1、演 绎 推 理核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P30P 33 的内容，回答下列问题阅读教材中的 5 个推理(如下所示 )，并回答问题：所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电；太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；一切奇数都不能被 2 整除，(2 1001) 是奇数，所以(2 1001)不能被 2 整除；三角函数都是周期函数，tan 是三角函数，因此 tan 是周期函数；两条直线平行，同旁内角互补如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，那么A B180.(1)以上五个推理有什么共同特点？提示：都是从一般性的原理出
2、发，推出某个特殊情况下的结论(2)以上五个推理，都有三段，每一段在“推理”中各自名称是什么？提示：第一段称为“大前提” ，第二段称 为“小前提” ，第三段称为“结论” 2归纳总结，核心必记(1)演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断“三段论”可以表示为：大前提：M 是 P.小前提：S 是 M.结论：S 是 P.问题思考(1)“三段论”就是演绎推理吗？提示：不是三段论是演绎推理的一般模式(2
3、)演绎推理的结论一定正确吗？提示：因为演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确(3)如何在演绎推理中分清大前提、小前提和结论？提示：在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形 对角线互相平分，这是特例具有的一般意义课前反思(1)演绎推理的定义是什么？；(2)“三段论”的内容是什么？；(3)演绎推理与合情推理有什么区别？思考 如何将演绎推理写成三段论的形式？名师指津：三段论由大前提、小前提和 结
4、论组成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联 系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提讲一讲1把下列演绎推理写成三段论的形式(1)在一个标准大气压下，水的沸点是 100 ，所以在一个标准大气压下把水加热到100 时，水会沸腾；(2)一切偶数都能被 2 整除，256 是偶数，所以 256 能被 2 整除；(3)函数 yx5 的图象是一条直线尝试解答 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是 100 ，大前提在一个标准大气压下把水加热到 100 ，小前提水会沸腾结论(2)一切偶数都能被 2 整除，大前提256 是偶数，小前提256 能被 2
5、 整除结论(3)因为一次函数的图象是一条直线，大前提yx5 是一次函数，小前提所以 yx5 的图象是一条直线结论将演绎推理写成三段论的方法(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提(2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略(3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提练一练1试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数 y2x1 是一次函数，所以 y2x1 是单
6、调函数；(4)等差数列的通项公式具有 anpnq( p，q 是常数)的形式，数列 1,2,3，n 是等差数列，所以数列 1,2,3，n 的通项具有 anpnq 的形式解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，大前提海王星是太阳系中的大行星，小前提海王星以椭圆形轨道绕太阳运行 结论(2)所有导体通电时发热，大前提铁是导体，小前提铁通电时发热结论(3)一次函数都是单调函数，大前提函数 y2x1 是一次函数，小前提y2x1 是单调函数结论(4)等差数列的通项公式具有 anpnq 的形式，大前提数列 1,2,3，n 是等差数列，小前提数列 1,2,3，n 的通项具有 anpnq 的形式结论讲一
7、讲2(链接教材 P31例 6)如图，D ，E ，F 分别是 BC，CA，AB 上的点，BFDA， DEBA，求证：EDAF，写出三段论形式的演绎推理尝试解答 因为同位角相等，两条直线平行，大前提BFD 与A 是同位角，且 BFD A，小前提所以 FDAE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DEBA，且 FDAE，小前提所以四边形 AFDE 为平行四边形结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边，小前提所以 EDAF.结论(1)用“三段论”证明命题的格式(2)用“三段论”证明命题的步骤理清证明命题的一般思路；找出每一个结论得出的原因；把每
8、个结论的推出过程用“三段论”表示出来练一练2如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，求证：EF 平面 BCD.证明：三角形的中位线平行于第三边，大前提点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，小前提所以 EFBD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则此直线与此平面平行，大前提EF平面 BCD，BD平面 BCD，EFBD，小前提EF平面 BCD.结论讲一讲3(链接教材 P32例 7)已知函数 f(x)a x( a1)，求证：函数 f(x)在(1，)上为增函数尝试解答 对于定义域内某个区间上的任意两个自变量 x1，x 2，若 x1x 2，都有 f(x1)
