1、第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用一、教学目标：知识与技能：1.在理解定积分的概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积.3.会用定积分解决简单的物理问题(如变力做功、变速运动等)过程与方法：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：应用定积分解决平面图形的面积，变力做功、变
2、速运动等问题，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究发现”教学模式教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流四、教学过程教学流程 教师活动 学生活动 设计意图环节一： 1.课前准备：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.2.情景引入：展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积本环节安排学生讨论，自主发现解决
3、问题方向定积分跟面积的关系。以激发学生的探索激情，为后面作开启性的铺垫。环节二： 3.定积分的几何意义计算 dx224计算 2sin22214dx0sin 教师引导学生，通过实例进一步感受定积分的几何意义思考口答 同过具体问题的解决过程的复习定积分的几何意义环节三： 4. 定积分解决平面图形的面积例1.计算由曲线 与 所围图2xy形的面积解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组 得到交点横坐标为2xy及01曲边梯形 OABC 曲形ssOABD dx1010210310233例计算由 与 所围图4xyxy2形的面积.解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积探究解法的过程：找到图形-
4、画图得到曲边形.曲边形面积解法-转化为曲边梯形，做出辅助线.定积分表示曲边梯形面积-确定积分区间、被积函数.计算定积分.完成了一般理论和具体问题的有机结合，初步达到了识记的目标，突显了教学重点。使学生懂得如何灵活选择积分变量，确定被积函数，通xyOABCD2x11-1-1解方程组 得到交点坐标为2xy(2,-2)及 (8,4)选为积分变量 1826)82(14dyS探讨：X 为积分变量表示不到，那换成 Y 为积分变量呢？过该题突破教学难点五、小结1.在理解定积分的概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积.3.会用定积分解决简单
5、的物理问题(如变力做功、变速运动等)六、作业1.课时检测2.补充练习1.在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有( )A B C D2.以初速 40 m/s 竖直向上抛一物体， t s 时刻的速度 v40 10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A. m B. m C. m D. m1603 803 403 2033已知函数 yx 2 与 ykx( k0) 的图象所围成的阴影部分的面积为 ，则 k= .924一变速运动物体的运动速度 v(t)Error!则该物体在 0te 时间段内运动的路程为( 速度单位：m/s ，时间单位：s) 5.一物体在变力 F(x)5x 2(力单位：N
6、，位移单位：m)作用下，沿与 F(x)成 30方向作直线运动，则由 x1 运动到 x2 时 F(x)作的功为？6一点在直线上从时刻 t0(s)开始以速度 vt 24t3(m/s)运动，求：(1)在 t4 s 的位置；(2)在 t4 s 运动的路程1.解析：应是 S f(x)g( x)dx， 应是 S 2 dx (2x8)dx ，ba80 2x84和正确故选 D.答案：D2.解析：由 v4010t 20t 24，t2.h (4010t 2)dt(40t t3)| 80 (m)故选 A.20 103 20 803 16033解析：由Error!消去 y 得 x2kx0，所以 x0 或 xk，则阴影
7、部分的面积为 (kxx 2)dx Error! .即 k3 k3 ，解得 k3.k0 (12kx2 13x3) 92 12 13 92答案：34解析;0t1 时，v (t)2t，v (1)2；又 1t2 时，v(t)a t，v(1)a2，v(2)a 22 24； 又 2te 时，v(t) ， v(2) 4，b8.bt b2路程为 S 2tdt 2tdt dt98ln2 .1021e28t 2ln2答案: 98ln22ln25.解析：由于 F(x)与位移方向成 30角如图：F 在位移方向上的分力 FFcos 30 ，W (5x 2)cos 30dx (5x 2)dx21 3221 | (J)32(5x 13x3)21 32 83 4336解：(1)在时刻 t4 s 时该点的位置为 (t24t 3)dt( t32t 23t)| (m)，40 13 40 43即在 t4 s 时该点距出发点 m.43(2)因为 v(t)t 24t3( t1)(t3)，所以在区间0,1 及3,4 上 v(t)0，在区间1,3上 v(t)0，所以在 t4 s 时的路程为 S (t24t 3) dt| (t24t3)dt | (t24 t3)dt103143 (t2 4t3)dt (t24t3) dt (t24t 3) dt4 (m)103143
