1、1两个实数比较大小的方法(1)作差法Error! (a，bR)；(2)作商法Error! (aR，b0)2不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒对称性 abbb， bcac 可加性 abac bc Error!ac bc可乘性Error!ac bd 同向同正可乘性 Error!ac bd 可乘方性 ab0a nbn(nN，n1)可开方性 ab0 (nN，n2)nanba，b 同为正数【知识拓展】不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0 b0,0 .acbd0b0，m 0，则 (bm 0)bab ma m bab ma m ； 0)aba mb m aba mb m【思考辨析】判断下列
2、结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)两个实数 a，b 之间，有且只有 ab，ab，a1，则 ab.( )ab(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( )(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小( )(5)ab0，c d0 .( )adbc(6)若 ab0，则 ab B. 1a1b 1a b1aC|a| b D. a b答案 B解析 由题设得 a 不成立1a b1a2(教材改编)若 a，b 都是实数，则“ 0”是“a 2b 20”的( )a bA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 0 a b a baba 2b2，但由 a2b
3、 20 0.a b3若 a，bR，且 a|b|0 Ba 3b 30Ca 2b 2|b|，当 b0 时，ab1 且 2a1 ，12 12即 a2b 2 ，12a2b 2b(1b) 2b 2b(2b1)(b1) ，又 2b10，b1NCMN D不确定(2)若 a ，b ，c ，则( )ln33 ln44 ln55Aa0，即 MN0.M N.(2)方法一 易知 a，b，c 都是正数， ba 3ln44ln3log 8164b； log 62510241，bc 5ln44ln5所以 bc.即 ce 时，函数 f(x)单调递减因为 ef(4)f(5)，即 cB(2)若 a18 16，b16 18，则 a
4、 与 b 的大小关系为_ 答案 (1)B (2) a0,16180，18 16ac Bc( ba)0(2)若 |b|；a0.由 bc 得 abac 一定成立(2)因为 0，1a1b所以 ab0ba，cbc； bd；a(dc)b( dc )中成立的个数是( )ad bcA1B2C 3D4答案 C解析 方法一 a0b，c 0，ad0 ba，ab0 ，cd0 ，a(c )(b)(d) ，acbdd，ab，a(c )b(d)，acbd，故正确ab，dc0，a(dc )b(dc )，故正确，故选 C.方法二 取特殊值题型三 不等式性质的应用命题点 1 应用性质判断不等式是否成立例 3 已知 ab0，给出
5、下列四个不等式：a 2b2；2 a2b1 ； ；a 3b 32a2b.a b a b其中一定成立的不等式为( )A BC D答案 A解析 方法一 由 ab0 可得 a2b2，成立；由 ab0 可得 ab1，而函数 f(x)2 x在 R 上是增函数，f(a)f( b1) ，即 2a2b1 ， 成立；ab0， ，a b( )2( )2a b a b2 2b2 ( )0，ab b a b ，成立；a b a b若 a3，b2，则 a3b 335,2a 2b36，a3b 3b2，2 a2b1 ， 均成立，而a 3b 32a2b 不成立，故选 A.a b a b命题点 2 求代数式的取值范围例 4 已知
6、1 Ba 2bn|b|a| |b| 1|a| 1(2)设 ab1，c ；a clog a(bc )cacb其中所有正确结论的序号是( )A BC D答案 (1)C (2)D解析 (1)( 特殊值法 )取 a2，b1，逐个检验，可知 A，B，D 项均不正确；C 项， b1 知 ，正确；cacb构造函数 yx c，cb1，a cb1，c bc1，log b(ac)log a(ac )loga(bc)，正确6利用不等式变形求范围典例 设 f(x)ax 2bx ，若 1f (1) 2,2f (1)4，则 f(2) 的取值范围是_错解展示解析 由已知得Error!得 32a6，64a12，又由可得2ab