9、f(x 2)，则 f(x)在该区间上是增函数大前提设 x1，x 2是(1，)上的任意两实数，且 x1x 2，则 f(x1)f(x 2)ax 1ax 2ax 1ax 2ax 1ax 2，a1，且 x1x 2，ax 1ax 2，x 1x 20.又x 11，x 21，(x 1 1)(x21)0.f(x 1)f(x 2)0.f(x 1)f(x 2)小前提函数 f(x)在(1，)上为增函数结论使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提) ，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提 )，并保 证每一步的推理都是正确 严密的，才能得出正确的结论(2)证明中常见的
10、错误：条件分析 错误 (小前提错)定理引入和应用错误( 大前提错)推理 过程错误 等练一练3已知等差数列a n的各项均为正数且 lg a1，lg a2，lg a4 成等差数列，又bn( n 1,2,3，)求证：数列b n为等比数列证明：因为 lg a1，lg a2，lg a4 成等差数列，所以 2lg a2lg a 1lg a 4，即 aa 1a4.设等差数列a n的公差为 d，则(a 1d) 2a 1(a13d)，即 a1dd 2，从而 d(da 1)0.若 d 0，数列a n为常数列，故数列b n也是常数列，此时 bn是首项为正数、公比 为 1 的等比数列若 d a10，则 a2na 1(
11、2 n1) d2 nd，所以 bn.所以当 n2 时，.所以数列b n是以为首项、为 公比的等比数列综上，数列b n为等比数列课堂归纳感悟提升 1本节课的重点是三段论，难 点是用三段论证明有关问题 2本节课要重点掌握的规律方法(1)用三段论表示演绎推理， 见讲 1；(2)用三段论证明几何、代数 问题， 见讲 2 和讲 3.3在数学问题的证明题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提，将一般性原理应用于特殊情况，只要推理形式准确，就能恰当准确地解决问题在解决问题时，会涉及到数学中的一般性原理，主要是指数学中的公式、公理、定理、性质等， 这就要求我们基础牢固，对涉及的相关知识能灵活 应用，
12、并能 进行恰当的等价 转化课下能力提升(四)学业水平达标练题组 1 用三段论表示演绎推理1 “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )A演绎推理 B类比推理C合情推理 D归纳推理答案：A2 “因为四边形 ABCD 是矩形，所以四边形 ABCD 的对角线相等” ，补充以上推理的大前提是( )A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形答案：B3下面几种推理中是演绎推理的是( )A因为 y2 x是指数函数，所以函数 y2 x经过定点(0,1)B猜想数列， ， ，的通项公式为 an(nN *)C由“
13、平面内垂直于同一直线的两直线平行 ”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”D由平面直角坐标系中圆的方程为 (xa) 2(yb) 2r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为( xa) 2(y b) 2(z c)2r 2解析：选 A A 是演绎推理，B 是归纳推理， C，D 是类比推理. 题组 2 用三段论证明几何问题4有一段演绎推理是这样的：“若一直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线 b平面 ，直线 a平面 ，直线 b平面 ，则直线 b直线 a”的结论显然是错误的，这是因为( )A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解析：选 A “直线与平面平行” ，不能得
14、出“直线平行于平面内的所有直线” ，即大前提错误5如图，在平行四边形 ABCD 中，DAB60 ，AB2，AD 4.将CBD 沿 BD 折起到EBD 的位置，使平面 EDB平面 ABD.求证：ABDE.证明：在ABD 中，AB2，AD4， DAB60，BD2.AB2BD 2AD 2.ABBD.又平面 EBD平面 ABD，平面 EBD平面 ABDBD，AB平面 ABD，AB平面 EBD.DE平面 EBD，ABDE.6如图所示，三棱锥 ABCD 的三条侧棱 AB，AC，AD 两两互相垂直，O 为点 A 在底面 BCD 上的射影求证：O 为BCD 的垂心证明：如图，连接 BO，CO，DO.ABAD，
15、ACAD，ABACA，AD平面 ABC.又 BC平面 ABC，ADBC.AO平面 BCD，AOBC，又 ADAOA，BC平面 AOD，BCDO，同理可证 CDBO，O 为BCD 的垂心题组 3 用三段论证明代数问题7用三段论证明命题：“任何实数的平方大于 0，因为 a 是实数，所以 a20” ，你认为这个推理( )A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D是正确的解析：选 A 这 个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于 0”，小前提是“a 是实数” ，结论是“a 20” 显然结论错误 ，原因是大前提 错误 8已知推理：“因为ABC 的三边长依次为 3,4,5，所以ABC 是直角三角形”
