1、反 证 法核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P42P 43 的内容，回答下列问题著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的 ”王戎的论述运用了什么推理思想？提示：反证法思想2归纳总结，核心必记(1)反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立 )，经过 正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立
2、，这样的证明方法叫做反证法(2)反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等问题思考(1)反证法解题的实质是什么？提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而 证 明原命题结论正确(2)用反证法证明命题时， “a、b、c 都是偶数”的否定是什么？提示：a、b、c 不都是偶数课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)反证法的定义是什么？；(2)反证法常见的矛盾类型有哪些？.讲一讲1已知 f(x)a xError! (a1)，证明方程 f(x)0 没有负实根尝试解答 假设方程 f(x)0 有负实根
3、x0，则 x0180，这与三角形内角和为 180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC 中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_答案：3等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，S 393.(1)求数列a n的通项 an 与前 n 项和 Sn；(2)设 bnError!(nN *)，求证：数列 bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：(1)设公差为 d，由已知得Error!解得 d2，故 an2n1， Snn(n) (2)证明：由(1)得 bnError!n.假设数列b n中存在三项 bp，bq，br(p，q，r 互不相等)成等比数列，则 bb pb
4、r，即(q) 2(p)( r)，所以(q 2pr)(2qpr)0.又 p，q，rN*，所以所以 Error!2pr.(pr) 20，所以 pr，这与 pr 矛盾所以数列b n中任意不同的三项都不可能成为等比数列题组 2 用反证法证明“至多” 、 “至少”型命题4用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，假设正确的是( )A假设三内角都不大于 60B假设三内角都大于 60C假设三内角至少有一个大于 60D假设三内角至多有两个大于 60解析：选 B “至少有一个”即 “全部中最少有一个” 5设实数 a、b、c 满足 abc1，则 a、b、c 中至少有一个数不小于 _解析：假设
5、a、b、c 都小于Error!，则 abc1 与 abc 1 矛盾故 a、b、c 中至少有一个不小于Error!.答案：Error!6若 x0，y0，且 xy 2，求证：Error! 与中至少有一个小于 2.解：假设与都不小于 2，即2，Error! 2.又 x0，y0，1 x2y,1 y2x.两式相加得 2xy 2(x y) ，即 xy2.这与已知 xy2 矛盾所以假设不成立，所以Error! 与中至少有一个小于 2.题组 3 用反证法证明“唯一性”命题7用反证法证明命题“关于 x 的方程 axb(a0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程 axb(a0)( )A无解 B有两解C至少有两
6、解 D无解或至少有两解解析：选 D “唯一”的否定上 “至少两解或无解” 8 “自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( )Aa，b，c 都是奇数Ba，b，c 都是偶数Ca，b，c 中至少有两个偶数Da，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：选 D 自然数 a，b，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3 个都是奇数；(2)2 个奇数，1 个偶数；(3)1 个奇数， 2 个偶数；(4)3 个都是偶数所以否定正确的是 a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数9求证：两条相交直线有且只有一个交点证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线 a，b 不只有一个交点，则至少有两个交
7、点 A 和 B，这样 同时经过点 A，B 的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点能力提升综合练1用反证法证明命题“a，bN ，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 5整除” ，则假设的内容是( )Aa，b 都能被 5 整除 Ba，b 都不能被 5 整除Ca 不能被 5 整除 Da，b 有 1 个不能被 5 整除解析：选 B 用反 证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有” ，故B 正确2有以下结论：已知 p3q 32，求证 pq2，用反证法证明时，可假设 pq2；已知a，bR，| a| |b|2.故的
8、假 设是 错误的，而 的假设是正确的3设 a、b、c 都是正数，则三个数 aError!，bError!，cError! ( )A都大于 2 B至少有一个大于 2C至少有一个不大于 2 D至少有一个不小于 2解析：选 D 因为 a、b、c 都是正数，则有Error!6.故三个数中至少有一个不小于 2.4已知数列a n，b n的通项公式分别为 anan2，b nbn1(a，b 是常数) ，且ab，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )A0 个 B1 个 C2 个 D无穷多个解析：选 A 假设存在序号和数 值均相等的项，即存在 n 使得 anb n，由题意 ab，nN *，则恒有 anb
9、n，从而 an2 bn1 恒成立，不存在 n 使得 anb n.5已知平面 平面 直线 a，直线 b，直线 c，baA ，ca，求证：b与 c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_解析：空间中两直线的位置关系有 3 种：异面、平行、相交， 应假设 b 与 c 平行或相交答案：b 与 c 平行或相交6完成反证法证题的全过程题目：设 a1，a 2，a 7 是 1,2，7 的一个排列，求证：乘积 p(a 11)(a22)( a7 7)为偶数证明：假设 p 为奇数，则_均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.这与 0 为偶数矛盾，说明 p 为偶数解析：证明过程应为：假设 p 为奇数， 则有
10、a11， a22，a 77 均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数 (a11)( a22)(a 77) (a 1a 2a 7)(12 7)0.这与 0 为偶数矛盾，说明 p 为 偶数答案：a 11，a 22，a 77(a11)(a 22)(a 77)(a1a 2a 7)(1 27)7设 a，b 是异面直线，在 a 上任取两点 A1，A 2，在 b 上任取两点 B1，B 2，试证：A1B1 与 A2B2 也是异面直线证明：假设 A1B1 与 A2B2 不是异面直线， 则 A1B1 与 A2B2 可以确定一个平面 ，点A1，A2，B1，B2 都在平面 内，于是 A1A2，B 1B2，即 a ，b ，这与已知 a，b 是异面直线矛盾，所以假设错误所以 A1B1 与 A2B2 也是异面直线 8用反证法证明：对于直线 l：y xk，不存在这样的非零实数 k，使得 l 与双曲线C：3x 2 y21 的交点 A、B 关于直线 yx 对称证明：假设存在非零实数 k，使得 A、B 关于直线 yx 对称，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段 AB 的中点 M 在直线 yx 上，由得 2x22kx1k 20.x1x 2k，可得 M.这与 M 在直线 yx 上矛盾所以假设不成立，故不存在非零 实数 k，使得 A、B 关于直 线 yx 对称
