线方程.2在求直线方程 时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特
6、殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件.跟踪训练1(1)下列直线中，斜率为 ，且不经过第一象限的是( )43A3x4y70 B4x3y70C4x3y 420 D3x4y 420(2)直线 x5y 90 在 x 轴上的截距等于( )3A B5 C D3395 34/8(1)B (2)D (1)将一般式化为斜截式，斜率为 的有：B、C 两项43又 y x14 过点(0,14)，即直 线过第一象限，所以只有 B 项正确43(2)令 y0 则 x3 .3一般形式下的平行与垂直问题(1)已知直线 l1：2 x(m1)y40 与直线 l2：
7、mx3y20 平行，求 m 的值；(2)当 a 为何值时，直线 l1：(a2) x(1a)y10 与直线 l2：(a1)x(2a 3) y 20 互相垂直？思路探究：解答本题可以从两直线的位置关系与斜率的对应关系入手，也可以根据斜率关系求出参数值后，代入验证解 (1)法一：由 l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20 知：当 m0 时，显然 l1 与 l2 不平行当 m0 时，l 1l 2，需 .2m m 13 4 2解得 m2 或 m3，m 的值为 2 或3.法二：令 23m(m1)，解得 m3 或 m2.当 m3 时，l 1：xy20，l 2：3x3y20，显然 l1 与 l2 不重合
8、，l 1 l2.同理当 m2 时，l 1：2x3y40，l 2：2x3y20，显然 l1 与 l2 不重合，l 1 l2.m 的值为 2 或3.(2)法一：由题 意知，直线 l1l 2.若 1a0，即 a1 时，直 线 l1：3x10 与直线 l2：5y20 显然垂直若 2a30，即 a 时，直 线 l1：x5y 20 与直线 l2：5y40 不垂325/8直若 1a0，且 2a30， 则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存在，k1 ，k2 .a 21 a a 12a 3当 l1l 2时，k 1k21，即 1，a1.( a 21 a)( a 12a 3)综上可知，当 a1 或 a1 时，
9、直 线 l1l 2.法二：由题意知直线 l1l 2.(a 2)(a1)(1a)(2a3)0，解得 a1，将 a1 代入方程，均满足题意故当 a1 或 a1 时，直线 l1l 2.规律方法 1利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线 l1：A1x B1yC 10，直线 l2：A2xB 2yC 2 0，(1)若 l1l2A1B2A 2B10 且 B1C2B 2C10(或 A1C2A 2C10)(2)若 l1l2A1A2B 1B2 0.2与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线 AxByC0 平行的直线方程可设为 AxBym0(mC)(2)与直线 AxByC0 垂直的直线方程可设为 Bx
10、Aym0.跟踪训练2已知直线 l 的方程为 x2y 10，点 P 的坐标为 (1，2)(1)求过 P 点且与直线 l 平行的直线方程；(2)求过 P 点且与直线 l 垂直的直线方程【导学号：07742233】解 (1)设过 P 点且与直线 l 平行的直线方程为 x2yk 0，则 12(2) k 0，即 k3，所以过 P 点且与直线 l 平行的直线方程为 x2y 30.(2)设过 P 点且与直线 l 垂直的直线方程为 2xy b0，6/8则 21(2) b0，即 b4，所以过 P 点且与直线 l 垂直的直线方程为 2xy 40.与含参数的一般式方程有关的问题探究问题1直线 kxy13k0 是否过
11、定点？若过定点，求出定点坐标提示 直线 kxy13k0 可化为 y1k(x3)，由点斜式方程可知，该直线过定点(3,1) 2若直线 y kxb(k0)不过第四象限， 应满足什么条件？提示 若直 线 ykxb(k0) 不过第四象限，则应满足Error!(1) 设直线 l 的方程为(a1)xy 2a0(aR )若直线 l 不过第三象限，则 a 的取值范围为_(2)设直线 l 的方程为 2x (k3)y2k 60(k3)，根据下列条件分别确定 k 的值：直线 l 的斜率为1；直线 l 在 x 轴，y 轴上的截距之和等于 0.【导学号：07742234】(1)1，) 把直线 l 化成斜截式，得 y(1
12、a)xa2，因 为直线 l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在 y 轴上的截距大于等于零即Error!解得 a1.所以 a 的取值范围为1，)(2)因为直线 l 的斜率存在，所以直线 l 的方程可化为 y x2.2k 3由题意得 1，解得 k5.2k 3直线 l 的方程可化为 1.xk 3 y2由题意得 k 320，解得 k1.母题探究：1.典例(1)中若将方程改为“x (a1)y2a0(aR )”，其他条件不变，又如何求解？7/8解 (1)当 a10，即 a1 时，直线为 x3，该直 线不过第三象限，符合(2)当 a1 0，即 a1 时，直线化为斜截式方程为 y x ，因为直1
13、1 a 2 a1 a线 l 不过第三象限，故该直 线的斜率小于等于零，且直线在 y 轴上的截距大于等于零即Error!解得 a1.由(1)(2)可知 a1.2若典例(1)中的方程不变，当 a 取何值时，直线不过第二象限？解 把直线 l 化成斜截式，得 y(1a)x a2，因为直线 l 不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在 y 轴上的截距小于等于零即Error!解得a2.规律方法 直线恒过定点的求解策略1将方程化为 点斜式，求得定点的坐标.2将方程变形，把 x，y 作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得 x，y 的值，即为直 线过的定点.当 堂
14、达 标固 双 基1直线 l： xy 30 的倾斜角为( )3A30 B60 C120 D150C 直 线方程化为斜截式为 y x3， 斜率 k ，即 tan ，3 3 3又 0 ，180)， 120， 选 C.2已知 ab0，bc 0，则直线 axbyc 通过( )A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限C 直 线 axby c 即 y x ，ab cbab0，bc 0，斜率 k 0，直 线在 y 轴上的截距 0.ab cb故直线过第一、三、四象限选 C.3过点(1,0) 且与直线 x2y20 平行的直线方程是 ( ) 8/8【导学号：07742235】Ax
15、2y10 Bx2y10C2xy 20 Dx2y 10A 设 所求直线方程为 x 2yc0，把点(1,0)代入可求得 c1.所以所求直线方程为 x 2y10.故选 A.4已知两条直线 yax 2 和 3x(a2)y10 互相平行，则a_.1 或3 依题意得：a( a 2)31，解得 a1 或 a3.5若方程(m 23m2) x(m2)y2m50 表示直线(1)求实数 m 的范围；(2)若该直线的斜率 k1，求实数 m 的值【导学号：07742236】解 (1)由Error!解得 m2，若方程表示直线，则 m2 3m2 与 m2 不能同时为 0，故 m2.(2)由 1，解得 m0.m2 3m 2m 2