16、若将其恢复成完整的三段论，则大前提是_解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：ABC 的三边长依次为 3,4,5，满足 324 25 2；结论：ABC 是直角三角形答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形9已知函数 f(x)对任意 x，yR 都有 f(xy )f (x)f (y)，且当 x0 时，f (x)0，f(1)2.(1)求证：f(x) 为奇函数；(2)求 f(x)在 3,3上的最大值和最小值解：(1)证明：因为 x，yR时，f (xy) f (x)f (y)，所以令 xy0 得，f(0)f(0)f (0)2f(0)，所以 f(0
17、)0.令 yx，则 f(xx )f(x )f (x)0，所以 f(x) f(x )，所以 f(x)为奇函数(2)设 x1，x2R，且 x1x 2，f(x2)f (x1)f(x 2)f(x 1)f(x 2x 1)，因为当 x0 时，f( x)0，所以 f(x2x 1)0，即 f(x2)f(x 1)0，所以 f(x)为减函数，所以 f(x)在3,3上的最大值为 f(3)，最小值为 f(3)因为 f(3)f(2)f(1) 3f(1)6，f(3)f(3)6，所以函数 f(x)在3,3上的最大值为 6，最小值为6.能力提升综合练1下面几种推理过程是演绎推理的是( )A两条直线平行，同旁内角互补，如果 A
18、 与B 是两条平行直线的同旁内角，则A B180B某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过50 人C由三角形的性质，推测四面体的性质D在数列a n中，a 11，a n( n2)，由此归纳出 an的通项公式解析：选 A B 项是归纳推理， C 项是类比推理，D 项是归纳 推理2 “所有 9 的倍数(M) 都是 3 的倍数( P)，某奇数(S) 是 9 的倍数(M )，故该奇数(S) 是 3的倍数( P) ”上述推理是 ( )A小前提错误 B结论错误C正确的 D大前提错误答案：CA直角梯形 B矩形C正方形 D菱形4设是 R 内的一个运算， A
19、是 R 的非空子集若对于任意 a，bA，有 abA，则称 A 对运算封闭下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零) 四则运算都封闭的是( )A自然数集 B整数集C有理数集 D无理数集解析：选 C A 错：因为自然数集对减法和除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因 为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零) 四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭5设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 yf(x)的图象关于直线 x对称，则 f(1)f(2)f(3)f(4) f(5)_.解析：由题意，知 f(0)0，
20、f(1)f(0)0，f(2)f(1)0，f(3)f(2)0，f(4)f(3)0，f(5)f(4)0，故 f(1)f(2)f(3) f(4)f(5)0.答案：06关于函数 f(x)lg(x 0)，有下列命题：其图象关于 y 轴对称；当 x0 时，f( x)是增函数；当 x0 时，f (x)为减函数；f(x)的最小值是 lg 2; 当1x0 或 x1 时，f(x) 是增函数；f(x)无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是_解析：f( x)是偶函数，正确；当 x0 时，f(x)lglglg 2，当且仅当 x1 时取等号，0 x1 时，f(x)为减函数；x1 时，f(x) 为 增函数x 1 时取
21、得最小值 lg 2.又 f(x)为偶函数， 1 x0 时，f(x)为增函数；x1 时，f(x)为减函数x 1 时取得最小值 lg 2.也正确答案：7已知 2sin2sin 23sin ，求 sin2sin 2 的取值范围解：由 2sin2sin 23sin ，得 sin2sin 2sin 23sin 2，且 sin 0，0 sin2 1，sin 2 3sin 2sin 2，0 3sin 2sin 21.解得 sin 1 或 0sin .令 ysin 2sin 2，当 sin 1 时，y2; 当 0sin 时，0y，sin2sin 2 的取值范围是 28已知 a，b，c 是实数，函数 f(x)a
22、x 2bx c，g(x) axb.当1x1 时，|f (x)| 1.(1)求证：|c| 1 ；(2)当1x1 时，求证：2g(x) 2.证明：(1)因为 x0 满足1x1 的条件，所以|f(0)|1.而 f(0)c ，所以|c| 1.(2)当 a0 时，g( x)在 1,1上是增函数，所以 g(1) g( x)g(1) 又 g(1)abf (1)c，g(1)abf( 1)c，所以f(1) cg(x)f(1) c，又1f(1) 1，1f(1) 1，1c1，所以f(1) c2，f(1) c2，所以2g(x)2.当 a0 时，可用类似的方法，证得2g(x) 2.当 a0 时，g(x )b，f(x )bxc，g(x)f(1)c，所以2g(x)2.综上所述，2g(x )2.