7、1， 得 02b3，32b0，又 f(2)4a 2b，34a 2b12，f(2)的取值范围是 3,12答案 3,12现场纠错解析 方法一 由Error!得Error!f(2)4a 2b3f( 1) f(1)又1f(1) 2,2f(1)4，53f(1) f(1)10，故 5f(2)10.方法二 由Error!确定的平面区域如图阴影部分所示，当 f(2)4a 2b 过点 A( ， )时，32 12取得最小值 4 2 5，32 12当 f(2)4a 2b 过点 B(3,1)时，取得最大值 432110，5f(2) 10.答案 5,10纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等
8、号不能同时取到，会导致范围扩大.1已知 ab，cd，且 c，d 不为 0，那么下列不等式成立的是( )Aadbc BacbdCacbd Dacbd答案 D解析 由不等式的同向可加性得 acbd.2(2016包头模拟)若 6yz，xy z0，则下列不等式成立的是( )Axyyz Bxz yzCxy xz Dx|y |z|y|答案 C解析 xyz 且 xy z0，x 0，zz，xy xz.4设 a，bR，则“(ab)a 2b，则 ac2bc2B若 ，则 abacbcC若 a3b3 且 ab1a1bD若 a2b2 且 ab0，则 b3 且 ab0 且 b 成立，C 正确；1a1b当 ab0，则下列不
9、等式中一定成立的是( )Aa b B. 1b 1a bab 1a 1Ca b D. 1b 1a 2a ba 2bab答案 A解析 取 a2，b1，排除 B，D；另外，函数 f(x)x 是(0，)上的增函数，但函数1xg(x)x 在(0,1上递减，在 1，)上递增，所以，当 ab0 时，f(a)f(b) 必定成立，即1xa b a b ，但 g(a)g(b)未必成立，故选 A.1a 1b 1b 1a8若 ab0，则下列不等式一定不成立的是( )A. log2b1a1bCa 2b 22a2b2 Db0(由 ab0，得 a，b 不能同时为 1)，a 2b 22a2b20，a 2b 22a2b2，C
10、项一定不成立9已知 a，b，cR ，有以下命题：若 ab，则 ac2bc2；若 ac2bc2，则 ab；若 ab，则 a2cb2c.其中正确命题的序号是_答案 解析 不对，因为 c2 可以为 0；对，因为 c20；对，因为 2c0.10已知 alog 23log 2 ，blog 29log 2 ，clog 32，则 a，b，c 的大小关系是3 3_答案 abc解析 alog 23log 2 log 23 ，3 3blog 29log 2 log 23 ，3 3ab，又 alog 23 1，c log 32c.故 abc.11已知 a，b，c，d 均为实数，有下列命题：若 ab0，bcad0，则
11、 0；ca db若 ab0， 0，则 bcad0；ca db若 bcad0， 0，则 ab0.ca db其中正确的命题是_答案 解析 ab0，bcad0， 0，正确；ca db bc adabab0，又 0，即 0，ca db bc adabbcad0，正确；bcad0，又 0，即 0，ca db bc adabab0，正确故都正确12设 abc0，x ，y ， z ，则 x，y，z 的大a2 (b c)2 b2 (c a)2 c2 (a b)2小关系是_(用“”连接)答案 zyx解析 方法一 y 2x 22c (ab)0，y x.同理，zy，z yx.方法二 令 a3，b2，c1，则 x ，
12、y ，18 20z ，故 zyx.2613甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为 s，跑步速度为 v1，步行速度为 v2，甲到教室所用时间为 t 甲 ，乙到教室所用时间为 t 乙t 甲 ，s2v1 s2v2 s(v1 v2)2v1v2s v1 v2t 乙 ，t乙2 t乙2 2sv1 v2 1.t甲t乙 (v1 v2)24v1v2 (2r(v1v2)24v1v2t 甲 t 乙 ，当且仅当 v1v 2 时“”成立由实际情况知 v1v2，t 甲 t 乙 乙先到教室*14.某单位组织职工去某地参观学
13、习需包车前往甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受 7.5 折优惠 ”乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠 ”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠解 设该单位职工有 n 人(n N*)，全票价为 x 元/人，坐甲车需花 y1 元，坐乙车需花 y2 元，则 y1x x(n1)34 x nx，14 34y2 nx.45所以 y1y 2 x nx nx14 34 45 x nx14 120 x(1 )14 n5当 n5 时，y 1y 2；当 n5 时，y 1y2.因此当单位去的人数为 5 人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于 5 人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于 5 人时，乙车队收费更优惠
